资源简介

2025年高三《第六单元平面向量与复数》测试卷
一、单选题
1.已知点是直线上相异的三点，为直线外一点，且，则的值是( )
A. B. C. D.
2.若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.若复数满足，是的共轭复数其中是虚数单位，则( )
A. 的实部是 B.
C. D. 复数在复平面内对应的点在第一象限
4.若为虚数单位，则( )
A. 的虚部为 B. C. D. 为纯虚数
5.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知复数，，且为纯虚数，则( )
A. B. C. D.
7.如图，矩形中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则 ( )
A. B. C. D.
8.若非零向量与满足且，则为( )
A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形
C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形
9.骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆前轮，圆后轮的直径均为，，，均是边长为的等边三角形．设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为( )
A. B. C. D.
10.将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，，，，若点坐标为，则( )
A. B. C. D.
11.如图，在边长为的正六边形中，动圆的半径为，圆心在线段含端点上运动，是圆上及内部的动点，设向量为实数，则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
12.在中，点在线段上，且，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，则( )
A. B. C. D.
13.已知的内角，，的对边分别为，，，若，，且为边上的高，为边上的中线，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题
14.下列说法中正确的是( )
A. 若，，则
B. 对于向量，，，有
C. 向量，能作为所在平面内的一组基底
D. 设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分而不必要条件
15.已知平面向量，均为单位向量，且，则( )
A.
B.
C. ，
D. 在上的投影向量为
16.已知点为所在平面内一点，则( )
A. 若，则
B. 若，且，则为等边三角形
C. 若，则
D. 若，且，则的面积是面积的
17.已知平面向量，，且，则 ．
A. B. 或
C. 与夹角的大小为 D.
18.已知点为所在平面内一点，且，则下列选项正确的有( )
A.
B. 直线过边的中点
C.
D. 若，则
三、填空题
19.设，复数在复平面内对应的点位于直线上，则 ．
20.在中，是边上的高，若，，则 ．
21.设点，，，若动点满足，且，则的最大值为 ．
四、解答题
22已知向量．
求的坐标；
若向量与平行，求实数的值．
23.已知与的夹角为．
求在方向上的投影向量；
若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
24.复数是一元二次方程、的一个根．
求和的值；
若，求．
25.边长为的正三角形，、分别是边、上的点，若，，其中，设的中点为，中点为．
若、、三点共线，求证：；
若，求的最小值．
26.在三角形中，，，，是线段上一点，且，为线段上一点．
设，，设，求；
求的取值范围；
若为线段的中点，直线与相交于点，求．
答案和解析
1.【答案】
【解析】，
即，
因为点是直线上相异的三点，
则点三点共线，
则，解得．
故选A．
2.【答案】
【解析】非零向量，满足，
且向量在向量上的投影向量是，
，
解得，
因为，
所以向量与的夹角是．
故选：．
3.【答案】
【解析】由题意得，则，
所以的实部是，，，复数在复平面内对应的点为，在第四象限，
所以ACD错误，B正确．
故选：．
4.【答案】
【解析】
．
对于，的虚部为，故A错误；
对于，，故B错误；
对于，的共轭复数为，故C错误；
对于，，则为纯虚数，故D正确．
故选：．
5.【答案】
【解析】由题意，向量，，
，
又，则，
可得，
解得，
故选D．
6.【答案】
【解析】，，
，
由 为纯虚数，则 ，解得，
则，
．
故选C．
7.【答案】
【解析】解法一：依题意，，，，
由平面向量基本定理得．
故选A．
解法二：以为原点，、分别为、轴的正方向建系，
设，，则，，，，
由，有，有，解得，．
故选A．
8.【答案】
【解析】因为，
所以的平分线与垂直，
则，三角形是等腰三角形，
又因为，
则，
所以，
所以三角形是等边三角形．
故选D．
9.【答案】
【解析】以为坐标原点，为轴，过作的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，
圆的方程为，可设点坐标，
，，
，
的最大值为．
故本题选D．
10.【答案】
【解析】 如图所示，函数的图象与图象关于点对称，设函数与的所有交点从左往右依次记为、、、和，且和，和都关于点对称，则，，
则， 所以
故选D．
11.【答案】
【解析】如图所示，
设点为正六边形的中心，则．
当动圆的圆心经过点时，与边交于点，点为边的中点．连接，
则，
与共线，存在实数，使得．
，
此时，取得最小值．
当动圆的圆心经过点时，取的延长线与的交点时．
，
此时取得最大值．
因此的取值范围是．
故选C．
12.【答案】
【解析】连接，如图所示：
因为，
所以，
又因为，，
所以，
又因为、、三点共线，
所以，
所以．
故选：．
13.【答案】
【解析】因为为边的中线，所以．
因为为边上的高，所以，且在中，，
所以
．
14.【答案】
【解析】对于：当为时，不一定成立，故A错误；
对于：向量，，，有表示和共线的向量，
表示和共线的向量，等式不一定成立，故B错误；
对于：向量，，所以和不共线，
所以这两个向量能构成所在平面内的一个基底，故C正确；
对于：设，为非零向量，则当“存在负数，使得”时，
则“”成立，
当“”成立时，可能的夹角为钝角，故D正确．
故选：．
15.【答案】
【解析】因为，所以，则，故A错误
，故B正确
，
，
则，，故C正确
在上的投影向量为．，故D正确．
故选BCD．
16.【答案】
【解析】对于，若，则，
整理得，即，
可得，所以，故A项不正确；
对于，由，得，
可知的平分线与垂直，所以中，．
由，可知单位向量、的夹角余弦值等于，
即，结合为三角形的内角，可得．
因此，是等边三角形，可知项正确；
对于，若，则，
可得，
即，可得，
即，可得，故C项正确；
对于，若，且，延长到，使，
则，满足，所以点在上．
由，可知点到的距离等于点到距离的，所以，故D项正确．
故选：．
17.【答案】
【解析】由得，整理得，又，
则，即，解得，所以A正确B错误；
则，所以，所以夹角为，所以C正确；
又，则，所以D错误．
故选：．
18.【答案】
【解析】对于，由，得，
得，即，故A正确；
对于，若直线过边的中点，则，系数相同，与矛盾，故B错误；
对于，取点，，使得，，，则，所以点为的重心，
则，
则，
同理可得，，
所以，故C正确
对于，因为，所以．
所以，即，
即，解得．
所以，故D正确，
故本题选ACD．
19.【答案】
【解析】因为，所以复数在复平面内对应的点为，由题意得，解得．
故答案为：
20.【答案】
【解析】设，
则，
由得，
解得，故，所以．
故答案为：．
21.【答案】
【解析】设，
因为点，，，动点满足，
所以，化简可得，
即为动点的轨迹方程．
因为，
所以，
所以，解得
所以．
由，得，
即，，
当且仅当时，等号成立．
所以当时，的最大值为．
故答案为：．
22.【解析】因为向量，，
所以，
．
向量，，
又向量与平行，
则：，
解得．
23.【解析】，的夹角为，
，
在方向上的投影向量为；
与的夹角是锐角，
，且与不能同向共线，
，且，，
或．
故实数的取值范围是．

24.【解析】因为，
所以，
由题意知：、是一元二次方程、的两个根，
由，
解之得：
设，
则，
，
则有，解得
所以．
25.【解析】证明：由，，三点共线，得，设，
即，
所以，
由不共线得，
即．
，
因为
，
又，所以，
所以
．
故当时，．
即的最小值为．
26. 【解析】因为，所以以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
因为，，是线段上一点，且，
所以，，，．
因为 ，，，
而，
所以，解得，因此
因为直线的方程为，而为线段上一点，
所以设 ，，
因此， ，
所以，，
因此
因为为线段的中点，所以，
因此直线的方程为：．
而，，因此直线的方程为：，
由解得，因此，
所以 ．
又因为，，所以，
因此 ．
第5页，共16页

展开更多......

收起↑