第七章 命题与证明(培优)(含答案)

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第七章 命题与证明(培优)(含答案)

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第七章 命题与证明(培优)
一、单选题
1.平面上三条直线两两相交最多能构成对顶角的对数是(  ).
A.7 B.6 C.5 D.4
2.如图,下列命题:
①若∠1=∠2,则∠D=∠4;
②若∠C=∠D,则∠4=∠C;
③若∠A=∠F,则∠1=∠2;
④若∠1=∠2,∠C=∠D,则∠A=∠F;
⑤若∠C=∠D,∠A=∠F,则∠1=∠2.
其中正确的个数为(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图,,,平分,平分,则(  )
A. B. C. D.
4.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差,则称这个正整数为“和谐数”.如:2=13﹣(﹣1)3,26=33﹣13,2和26均为和谐数.那么,不超过2019的正整数中,所有的“和谐数”之和为(  )
A.6858 B.6860 C.9260 D.9262
5.下列语句正确的是(  )
A.相等的角是对顶角
B.不是对顶角的角都不相等.
C.不相等的角一定不是对顶角
D.有公共点且和为180°的两个角是对顶角.
6.某届世界杯的小组比赛规则:四个球队进行单循环比赛(每两队赛一场),胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,某小组比赛结束后,甲、乙,丙、丁四队分别获得第一,二,三,四名,各队的总得分恰好是四个连续奇数,则与乙打平的球队是(  )
A.甲 B.甲与丁 C.丙 D.丙与丁
二、填空题
7.如图,平分,交于点,点在线段上(不与点,点重合),连接,已知,若,且(为常数,且为正数),则的值为   .
8.如图1是一个消防云梯,其示意图如图2所示,此消防云梯由救援台,延展臂(B在C的左侧),伸展主臂,支撑臂构成.在操作过程中,救援台,车身及地面三者始终保持平行,
(1)当,时,   度;
(2)如图3为了参与另一项高空救援工作,需要进行调整,使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直,且,此时   度.
9.一个机器人从数轴原点出发,沿数轴正方向以每前进3步后退2步的程序运动.设该机器人每秒前进或后退1步,并且每步的距离是1个单位长度,xn表示第ns时机器人在数轴上的位置所对应的数.有下列结论:①;②1;③;④.其中正确的结论是   .(填序号)
10.地铁某换乘站设有编号为 , , , , 的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口, 疏散1000名乘客所需的时间如下:
安全出口编号 , , , , ,
疏散乘客时间 120 220 160 140 200
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是   .
11.如图,已知AB∥CD,E、F、H分别为AB、CD、AC上一点(∠DFK<∠BEK),KG平分∠EKF,∠AEK+∠HKE=180°.则下列结论:①CD∥KH;②∠BEK+∠DFK=2∠EKG;③∠BEK-∠DFK=∠GKH;④∠BAC+∠AGK-∠GKF+∠DFK=180°.其中正确的是   .(填序号)
12.有同样大小的三个立方体骰子,每个骰子的展开图如图1所示,现在把三个股子放在桌子上(如图2),凡是能看得到的点数之和最大是   ,最小是   .
三、计算题
13.【概念学习】
现规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的商的运算叫做除方,比如2÷2÷2,(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)等,类比有理数的乘方,我们把2÷2÷2写作2③,读作“2的圈3次方”,(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)写作(﹣3)④,读作“(﹣3)的圈4次方”,一般地,把(a≠0)写作a ,读作“a的圈n次方”.
【初步探究】
(1)直接写出计算结果:2③=   ,(﹣)④=   ;
(2)下列关于除方说法中,错误的是:   .
A:任何非零数的圈2次方都等于1
B:对于任何正整数n,1 =1
C:3④=4③
D:负数的圈奇数次方结果是负数,负数的圈偶数次方结果是正数
【深入思考】
我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?
(3)试一试:仿照上面的算式,把下列除方运算直接写成幂的形式:(﹣3)⑤=   ,()⑥=   .
(4)想一想:请把有理数a(a≠0)的圈n(n≥3)次方写成幂的形式为a =   .
(5)算一算:=   .
四、解答题
14.已知命题:“如图,点B、F、C、E在同一条直线上,则AB∥DE.”判断这个命题是真命题还是假命题,如果是真命题,请给出证明;如果是假命题,在不添加其他辅助线的情况下,请添加一个适当的条件使它成为真命题,并加以证明.
15.已知:直线,点A和点B是直线a上的点,点C和点D是直线b上的点,连接,,设直线和交于点E.
(1)在如图1所示的情形下,若,求的度数;
(2)在如图2所示的情形下,若平分,平分,且与交于点F,当,时,求的度数;
(3)如图3,当点B在点A的右侧时,若平分,平分,且,交于点F,设,,用含有α,β的代数式表示的补角.
16.如图,直线,点E,F分别在直线上,射线从出发绕点E以每秒的速度逆时针旋转,射线从出发绕点F以每秒的速度顺时针旋转,射线先旋转6秒后射线才开始旋转,在旋转过程中射线与射线不在同一条直线上,且射线旋转的度数为时,两条射线的旋转运动同时停止,设射线的旋转时间为t秒.
(1)填空:射线旋转的度数为______度,射线旋转的度数为______度;(用含t的代数式表示);
(2)若,求此时t的值.
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】对顶角及其性质
2.【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质;三角形内角和定理;对顶角及其性质
3.【答案】C
【知识点】平行公理及推论;平行线的性质;角平分线的概念
4.【答案】B
【知识点】推理与论证;有理数的乘方法则
5.【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
6.【答案】B
【知识点】推理与论证
7.【答案】
【知识点】角平分线的性质;平行线的应用-证明问题
8.【答案】120;160
【知识点】两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等
9.【答案】①②④
【知识点】探索数与式的规律;归纳与类比
10.【答案】D
【知识点】推理与论证
11.【答案】①②④
【知识点】平行公理及推论;平行线的判定与性质;角平分线的概念
12.【答案】51;26
【知识点】几何体的展开图;推理与论证
13.【答案】(1),4;(2)C;(3)(﹣)3, 54;(4)()n﹣2;(5)-2.
【知识点】有理数混合运算法则(含乘方);观察与实验;归纳与类比
14.【答案】如图,点B、F、C、E在同一条直线上,则AB∥DE,是假命题,
当添加:∠B=∠E时,AB∥DE,
理由:∵∠B=∠E,
∴AB∥DE.
【知识点】平行线的判定;真命题与假命题
15.【答案】(1)解:过点E作,
∵,
∴,
∴,,
∴,
∵,
∴;
(2)如图,过点F作,
∵,
∴,
∴,,
∴,
∵平分,平分,,,
∴,,
∴;
(3)如图,过点F作,
∵,
∴,
∴,,
∴,
∵平分,平分,,,
∴,,
∴,
∴的补角.
【知识点】平行公理及推论;平行线的性质;角平分线的概念
16.【答案】(1),
(2)解:①如图1,当时,延长交于点M,
∵,


∴,

解得
如图2,当时,设交于点N,
∵,


∴,
∴,
解得,
综上可知,若,此时t的值为1或4.
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题;两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补
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