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第七章 命题与证明（培优）
一、单选题
1．平面上三条直线两两相交最多能构成对顶角的对数是（　　）.
A．7 B．6 C．5 D．4
2．如图，下列命题：
①若∠1＝∠2，则∠D＝∠4；
②若∠C＝∠D，则∠4＝∠C；
③若∠A＝∠F，则∠1＝∠2；
④若∠1＝∠2，∠C＝∠D，则∠A＝∠F；
⑤若∠C＝∠D，∠A＝∠F，则∠1＝∠2.
其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，，，平分，平分，则（　　）
A． B． C． D．
4．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为和谐数.那么，不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　）
A．6858 B．6860 C．9260 D．9262
5．下列语句正确的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．不是对顶角的角都不相等.
C．不相等的角一定不是对顶角
D．有公共点且和为180°的两个角是对顶角.
6．某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙，丙、丁四队分别获得第一，二，三，四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是（　　）
A．甲 B．甲与丁 C．丙 D．丙与丁
二、填空题
7．如图，平分，交于点，点在线段上（不与点，点重合），连接，已知，若，且（为常数，且为正数），则的值为　 　．
8．如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台，延展臂（B在C的左侧），伸展主臂，支撑臂构成．在操作过程中，救援台，车身及地面三者始终保持平行，
（1）当，时，　 　度；
（2）如图3为了参与另一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，此时　 　度．
9．一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进3步后退2步的程序运动.设该机器人每秒前进或后退1步，并且每步的距离是1个单位长度，xn表示第ns时机器人在数轴上的位置所对应的数.有下列结论：①；②1；③；④.其中正确的结论是　 　.(填序号)
10．地铁某换乘站设有编号为 ， ， ， ， 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口， 疏散1000名乘客所需的时间如下：
安全出口编号 ， ， ， ， ，
疏散乘客时间 120 220 160 140 200
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是　 　．
11．如图，已知AB∥CD，E、F、H分别为AB、CD、AC上一点（∠DFK＜∠BEK），KG平分∠EKF，∠AEK＋∠HKE＝180°．则下列结论：①CD∥KH；②∠BEK＋∠DFK＝2∠EKG；③∠BEK－∠DFK＝∠GKH；④∠BAC＋∠AGK－∠GKF＋∠DFK＝180°．其中正确的是　 　．（填序号）
12．有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，现在把三个股子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是　 　，最小是　 　．
三、计算题
13．【概念学习】
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地，把（a≠0）写作a ，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：2③＝　 　，（﹣）④＝　 　；
（2）下列关于除方说法中，错误的是：　 　．
A：任何非零数的圈2次方都等于1
B：对于任何正整数n，1 ＝1
C：3④＝4③
D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（3）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：（﹣3）⑤＝　 　，（）⑥＝　 　．
（4）想一想：请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为a ＝　 　．
（5）算一算：＝　 　．
四、解答题
14．已知命题：“如图，点B、F、C、E在同一条直线上，则AB∥DE．”判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，在不添加其他辅助线的情况下，请添加一个适当的条件使它成为真命题，并加以证明．
15．已知：直线，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接，，设直线和交于点E．
（1）在如图1所示的情形下，若，求的度数；
（2）在如图2所示的情形下，若平分，平分，且与交于点F，当，时，求的度数；
（3）如图3，当点B在点A的右侧时，若平分，平分，且，交于点F，设，，用含有α，β的代数式表示的补角．
16．如图，直线，点E，F分别在直线上，射线从出发绕点E以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点F以每秒的速度顺时针旋转，射线先旋转6秒后射线才开始旋转，在旋转过程中射线与射线不在同一条直线上，且射线旋转的度数为时，两条射线的旋转运动同时停止，设射线的旋转时间为t秒．
（1）填空：射线旋转的度数为______度，射线旋转的度数为______度；（用含t的代数式表示）；
（2）若，求此时t的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质
2．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；对顶角及其性质
3．【答案】C
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念
4．【答案】B
【知识点】推理与论证；有理数的乘方法则
5．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
6．【答案】B
【知识点】推理与论证
7．【答案】
【知识点】角平分线的性质；平行线的应用-证明问题
8．【答案】120；160
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
9．【答案】①②④
【知识点】探索数与式的规律；归纳与类比
10．【答案】D
【知识点】推理与论证
11．【答案】①②④
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质；角平分线的概念
12．【答案】51；26
【知识点】几何体的展开图；推理与论证
13．【答案】（1），4；（2）C；（3）（﹣）3， 54；（4）（）n﹣2；（5）-2．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；观察与实验；归纳与类比
14．【答案】如图，点B、F、C、E在同一条直线上，则AB∥DE，是假命题，
当添加：∠B=∠E时，AB∥DE，
理由：∵∠B=∠E，
∴AB∥DE．
【知识点】平行线的判定；真命题与假命题
15．【答案】（1）解：过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）如图，过点F作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，平分，，，
∴，，
∴；
（3）如图，过点F作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，平分，，，
∴，，
∴，
∴的补角．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念
16．【答案】（1），
（2）解：①如图1，当时，延长交于点M，
∵，
∴
∵
∴，
∴
解得
如图2，当时，设交于点N，
∵，
∴
∵
∴，
∴，
解得，
综上可知，若，此时t的值为1或4．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
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