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2025年秋期北师大版数学八年级上册期中试题（培优）
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD＋PE的长是（　　）
A．4.8 B．4.8或3.8 C．3.8 D．5
2．已知坐标平面内一点A(2，1)，O为原点，B是x轴上一个动点，如果以点B，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点B的个数为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．若的值为（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
4．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线上，且，给出下列结论：
①AE＝10，②∠COD＝45°，③△COF的面积S△COF＝6，④CF＝BD＝2，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
5．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 ，设x= ，易知 > ，故x>0，由x2= = =2，解得x= ，即 。根据以上方法，化简 后的结果为（　　）
A．5+3 B．5+ C．5- D．5-3
6．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x B．x C．x D．x
二、填空题
7．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 　 　cm．（结果保留π）
8．如图， 以 Rt 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形． 若 ， 则图中阴影部分的面积为　 　
9．如图，四边形ABCD中，点E在CD上， 交AC于点F， ，若 ， ，则 　 　.
10．如图，已知等边△ABC的边长为4，点P是边BC上一点，BP＝1，则AP＝　 　，若点Q是边AC上一点，BQ＝AP，则AQ＝　 　．
11．如图，，，D为上一点，，，交于点E，点F为直线上一点，则的最小值为　 　．
12．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点 ， ， ， ， 那么点 的坐标为　 　.
三、计算题
13．阅读材料
，像上述解题过程中， 和 相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化。
（1）化简
① ；
② （n为整数）；
（2）化简：
14．若x，y为实数，且y＝ ＋ ＋ ．求 － 的值．
15．课堂上老师讲解了比较 和 的方法，观察发现11-10＝15-14＝1，于是比较这两个数的倒数：
因为 ，所以 ，则有 ，
请你设计一种方法比较 与 的大小，
16．阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如 、 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
；
.
以上这种化简的步骤叫做分母有理化.
还可以用以下方法化简：
.
（1）请用两种方法化简 ；
（2）化简： .
四、解答题
17．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗 请按照下面的问题试一试：
（1）由，，可以确定是　 　位数，由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是　 　，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定的十位上的数字是　 　；
（2）已知32768，－274625都是整数的立方，按照上述方法，请你分别求它们的立方根．
18．若a，b为有理数，且 = ，求 的值。
19．如图①，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2m-6，0)，B(4，0)，C(-1，2)，点A，B分别在原点两侧，且A，B两点间的距离等于6个单位长度．
（1）m的值为_________；
（2）在x轴上是否存在点M，使△COM的面积=△ABC的面积，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，把线段AB向上平移2个单位得到线段EF，连接AE，BF，EF交y轴于点G，过点C作CD⊥AB于点D，将长方形GOBF和长方形AECD分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右平移，同时，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线AECDA运动，当长方形GOBF与长方形AECD重叠面积为1时，求此时点M的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理
2．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的性质
3．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
4．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；补角
5．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
6．【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
7．【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
8．【答案】5
【知识点】勾股定理；勾股树模型
9．【答案】7
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS
10．【答案】；3或1
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理
11．【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
12．【答案】（1009，1）
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移
13．【答案】（1）解：① = = ；
②
=
= ；
（2）解：
=
=
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
14．【答案】解：要使y有意义，必须 ，即 ∴　x＝ ．当x＝ 时，y＝ ．
又∵ － ＝ －
＝| |－| |
∵x＝ ，y＝ ，∴　 ＜ ．
∴原式＝ － ＝2
当x＝ ，y＝ 时，原式＝2 ＝
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的化简求值
15．【答案】解：
【知识点】实数的大小比较
16．【答案】（1）解：原式＝
（2）解：原式= ；（2）
= =
=
=
【知识点】分母有理化
17．【答案】（1）2；9；3
（2）解：由，，可以确定是2位数，
由32768的个位上的数是8，可以确定的个位上的数字是2，
如果划去32768后面的三位768得到数32，而，，
由此可以确定的十位上的数字是3，∴；
由，，可以确定是2位数，
由274625的个位上的数是5，可以确定的个位上的数字是5，
如果划去274625后面的三位625得到数274，而，，
由此可以确定的十位上的数字是6，
∴，
∴．
【知识点】立方根及开立方
18．【答案】【解答】 =+ + = ，因为a、b都为有理数，所以a=0，b= ，所以 =1.
【知识点】二次根式的加减法
19．【答案】（1）2
（2）解：存在，∵AB=6，C（-1，2），
∴S△ABC=AB×|yC|=6，
∵△COM的面积=△ABC的面积，
∴S△COM=2，
当点M在x轴上时，
设M（a，0），
∴OM=|a|，
∴S△COM=OM×|yC|=×|a|×2=2，
∴a=±2，
∴M（-2，0）或（2，0）.
（3）解：设经b秒后长方形GOBF与长方形AECD重叠面积为1，由题意可得，bs后，点D'（-1+2b，0），O'（b，0），B'（4+b，0），
①当长方形GOBF与长方形AECD重叠部分在长方形GOBF左侧时，
∵高必为2，
∴底为，
∴-1+2b-b=0.5，
∴b=1.5，
∴点M也运动1.5秒，
∴1.5×1=1.5＜2=AE，
∴点M在AE上，
∴点M（1，1.5）；
②当长方形GOBF与长方形AECD重叠部分在长方形GOBF右侧时，
∵高必为2，
∴底为，
∴4+b-（-2+2b）=0.5，
∴b=5.5，
∴点M也运动5.5秒，
∴5.5×1=5.5，
∵AE+EC+CD=5＜5.5，
∴点M在AD上，5.5-5=0.5，
而点D'（10，0），
∴点M（9.5，0），
综上所述：点M坐标为（1，1.5）或（9.5，0）．
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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