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2025年高三《第七单元数列》测试卷
一、单选题
1.已知数列，则“，，”是“数列为等差数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知数列为等比数列，为数列前项积，且，，则( )
A. B. C. D.
3.设等比数列的前项和为，且恰为和的等差中项，则( )
A. B. C. D.
4.等比数列中，，前三项和，则公比的值为( )
A. B. 或 C. D. 或
5.若，，成等比数列，则公比为( )
A. B. C. D.
6.已知等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
7.已知等差数列的前项和为，且，则( )
A. B. C. D.
8.我们把各项均为或的数列称为数列，数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列中的奇数换成，偶数换成，得到数列记的前项和为，则
A. B. C. D.
9.作边长为的正三角形的内切圆，再作这个圆的内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆，如此下去，则前个内切圆的面积之和为( )
A. B. C. D.
10.设等差数列、的前项和分别为、，若对任意的，都有，则的值为( )
A. B. C. D.
11.已知数列满足，且若恒成立，则的最小值是( )
A. B. C. D.
12.已知数列满足：，且，则下列说法错误的是( )
A. 存在，使得为等差数列
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，是等比数列
二、多选题
13.已知，且成等差数列( )
A. 也成等差数列 B. 也成等差数列
C. D.
14.已知在首项为，公差为的等差数列中，、、是等比数列的前三项，数列的前项和为，则( )
A. B.
C. 是公差为的等差数列 D.
15.已知数列中，，，，其前项和为，则( )
A. B. C. D.
16.已知数列满足，的前项和为，则( )
A. B. 数列是等比数列
C. ，，构成等差数列 D. 数列前项和为
17.若正整数数列满足下列条件：当时，有即数列严格递增其中表示数列的第项记数列的前项和为则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
18.已知数列满足，，则 ，数列的通项公式为 ．
19.已知是，的等差中项，是，的等比中项，则 ．
20.为等比数列的前项和，若，则的最小值为 ．
四、解答题
21.已知数列满足，，，
Ⅰ证明：数列是等比数列；
Ⅱ求数列的通项公式．
22.已知数列的前项和为，．
求；
求．
23.已知为等差数列，为公比为的等比数列，且．
证明：
求集合中元素个数．
24.某区域市场中智能终端产品的制造全部由甲乙两公司提供技术支持．据市场调研及预测，商用初期，该区域市场中采用的甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有转而采用甲公司技术，采用甲公司技术的产品中有转而采用乙公司技术．设第次技术更新后，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为和，不考虑其他因素的影响．
用表示，并求使数列是等比数列的实数．
经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到以上？若能，则至少需要经过几次技术更新；若不能，请说明理由．
25.对于数列，若存在常数满足，则称为“上界数列”，为的“上界”，并把最小的值叫做“上界临界值”，记为记数列的前项和为，已知，．
Ⅰ判断是否为“上界数列”，并说明理由；
Ⅱ若，为数列的前项和，求数列的“上界临界值”；
Ⅲ若，数列的“上界临界值”为，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】对任意的，都有，
令，可以得到，
因此是公差为的等差数列；
若，此时数列为等差数列，
则，，，
可得，
故“对任意的，都有”是“ 是等差数列”的充分不必要条件．
故选：．
2.【答案】
【解析】由题意，数列为等比数列，为数列前项积，
，
，
则，
可得．
故选B．
3.【答案】
【解析】设等比数列的公比为，由题意可得：，
所以，，
所以．
故选D．
4.【答案】
【解析】，前三项和为，
即，
，
即，
解得或，
故选B．
5.【答案】
【解析】，，成等比数列，
，即，
，
公比为，
故选B．
6.【答案】
【解析】由等差数列的性质可得：，，，成等差数列，
，解得，
，
，，成等差数列，可得，解得．
故选：．
7.【答案】
【解析】设等差数列的公差为，
则，
解得，
所以 ．
故选D．
8.【答案】
【解析】因为，，，则，
所以当为奇数时，为偶数；当为偶数时，为奇数．
所以
故，
所以．
故选C．
9.【答案】
【解析】设第个正三角形的内切圆半径为，第个正三角形的边长为，
可知正三角形内切圆半径是正三角形边长的，
又半径为的圆内接三角形的边长满足，
即，
所以，，
即从第二个正三角形开始，每个正三角形的边长是前一个的，
每个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则，
设前个内切圆的面积和为，则，
故选B．
10.【答案】
【解析】由等差数列的性质和求和公式可得：
．
故选：．
11.【答案】
【解析】由，且，
所以，
则且
当时，满足上式，
故，
由，可确定数列单调递增，
所以若恒成立，则即可，
故的最小值为．
故选C．
12.【答案】
【解析】对于，当时，，
存在，使得为等差数列，故A正确；
对于，当时，，，，，，
，数列是周期为的周期数列，
当时，，故B正确；
对于，当时，，
若，则，又，可知对任意，有，
，
，
不可能有成立，故C错误；
对于，当时，，
若，则，
，可知对任意，有，
，
，
当时，是等比数列，故D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】因为，所以，选项正确；
因为，所以，选项正确；
因为，所以，选项正确；
设成等差数列，得出，
若成等差数列，
则，
已知矛盾，选项错误．
故选：．
14.【答案】
【解析】因为，所以，
又，解得，故A正确；
，
，故B正确；
，所以是首项为，公差为的等差数列，故C错误；
的公比，，
，故D正确．
故选：．
15.【答案】
【解析】由，两边除以，得，
故是公差为的等差数列，
已知，则，由等差数列通项公式，
故，
，A正确；
，B正确；
，而，故不成立，C错误；
， D正确．
故选：．
16.【答案】
【解析】对于，已知，
当时，将代入得到，故选项A正确；
对于，已知，
当时，有
用式：，
所以可得，
当时，也满足，
因为，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，不是等比数列，故选项B错误
对于，，
，
，
则，
所以，，不构成等差数列，故选项C错误；
对于，因为，所以，
所以的前项和为：，故D正确．
故选AD．
17.【答案】
【解析】因为正整数数列满足当时，有，
所以．
设为正整数，
由，得．
因数列严格递增，，
故必须满足否则，矛盾．
若，则与矛盾；
若，则且，与矛盾，
故，则，，，故A错误，B正确；
，
因为，，所以，
所以，故C正确；
，，
所以，故D错误．
18.【答案】
【解析】
，
即，两式相乘得．
，，，，，
个式子相乘得
，又，
故．
故答案为；．
19.【答案】
【解析】由题设可知：
由是，的等差中项，则，
是，的等比中项，则，
则有可知：，
，，
则将式变形得：，
即，
则．
故答案为：．
20.【答案】
【解析】设等比数列的公比为，
由于，，，
所以，
整理得：，即，则，
由题意知公比，则由等比数列的性质得：，，成等比数列，
所以，
因为，所以，
所以，
由，得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：．
21.【解析】Ⅰ证明：，
，
，
，，
数列是以为首项，为公比的等比数列；
Ⅱ由Ⅰ得，
，，
当时，也满足上式，
故
22.【解析】因为，
在中令，得，于是，
由，得；
在中令，得，于是，
由，，得；
当时，用代中的得，
由得，
又当时，，
故当时，，
所以
．

23.【解析】设等差数列公差为
由，知，故
由，知，
故故，整理得，得证．
由知，由知：
即，即，
因为，故，解得，
故集合中元素的个数为个．
24.【解析】由题意知，经过次技术更新后，
，
则 ，
，
．
即．
设，
则，
令，
解得．
又，
所以当时，
是以为首项，为公比的等比数列．
由可知，
则，．
所以经过次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比为．
对于任意，
所以，
即经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比不会达到以上．

25.【答案】因为，
当时，，
两式相减，得，
又因为，所以，
又当时，，得，所以，
因为随着的增大而增大，
所以不存在常数满足，
所以数列不是“上界数列”；
由可知，
所以，
，
，得，
所以，
易得，且当时，，
故；
Ⅲ由可知，
又，
所以，即的一个上界为，根据的定义知．
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