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北师大版数学八年级上册单元分层检测卷第一章 《勾股定理》A卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．在中，，、、所对边的长分别为a、b、c，若，，那么的值是（　　）
A．2 B．6 C．20 D．36
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意，为直角三角形，，因此边c为斜边，a、b为直角边，
由勾股定理得：，
代入已知条件，，
得：，
因此，的值为6，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理“直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方”列式代值计算即可.
2．（2023八上·开江期末）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（　　）
A．2、3、4 B．4、5、6 C．5、11、12 D．8、15、17
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵22+32=13≠52=25，∴以2、3、5为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵42+52=41≠62=36，∴以4、5、6为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵52+112=146≠122=144，∴以5、11、12为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵82+152=289=172，∴以8、15、17为边长的三个木棍能围成直角三角形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此一一判断得出答案.
3．（2023八上·洞头期中）下列条件中，能判定为直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，1+1=2，不能组成三角形，故选项A不符合题意；
B、∵，设，，，a+2a=3a，不能组成三角形，故选项B不符合题意；
C，，最大角，不是直角三角形，故选项C不符合题意；
D、，，，，是直角三角形，故选项D符合题意.
故选：D.
【分析】根据三角形三边关系判断A、B选项，利用三角形内角和定理求出最大角的度数判定C、D选项，即可求解.
4．（2023八上·宁强期末）图中字母所代表的正方形的面积为175的选项为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由勾股定理得：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，
A、A代表的正方形的面积为；
B、B代表的正方形的面积为；
C、C代表的正方形的面积为；
D、D代表的正方形的面积为.
故答案为：A.
【分析】两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，而边长的平方恰是正方形的面积，从而根据选项提供的面积即可得出答案．
5．（2021八上·苏州月考）已知ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A-∠B＝∠C B．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
C．（b＋c）（b-c）＝a2 D．a＝7，b＝24，c＝25
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵∠A﹣∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，故△ABC为直角三角形；
B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝ ×180°＝75°，故△ABC是锐角三角形，不是直角三角形；
C、∵（b+c）（b﹣c）＝a2，∴b2﹣c2＝a2，即b2＝c2＋a2，故△ABC为直角三角形；
D、∵72+242＝252，∴△ABC为直角三角形；
故答案为：B．
【分析】 A、根据三角形的内角和等于180°可得∠A+∠B+∠C=180°，结合已知条件∠A-∠B=∠C可求得∠A=90°，于是可得△ABC是直角三角形；
B、根据三角形的内角和等于180°可得∠A+∠B+∠C=180°，结合已知可得最大角∠C=75°，于是可得△ABC是锐角三角形；
C、将已知的等式去括号可得b2=a2+c2，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形；
D、根据已知的线段长度计算可得c2=a2+b2，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形.
6．（2020八上·河南月考）下列四组数中，是勾股数的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52
C．3，4，5 D． ， ，
【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、 能构成直角三角形，但不是整数，不能构成勾股数，故此选项错误；
B、 不能构成勾股数，故此选项错误；
C、 能构成勾股数，故此选项正确；
D、 又不是整数，不能构成勾股数，故此选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足 ，称这三个数为勾股数，由此判定即可.
7．（2024八上·马关期末）在中，斜边 ，则 的值为 （　　）
A．30 B．100 C．200 D．无法计算
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在中，斜边，
∴，
∴，
故选；C．
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，在中，得到，进而求得的值，得到答案.
8．（2021八上·承德期末）在△ABC中，点D在边BC上，若AD2+BD2＝AB2，则下列结论正确的是（　　）
A．∠BAC＝90° B．∠BAD＝90° C．∠ABD＝90° D．∠ADB＝90°
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵AD2+BD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理的逆定理即可得出答案。
9．（2023八上·砀山月考）如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B． C． D．25
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：，
∵AB2=AC2+BC2=25，
∴AB2+AC2+BC2=50，
∴S阴影=×50=25．
故答案为：D．
【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：AB2=AC2+BC2，据此求解．
10．（2023八上·三水期中）一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高长为（　　）
A．13 B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理该直角三角形的斜边长为：，
设斜边上的高为h，则，
解得h=.
故答案为：C.
【分析】首先利用勾股定理算出该直角三角形的斜边长，设斜边上的高为h，进而根据等面积法建立方程，求解可得h的值.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025八上·苍南期末）如图，在中，是的平分线，则的长为　 　.
【答案】3
【知识点】勾股定理的应用；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵三角形ABC是等腰三角形，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD垂直平分BC，
∵AB=AC=5，BC=8，
∴BD=CD=4，∠ADB=90°
在直角三角形ABD中，∠ADB=90°，由勾股定理可知：AD2+BD2=AB2，
∴AD2=AB2-BD2=52-42=9，即AD=3.
故答案为：3.
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、勾股定理的应用。 此题的关键在于利用等腰三角形中角平分线的性质，即将其作为底边的垂直平分线，从而将问题转化为直角三角形的求边长问题。通过勾股定理的应用，我们顺利地求解出了 AD的长度。这种转化思路在解决几何问题时非常实用，尤其是涉及到等腰三角形和角平分线的问题。
12．（2025八上·兰州期末）如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为　 　．
【答案】139
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
∵正方形、正方形的面积分别为25、144，
∴=25+144=169，AB=5，AC=12，
∴=169-×5×12=169-30=139，
故答案为：139．
【分析】先根据勾股定理可得正方形BCMN的面积为25+144=169，再求出Rt△ABC的面积即可求阴影部分的面积 ．
13．如图，在△ABC中，已知∠A为钝角，边AB，AC的中垂线分别交BC于点D，E．若BD2+CE2=DE2，则∠A=　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AD和AE，如下图：
∵边AB，AC的中垂线分别交BC于点D，E
∴BD=AD，AE=EC，∠B=∠DAB，∠C=∠EAC
∵BD2+CE2=DE2
∴ AD2+AE2=DE2 ∴三角形ADE是直角三角形，∠DAE= 90°
∴∠B+∠DAB+∠C+∠EAC+90° = 180°
∴2（∠B+∠C）=90° ∴∠B+∠C=
∴∠A=180° -=
故答案为：.
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得BD=AD，AE=EC，∠B=∠DAB，∠C=∠EAC；根据勾股定理的逆定理，可得三角形ADE是直角三角形；根据三角形内角和定理，可得∠B+∠C的值，进而求出∠A的值.
14．（2024八上·衡阳期末）一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：三角形的三边长的比为，
∴设三角形的三边长分别为，，，
其周长为，
，解得，
∴三角形的三边长分别是，，，
∵，
此三角形是直角三角形，
，
故答案为：．
【分析】根据比值设三角形的三边长分别为，，，根据周长求出的值，然后判断三角形的形状，利用三角形的面积公式计算解题．
15．（2023八上·乐山期末）如图，在中，，，以、为边作正方形，这两个正方形的面积和为　 　．
【答案】36
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠BAC=90°，BC=6
即两个正方形的面积和为36
故答案为：36
【分析】本题考查勾股定理，熟知勾股定理是解题关键，由勾股定理和∠BAC=90°，BC=6可得：即可得出答案.
16．（2022八上·城阳期中）《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，原文：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：今有竹高10尺，末端被折断而抵达地面，离竹根部有3尺，则竹的余高为　 　尺．
【答案】4.55
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得，如图所示，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴竹的余高为4.55尺，
故答案为：4.55．
【分析】设，则，利用勾股定理可得，再求出x的值即可。
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2019八上·成都开学考）在 Rt△ABC
中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c．若
a∶c＝15∶17，b＝24，求 a.
【答案】解：设a=15x，则c=17x，
由勾股定理得，（15x）2+242=（17x）2，
解得，x=3，
则a=15x=45．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】设a=15x，根据勾股定理列方程，解方程得到答案．
18．（2020八上·吴江月考）如图，花果山上有两只猴子在一棵树 上的点B处，且 ，它们都要到A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树 处的A处，另一只猴子乙先爬到项D处后再沿缆绳 滑到A处.已知两只猴子所经过的路程相等，设 为 .求这棵树高有多少米
【答案】解：设BD为x米，且存在BD+DA=BC+CA，
即BD+DA=15，DA=15-x，
∵∠C=90°，
∴AD2=AC2+DC2，
∴（15-x）2=（x+5）2+102，
∴x=2.5，
∴CD=5+2.5=7.5，
答：树高7.5米.
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】已知BC，要求CD求BD即可，可以设BD为x，找到两只猴子经过路程相等的等量关系，即BD+DA=BC+CA，根据此等量关系列出方程即可求解.
19．（2016八上·扬州期末）如图，一块四边形草地ABCD，其中∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m ， AD＝12m， CD =13cm，求这块草地的面积．
【答案】解：连结AC，
在△ABC中，
∵∠B=90°，AB=4m，BC=3m，
∴AC= =5（m），S△ABC= ×3×4=6（m2），
在△ACD中，
∵AD=12m，AC=5m，CD=13m，
∴AD2+AC2=CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S△ACD= ×5×12=30（m2）．
∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=6+30=36（m2）．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】连结AC利用勾股定理得出AC的长，利用勾股定理的逆定理判断出△ACD是直角三角形，根据三角形的面积公式算出两三角形的面积，再相加即可。
20．（2019八上·新兴期中）如图，圆柱形容器高为16cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子的上沿蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁A处到达B处的最短距离为多少
【答案】解：如图所示，圆柱形玻璃容器，高16cm，底面周长为24cm，
∴在Rt△ABD中，BD=12，AD=16
∴AB2=DA2+DB2=122+162=202，解得：AB=20
∴蚂蚁A处到达B处的最短距离为20cm
【知识点】几何体的展开图；两点之间线段最短；勾股定理的应用
【解析】【分析】把圆柱体的侧面展开成平面图形，再利用勾股定理，即可求解.
21．（2024八上·长沙期末）如图所示，A城与C城的直线距离为60公里，B城与C城的直线距离为80公里，A城与B城的直线距离为100公里．
（1）现需要在A，B，C三座城市所图成的三角形区域内建造一个加油站．使得这个加油站到三座城市A，B，C的距离相等，则加油站点一定是三条　 　的交点；（请在以下选项中选出正确答案并将对应选项序号填写在横线上：①中线②高线③角平分线④垂直平分线）
（2）判断形状，并说明理由．
【答案】（1）④
（2）解：是直角三角形．
理由：∵，，
∴
∴
∴是直角三角形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：（1）∵线段垂直平分线上的点到两边的距离相等，
∴加油站 点一定是三条 垂直平分线的交点，
故答案为：④.
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质求解即可；
（2）根据勾股定理逆定理求解即可。
22．（2023八上·宁强期末）如图，某校攀岩墙的顶部A处安装了一根安全绳，让它垂到地面时比墙高多出了2米，教练把绳子的下端C拉开8米后，发现其下端刚好接触地面（即米），，求攀岩墙的高度.
【答案】解：设攀岩墙的高为x米，则绳子的长为米，
在中，米，
，
∴，
解得，
∴攀岩墙的高为15米.
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】 设攀岩墙的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，在Rt△ABC中，利用勾股定理建立方程， 求解即可.
23．（2018八上·泰兴期中）如图，一架云梯AB的长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端A距地面距离AC为24m．
（1）这个梯子底端B离墙的距离BC有多少米？
（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4 m吗？为什么？
【答案】（1）解：由题意得此时AC=24米，AB=25米，根据AC2+BC2=AB2，可得：BC=7，
答：这个梯子底端离墙有7米
（2）解：不是.
理由：设滑动后梯子的底端到墙的距离为x米，
得方程，x2+(24 4)2=252，
解得：x=15，
所以梯子向后滑动了8米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可求得BC=7m；（2）变化后AC=20米，AB=25米，再利用勾股定理可得BC=15米，从而可知梯子的底部在水平方向滑动了8米.
24．（2020八上·南京期中）如图，在 中， ，垂足为点 ， ， ， .
（1）求 的长；
（2）求 的长.
【答案】（1）解： ，
，
在 中， ，
，
，
，
.
（2）解：在 中， ，
，
，
，
.
.
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】（1）由垂直的概念可得∠ADB=∠CDA=90°，由勾股定理求出AD2，进而得到AD的值；
（2）由勾股定理求出CD的值，然后根据BC=BD+CD进行计算.
1 / 1北师大版数学八年级上册单元分层检测卷第一章 《勾股定理》A卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．在中，，、、所对边的长分别为a、b、c，若，，那么的值是（　　）
A．2 B．6 C．20 D．36
2．（2023八上·开江期末）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（　　）
A．2、3、4 B．4、5、6 C．5、11、12 D．8、15、17
3．（2023八上·洞头期中）下列条件中，能判定为直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2023八上·宁强期末）图中字母所代表的正方形的面积为175的选项为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2021八上·苏州月考）已知ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A-∠B＝∠C B．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
C．（b＋c）（b-c）＝a2 D．a＝7，b＝24，c＝25
6．（2020八上·河南月考）下列四组数中，是勾股数的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52
C．3，4，5 D． ， ，
7．（2024八上·马关期末）在中，斜边 ，则 的值为 （　　）
A．30 B．100 C．200 D．无法计算
8．（2021八上·承德期末）在△ABC中，点D在边BC上，若AD2+BD2＝AB2，则下列结论正确的是（　　）
A．∠BAC＝90° B．∠BAD＝90° C．∠ABD＝90° D．∠ADB＝90°
9．（2023八上·砀山月考）如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B． C． D．25
10．（2023八上·三水期中）一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高长为（　　）
A．13 B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025八上·苍南期末）如图，在中，是的平分线，则的长为　 　.
12．（2025八上·兰州期末）如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为　 　．
13．如图，在△ABC中，已知∠A为钝角，边AB，AC的中垂线分别交BC于点D，E．若BD2+CE2=DE2，则∠A=　 　．
14．（2024八上·衡阳期末）一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为　 　.
15．（2023八上·乐山期末）如图，在中，，，以、为边作正方形，这两个正方形的面积和为　 　．
16．（2022八上·城阳期中）《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，原文：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：今有竹高10尺，末端被折断而抵达地面，离竹根部有3尺，则竹的余高为　 　尺．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2019八上·成都开学考）在 Rt△ABC
中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c．若
a∶c＝15∶17，b＝24，求 a.
18．（2020八上·吴江月考）如图，花果山上有两只猴子在一棵树 上的点B处，且 ，它们都要到A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树 处的A处，另一只猴子乙先爬到项D处后再沿缆绳 滑到A处.已知两只猴子所经过的路程相等，设 为 .求这棵树高有多少米
19．（2016八上·扬州期末）如图，一块四边形草地ABCD，其中∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m ， AD＝12m， CD =13cm，求这块草地的面积．
20．（2019八上·新兴期中）如图，圆柱形容器高为16cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子的上沿蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁A处到达B处的最短距离为多少
21．（2024八上·长沙期末）如图所示，A城与C城的直线距离为60公里，B城与C城的直线距离为80公里，A城与B城的直线距离为100公里．
（1）现需要在A，B，C三座城市所图成的三角形区域内建造一个加油站．使得这个加油站到三座城市A，B，C的距离相等，则加油站点一定是三条　 　的交点；（请在以下选项中选出正确答案并将对应选项序号填写在横线上：①中线②高线③角平分线④垂直平分线）
（2）判断形状，并说明理由．
22．（2023八上·宁强期末）如图，某校攀岩墙的顶部A处安装了一根安全绳，让它垂到地面时比墙高多出了2米，教练把绳子的下端C拉开8米后，发现其下端刚好接触地面（即米），，求攀岩墙的高度.
23．（2018八上·泰兴期中）如图，一架云梯AB的长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端A距地面距离AC为24m．
（1）这个梯子底端B离墙的距离BC有多少米？
（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4 m吗？为什么？
24．（2020八上·南京期中）如图，在 中， ，垂足为点 ， ， ， .
（1）求 的长；
（2）求 的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意，为直角三角形，，因此边c为斜边，a、b为直角边，
由勾股定理得：，
代入已知条件，，
得：，
因此，的值为6，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理“直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方”列式代值计算即可.
2．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵22+32=13≠52=25，∴以2、3、5为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵42+52=41≠62=36，∴以4、5、6为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵52+112=146≠122=144，∴以5、11、12为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵82+152=289=172，∴以8、15、17为边长的三个木棍能围成直角三角形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此一一判断得出答案.
3．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，1+1=2，不能组成三角形，故选项A不符合题意；
B、∵，设，，，a+2a=3a，不能组成三角形，故选项B不符合题意；
C，，最大角，不是直角三角形，故选项C不符合题意；
D、，，，，是直角三角形，故选项D符合题意.
故选：D.
【分析】根据三角形三边关系判断A、B选项，利用三角形内角和定理求出最大角的度数判定C、D选项，即可求解.
4．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由勾股定理得：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，
A、A代表的正方形的面积为；
B、B代表的正方形的面积为；
C、C代表的正方形的面积为；
D、D代表的正方形的面积为.
故答案为：A.
【分析】两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，而边长的平方恰是正方形的面积，从而根据选项提供的面积即可得出答案．
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵∠A﹣∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，故△ABC为直角三角形；
B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝ ×180°＝75°，故△ABC是锐角三角形，不是直角三角形；
C、∵（b+c）（b﹣c）＝a2，∴b2﹣c2＝a2，即b2＝c2＋a2，故△ABC为直角三角形；
D、∵72+242＝252，∴△ABC为直角三角形；
故答案为：B．
【分析】 A、根据三角形的内角和等于180°可得∠A+∠B+∠C=180°，结合已知条件∠A-∠B=∠C可求得∠A=90°，于是可得△ABC是直角三角形；
B、根据三角形的内角和等于180°可得∠A+∠B+∠C=180°，结合已知可得最大角∠C=75°，于是可得△ABC是锐角三角形；
C、将已知的等式去括号可得b2=a2+c2，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形；
D、根据已知的线段长度计算可得c2=a2+b2，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形.
6．【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、 能构成直角三角形，但不是整数，不能构成勾股数，故此选项错误；
B、 不能构成勾股数，故此选项错误；
C、 能构成勾股数，故此选项正确；
D、 又不是整数，不能构成勾股数，故此选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足 ，称这三个数为勾股数，由此判定即可.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在中，斜边，
∴，
∴，
故选；C．
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，在中，得到，进而求得的值，得到答案.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵AD2+BD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理的逆定理即可得出答案。
9．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：，
∵AB2=AC2+BC2=25，
∴AB2+AC2+BC2=50，
∴S阴影=×50=25．
故答案为：D．
【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：AB2=AC2+BC2，据此求解．
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理该直角三角形的斜边长为：，
设斜边上的高为h，则，
解得h=.
故答案为：C.
【分析】首先利用勾股定理算出该直角三角形的斜边长，设斜边上的高为h，进而根据等面积法建立方程，求解可得h的值.
11．【答案】3
【知识点】勾股定理的应用；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵三角形ABC是等腰三角形，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD垂直平分BC，
∵AB=AC=5，BC=8，
∴BD=CD=4，∠ADB=90°
在直角三角形ABD中，∠ADB=90°，由勾股定理可知：AD2+BD2=AB2，
∴AD2=AB2-BD2=52-42=9，即AD=3.
故答案为：3.
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、勾股定理的应用。 此题的关键在于利用等腰三角形中角平分线的性质，即将其作为底边的垂直平分线，从而将问题转化为直角三角形的求边长问题。通过勾股定理的应用，我们顺利地求解出了 AD的长度。这种转化思路在解决几何问题时非常实用，尤其是涉及到等腰三角形和角平分线的问题。
12．【答案】139
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
∵正方形、正方形的面积分别为25、144，
∴=25+144=169，AB=5，AC=12，
∴=169-×5×12=169-30=139，
故答案为：139．
【分析】先根据勾股定理可得正方形BCMN的面积为25+144=169，再求出Rt△ABC的面积即可求阴影部分的面积 ．
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AD和AE，如下图：
∵边AB，AC的中垂线分别交BC于点D，E
∴BD=AD，AE=EC，∠B=∠DAB，∠C=∠EAC
∵BD2+CE2=DE2
∴ AD2+AE2=DE2 ∴三角形ADE是直角三角形，∠DAE= 90°
∴∠B+∠DAB+∠C+∠EAC+90° = 180°
∴2（∠B+∠C）=90° ∴∠B+∠C=
∴∠A=180° -=
故答案为：.
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得BD=AD，AE=EC，∠B=∠DAB，∠C=∠EAC；根据勾股定理的逆定理，可得三角形ADE是直角三角形；根据三角形内角和定理，可得∠B+∠C的值，进而求出∠A的值.
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：三角形的三边长的比为，
∴设三角形的三边长分别为，，，
其周长为，
，解得，
∴三角形的三边长分别是，，，
∵，
此三角形是直角三角形，
，
故答案为：．
【分析】根据比值设三角形的三边长分别为，，，根据周长求出的值，然后判断三角形的形状，利用三角形的面积公式计算解题．
15．【答案】36
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠BAC=90°，BC=6
即两个正方形的面积和为36
故答案为：36
【分析】本题考查勾股定理，熟知勾股定理是解题关键，由勾股定理和∠BAC=90°，BC=6可得：即可得出答案.
16．【答案】4.55
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得，如图所示，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴竹的余高为4.55尺，
故答案为：4.55．
【分析】设，则，利用勾股定理可得，再求出x的值即可。
17．【答案】解：设a=15x，则c=17x，
由勾股定理得，（15x）2+242=（17x）2，
解得，x=3，
则a=15x=45．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】设a=15x，根据勾股定理列方程，解方程得到答案．
18．【答案】解：设BD为x米，且存在BD+DA=BC+CA，
即BD+DA=15，DA=15-x，
∵∠C=90°，
∴AD2=AC2+DC2，
∴（15-x）2=（x+5）2+102，
∴x=2.5，
∴CD=5+2.5=7.5，
答：树高7.5米.
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】已知BC，要求CD求BD即可，可以设BD为x，找到两只猴子经过路程相等的等量关系，即BD+DA=BC+CA，根据此等量关系列出方程即可求解.
19．【答案】解：连结AC，
在△ABC中，
∵∠B=90°，AB=4m，BC=3m，
∴AC= =5（m），S△ABC= ×3×4=6（m2），
在△ACD中，
∵AD=12m，AC=5m，CD=13m，
∴AD2+AC2=CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S△ACD= ×5×12=30（m2）．
∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=6+30=36（m2）．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】连结AC利用勾股定理得出AC的长，利用勾股定理的逆定理判断出△ACD是直角三角形，根据三角形的面积公式算出两三角形的面积，再相加即可。
20．【答案】解：如图所示，圆柱形玻璃容器，高16cm，底面周长为24cm，
∴在Rt△ABD中，BD=12，AD=16
∴AB2=DA2+DB2=122+162=202，解得：AB=20
∴蚂蚁A处到达B处的最短距离为20cm
【知识点】几何体的展开图；两点之间线段最短；勾股定理的应用
【解析】【分析】把圆柱体的侧面展开成平面图形，再利用勾股定理，即可求解.
21．【答案】（1）④
（2）解：是直角三角形．
理由：∵，，
∴
∴
∴是直角三角形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：（1）∵线段垂直平分线上的点到两边的距离相等，
∴加油站 点一定是三条 垂直平分线的交点，
故答案为：④.
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质求解即可；
（2）根据勾股定理逆定理求解即可。
22．【答案】解：设攀岩墙的高为x米，则绳子的长为米，
在中，米，
，
∴，
解得，
∴攀岩墙的高为15米.
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】 设攀岩墙的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，在Rt△ABC中，利用勾股定理建立方程， 求解即可.
23．【答案】（1）解：由题意得此时AC=24米，AB=25米，根据AC2+BC2=AB2，可得：BC=7，
答：这个梯子底端离墙有7米
（2）解：不是.
理由：设滑动后梯子的底端到墙的距离为x米，
得方程，x2+(24 4)2=252，
解得：x=15，
所以梯子向后滑动了8米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可求得BC=7m；（2）变化后AC=20米，AB=25米，再利用勾股定理可得BC=15米，从而可知梯子的底部在水平方向滑动了8米.
24．【答案】（1）解： ，
，
在 中， ，
，
，
，
.
（2）解：在 中， ，
，
，
，
.
.
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】（1）由垂直的概念可得∠ADB=∠CDA=90°，由勾股定理求出AD2，进而得到AD的值；
（2）由勾股定理求出CD的值，然后根据BC=BD+CD进行计算.
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