资源简介

北师大版数学八年级上册单元分层检测卷第一章 《勾股定理》B卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2018八上·张家港期中）如图，由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形图案是某届国际数学大会的会标，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么 的值为（　　）
A．256 B．169 C．29 D．48
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】大正方形的面积为16，得到它的边长为4，
即得a2+b2=42=16，
由题意4× ab+3=16，
2ab=13，
所以(a+b)2=a2+2ab+b2=16+13=29.
故答案为：C.
【分析】利用已知大小正方形的面积，可求出a2+b2=42，及4× ab+3=16，就可求出ab的值，然后求出答案。
2．（2024八上·浙江期中）《九章算术》是我国古代数学代表作．书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思），一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，推开双门，双门间隙的距离为2寸，点和点距离门槛都为1尺（1尺寸），图2为图1放大后的平面示意图，则的长为（　　）
A．寸 B．寸 C．99寸 D．101寸
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：取的中点，过作于，如下图：
由题意得：；
设 寸，
则寸，寸，寸，
寸，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴寸，
故答案为：D．
【分析】取的中点，过作于，设AC=r寸，可得寸，寸，寸以及AO的长，再在中利用勾股定理，即可得得到答案．
3．如图，在△ABC 中，AB=AC=4，P 是 BC 上异于B，C的一点，则 的值是(　　).
A．16 B．20 C．25 D．30
【答案】A
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
=AP2+(BD-PD）（CD+DP)=AP2+BD2-PD2，
∵AP2=AD2+PD2，
∴=AD2+PD2+BD2-PD2=AD2+BD2=AB2=42=16。
故答案为：A .
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形三线合一的性质，得出BD=CD，然后根据勾股定理得出AP2=AD2+PD2，进而得出=AD2+PD2+BD2-PD2=AD2+BD2，进而根据勾股定理得出答案。
4．（2024八上·瑞安月考）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；若此类勾股数的勾为（，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股数；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵m为正整数，
∴2m为偶数，设其股为a，则弦为a+2
∴
∴
∴弦为
故答案为：A.
【分析】根据题意得到：2m为偶数，设其股为a，则弦为a+2，则得到关于a和m的方程：进而即可求解.
5．（2021八上·顺德期末）下面图形能够验证勾股定理的有（　　）个
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：A、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
B、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
C、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
D、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
故答案为：A．
【分析】利用面积法只能勾股定理即可得解。
6．（2020八上·榆林月考）下列叙述中，正确的是
A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方
B．如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
C． 中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若 ，则∠A=90
D． 中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90 ，则
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵由勾股定理知，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，而直角边应该都小于斜边，所以直角三角形中，应该是较小两条边的平方和等于第三边的平方，∴A选项错误；
B、∵由勾股定理的逆定理可得：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，∴B选项正确；
C、∵ ，∴c为斜边，c的对角∠C=90 ，∴C选项错误；
D、∵△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠B=90 ，∴b为斜边，∴ ，∴D选项错误.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，据此判A；根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长为a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形，其中，最长边所对的角是直角，据此判断B，C，D.
7．（2025八上·射洪期末）一辆装满货物，宽为米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门），则卡车的外形不得高于（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：由图形可得，（米），（米），
∵，
∴，
解得：（米），
∵，
∴（米），
∴卡车的外形不得高于米．
故答案为：C．
【分析】先得到，然后利用勾股定理得到长，即可利用得到CH长，解题．
8．（2025八上·深圳期末）如图，在的正方形网格中，A，B，C，D是格点，则下列线段长度最长是（　　）
A．AB B．AD C．AC D．AE
【答案】C
【知识点】勾股定理；线段的长短比较
【解析】【解答】解：设正方形网格中每个小正方形的边长为1，
则AE2=12+32=10；AD2=22+22=8；AC2=22+32=13；AB2=12+32=10；
∵13>10>8，
∴最长的是AC，
故答案为：C.
【分析】先利用勾股定理分别求出AE、AD、AC和AB的长，再比较大小即可.
9．（2018-2019学年数学北师大版八年级上册第一章《勾股定理》 单元测试卷）若一个三角形三边满足（a+b）2﹣c2=2ab，则这个三角形是（　　）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．以上结论都不对
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵（a+b）2﹣c2=2ab，
∴a2+b2+2ab﹣c2=2ab，
∴a2+b2=c2，
∴这个三角形为直角三角形．
故答案为：A．
【分析】将（a+b）2﹣c2=2ab转化为a2+b2=c2，可判断得出三角形的形状。
10．（2022八上·江干期中）如图，在△ACB中，∠C=90°， AB的垂直平分线交AB、AC于点M、N，若AC=8，BC=4，则NC的长度为（　　）.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，连接BN， 因为MN是AB的垂直平分线，所以AN=BN，设NC为x， 则AN=BN=8-x，又因为∠C＝90°，则BC2+NC2=BN2， 即42+x2=(8-x)2， 解得x=3，NC=3.
故答案为：B.
【分析】先根据垂直平分线性质可知AN=BN， 再根据勾股定理，用方程得出NC的长度.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023八上·海州期中）有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送水平距离时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【解答】解：在中，
，
设秋千的绳索长为，
则，
故，
解得：，
答：绳索AD的长度是．
故答案为：．
【分析】
设秋千的绳索长为，则由题意可得，再利用勾股定理列方程并求解即可．
12．（2024八上·普宁月考）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，若AD＝3，BC＝5，则AB2+CD2＝　 　．
【答案】34
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，AD2=DE2+AE2=9，BC2=BE2+CE2=25，
∵AB2=BE2+AE2，CD2=CE2+DE2，
∴AB2+CD2=BE2+AE2+CE2+DE2= BE2+CE2+AE2+DE2 =25+9=34，
故答案为：34.
【分析】根据勾股定理，即可得出答案。
13．（2024八上·长春净月高新技术产业开发期末）人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有　 　．（直接填写图序号）
【答案】③④
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：①长方形的面积：，
②，
③，
整理，得，
④，
整理，得，
故答案为：③④．
【分析】根据勾股定理的证明方法求解。分别求出①②③④的面积，化简比较即可得．
14．（2024八上·长兴期中）如图，货车车高，卸货时后面挡板AB折落在地面处，已知点A、B、C在一条直线上，，经过测量，则　 　m.
【答案】1.5
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设BC=x m，则AB=BA1=(4-x) m，
在Rt△BCA1中，x2+22=(4-x)2，解得x=1.5
故答案为：1.5.
【分析】在Rt△BCA1中，设BC=x m，利用勾股定理列方程求解即可.
15．（2024八上·宁波期末）如图，在中，，于点，，，则　 　．
【答案】5
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设 =x，则CD=x-1
在中，根据勾股定理有
解得：x=5
故答案为：5
【分析】勾股定理应用，无法直接求解就考虑设元利用方程思想解决
16．（2024八上·达州期末）如图，在的正方形方格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则是　 　三角形．
【答案】直角
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由图可知：，
，，
，
是直角三角形.
故答案为：直角.
【分析】结合图形，先利用勾股定理求出AC2、AB2、BC2，再利用勾股定理的逆定理判断即可.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025八上·余姚期末）如图，等腰三角形 中 ，且 ．
（1）求 的长；
（2）求 的面积．
【答案】（1）解：设AD=xcm，∵是在等腰三角形ABC中，∴AB=AC，
则列示为（x+3）2=x2+42
解得x=
∴AD的长为cm。
（2）解： 的面积 =AB×CD×=（3+）×4×=cm2
∴ 的面积是cm2。
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1）题可以放到直角三角形ACD中，因为AB=AC，所以利用勾股定理列式求解即可；
（2）题根据（1）题的结果计算出AB的长度，然后以AB为底、CD为高即可计算出三角形的面积。
18．装修工人携带了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装.如图，已知电梯的长、宽、高分别是1.5m， 1.5m， 2.2m， 那么能放入电梯内的木条的最大长度大约是多少米
【答案】解：如图进行点标注，则DF的长度为能放入电梯内的最大长度.
在中，根据勾股定理，得
在中，根据勾股定理，得
故3所以能放入电梯内竹竿的最大长度约是3米，工人买的竹竿至少为3.1米.
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】根据勾股定理解答即可.
19．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB三条线段.若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点.
（1）已知点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB三条线段.若AM=2，MN=4，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗 请说明理由.
（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边.若AB=12，AM=5，求BN的长.
【答案】（1）解：结论：是．
理由：∵AM2＋BN2＝22＋（）2＝16，MN2＝42＝16，
∴AM2＋NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形．
故点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）解：设BN＝x，则MN＝12 AM BN＝7 x，
①当MN为最长线段时，根据题意可得：MN2＝AM2＋NB2，
即（7 x）2＝x2＋25，解得：x＝；
②当BN为最长线段时，根据题意可得：BN2＝AM2＋MN2．
即x2＝25＋（7 x）2，解得：x＝．
综上所述，BN的长为或．
【知识点】勾股定理的逆定理；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理判断即可；
（2）设BN＝x，则MN＝12 AM BN＝7 x，再分类讨论：①当MN为最长线段时，；②当BN为最长线段时，再分别列出方程求解即可.
20．（2024八上·紫金期末）如图，为上一点，，，，，交于点，且.
（1）判断线段，，的数量关系，并说明理由；
（2）连接，，若设，，，利用此图证明勾股定理.
【答案】（1）解：.理由如下：
，，.
又，.
，..
在和中，
（AAS）.，.
又，.
（2）解：，
，
..
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理的证明；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用三角形的全等判定（AAS），证明△ABC≌△DEA，即可求解；
（2）利用和，据此即可求解.
21．（2025八上·龙岗期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何。大意是：如图，现有一个正方形底面的水池，其底面的边长AB＝1丈（1丈等于10尺），芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD＝1尺。将芦苇往岸边引，恰好与岸边相接，即OC＝OE。
（1）求水池的深度OD；
（2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法。他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池底面边长AB＝2a，芦苇高出水面的部分CD＝n（n＜a），则水池的深度OD（OD＝b）可以通过公式计算得到。请证明刘徽解法的正确性。
【答案】（1）解：设芦苇的长度x尺，
则图中OC＝OE＝x，则OD＝x﹣1，DE＝5，
在Rt△ODE中，∠ODE＝90°，
由勾股定理得 DE2+OD2＝OE2．
∴52+（x﹣1）2＝x2，
解得 x＝13，
∴OD＝13﹣1＝12
∴水池的深度为12尺；
（2）解：图中OD＝b，CD＝n，AB＝2a，则OC＝OE＝b+n，DE＝a，
∴a2+b2＝（b+n）2，
∴a2+b2＝b2+2nb+n2
∴2nb＝a2-n2
∴b＝．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）设芦苇的长度x尺，则OD＝x﹣1，DE＝5，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（2）根据勾股定理建立方程，化简即可求出答案.
22．（2023八上·花垣期中） 如图，欲在公路l同一侧挖两个土坑A、B，要求分别距公路10m、30m，且CD＝30m，挖出的土要运到公路边P处堆放，且要求点P到A、B距离之和最短．
（1）找到堆放点P的位置；
（2）求PA+PB的最小值．
【答案】（1）解：作点A的对称点A' ，连接A'B交直线l于点P，则点P即为所求；
（2）解：由（1）知，点P即为堆放P的位置，此时，PA+PB的最小值=A'B，过A'作A'H⊥BD交BD的延长线于H，则A'H=CD=30m， DH=A'C，
∵AC=10m，BD=30m，
∴A'C = AC = DH= 10m，
∴BH=40m，
∴A'B=√A'H2+BH2=√302+402=50(m)
即PA+PB的最小值为50m.
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）作点A的对称点A' ，连接A'B交直线l于点P，则，因此点P即为所求；
（2）过A'作A'H⊥BD交BD的延长线于H，构造直角三角形，利用勾股定理求A'B的长度。
23．（2021八上·双阳期末）如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点B在直线CD上，分别过点A、E作AC⊥直线CD于点C，ED⊥直线CD于点D．
（1）求证：CD＝AC + ED．
（2）若设△ABC三边长分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
【答案】（1）证明：是等腰直角三角板，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
．
（2）证明：，
，
，
又
，
，
，即勾股定理得证．
【知识点】勾股定理的证明；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）先求出 ， 再利用三角形的面积公式计算求解即可。
24．（2020八上·赣榆期中）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 河边原有两个取水点 其中 由于某种原因，由 到 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 在同一条直线上），并新修一条路 测得 千米， 千米， 千米.
（1）问 是否为从村庄 到河边的最近路.请通过计算加以说明；
（2）求新路 比原路 少多少千米.
【答案】（1）解：是，理由如下：
在△CHB中，∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25=1.52=BC2，
即CH2+BH2=BC2，
∴△CHB为直角三角形，且∠CHB=90°，
∴CH⊥AB，
由点到直线的距离垂线段最短可知，CH是从村庄C到河边AB的最近路；
（2）解：设AC=x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2
∴x2=(x-0.9)2+1.22，
解得x=1.25，即AC=1.25，
故AC-CH=1.25-1.2=0.05（千米）
答：新路CH比原路CA少0.05千米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）是，理由：根据勾股定理的逆定理可得△CHB为直角三角形，且∠CHB=90°，据此即得结论；
（2）设AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，利用勾股定理可得x2=(x-0.9)2+1.22， 解出x的值，即得AC，利用AC-CH即得结论.
1 / 1北师大版数学八年级上册单元分层检测卷第一章 《勾股定理》B卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2018八上·张家港期中）如图，由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形图案是某届国际数学大会的会标，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么 的值为（　　）
A．256 B．169 C．29 D．48
2．（2024八上·浙江期中）《九章算术》是我国古代数学代表作．书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思），一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，推开双门，双门间隙的距离为2寸，点和点距离门槛都为1尺（1尺寸），图2为图1放大后的平面示意图，则的长为（　　）
A．寸 B．寸 C．99寸 D．101寸
3．如图，在△ABC 中，AB=AC=4，P 是 BC 上异于B，C的一点，则 的值是(　　).
A．16 B．20 C．25 D．30
4．（2024八上·瑞安月考）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；若此类勾股数的勾为（，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（　　）
A． B． C． D．
5．（2021八上·顺德期末）下面图形能够验证勾股定理的有（　　）个
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．（2020八上·榆林月考）下列叙述中，正确的是
A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方
B．如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
C． 中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若 ，则∠A=90
D． 中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90 ，则
7．（2025八上·射洪期末）一辆装满货物，宽为米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门），则卡车的外形不得高于（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
8．（2025八上·深圳期末）如图，在的正方形网格中，A，B，C，D是格点，则下列线段长度最长是（　　）
A．AB B．AD C．AC D．AE
9．（2018-2019学年数学北师大版八年级上册第一章《勾股定理》 单元测试卷）若一个三角形三边满足（a+b）2﹣c2=2ab，则这个三角形是（　　）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．以上结论都不对
10．（2022八上·江干期中）如图，在△ACB中，∠C=90°， AB的垂直平分线交AB、AC于点M、N，若AC=8，BC=4，则NC的长度为（　　）.
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023八上·海州期中）有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送水平距离时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为　 　．
12．（2024八上·普宁月考）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，若AD＝3，BC＝5，则AB2+CD2＝　 　．
13．（2024八上·长春净月高新技术产业开发期末）人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有　 　．（直接填写图序号）
14．（2024八上·长兴期中）如图，货车车高，卸货时后面挡板AB折落在地面处，已知点A、B、C在一条直线上，，经过测量，则　 　m.
15．（2024八上·宁波期末）如图，在中，，于点，，，则　 　．
16．（2024八上·达州期末）如图，在的正方形方格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则是　 　三角形．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025八上·余姚期末）如图，等腰三角形 中 ，且 ．
（1）求 的长；
（2）求 的面积．
18．装修工人携带了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装.如图，已知电梯的长、宽、高分别是1.5m， 1.5m， 2.2m， 那么能放入电梯内的木条的最大长度大约是多少米
19．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB三条线段.若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点.
（1）已知点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB三条线段.若AM=2，MN=4，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗 请说明理由.
（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边.若AB=12，AM=5，求BN的长.
20．（2024八上·紫金期末）如图，为上一点，，，，，交于点，且.
（1）判断线段，，的数量关系，并说明理由；
（2）连接，，若设，，，利用此图证明勾股定理.
21．（2025八上·龙岗期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何。大意是：如图，现有一个正方形底面的水池，其底面的边长AB＝1丈（1丈等于10尺），芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD＝1尺。将芦苇往岸边引，恰好与岸边相接，即OC＝OE。
（1）求水池的深度OD；
（2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法。他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池底面边长AB＝2a，芦苇高出水面的部分CD＝n（n＜a），则水池的深度OD（OD＝b）可以通过公式计算得到。请证明刘徽解法的正确性。
22．（2023八上·花垣期中） 如图，欲在公路l同一侧挖两个土坑A、B，要求分别距公路10m、30m，且CD＝30m，挖出的土要运到公路边P处堆放，且要求点P到A、B距离之和最短．
（1）找到堆放点P的位置；
（2）求PA+PB的最小值．
23．（2021八上·双阳期末）如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点B在直线CD上，分别过点A、E作AC⊥直线CD于点C，ED⊥直线CD于点D．
（1）求证：CD＝AC + ED．
（2）若设△ABC三边长分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
24．（2020八上·赣榆期中）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 河边原有两个取水点 其中 由于某种原因，由 到 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 在同一条直线上），并新修一条路 测得 千米， 千米， 千米.
（1）问 是否为从村庄 到河边的最近路.请通过计算加以说明；
（2）求新路 比原路 少多少千米.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】大正方形的面积为16，得到它的边长为4，
即得a2+b2=42=16，
由题意4× ab+3=16，
2ab=13，
所以(a+b)2=a2+2ab+b2=16+13=29.
故答案为：C.
【分析】利用已知大小正方形的面积，可求出a2+b2=42，及4× ab+3=16，就可求出ab的值，然后求出答案。
2．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：取的中点，过作于，如下图：
由题意得：；
设 寸，
则寸，寸，寸，
寸，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴寸，
故答案为：D．
【分析】取的中点，过作于，设AC=r寸，可得寸，寸，寸以及AO的长，再在中利用勾股定理，即可得得到答案．
3．【答案】A
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
=AP2+(BD-PD）（CD+DP)=AP2+BD2-PD2，
∵AP2=AD2+PD2，
∴=AD2+PD2+BD2-PD2=AD2+BD2=AB2=42=16。
故答案为：A .
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形三线合一的性质，得出BD=CD，然后根据勾股定理得出AP2=AD2+PD2，进而得出=AD2+PD2+BD2-PD2=AD2+BD2，进而根据勾股定理得出答案。
4．【答案】A
【知识点】勾股数；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵m为正整数，
∴2m为偶数，设其股为a，则弦为a+2
∴
∴
∴弦为
故答案为：A.
【分析】根据题意得到：2m为偶数，设其股为a，则弦为a+2，则得到关于a和m的方程：进而即可求解.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：A、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
B、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
C、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
D、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
故答案为：A．
【分析】利用面积法只能勾股定理即可得解。
6．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵由勾股定理知，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，而直角边应该都小于斜边，所以直角三角形中，应该是较小两条边的平方和等于第三边的平方，∴A选项错误；
B、∵由勾股定理的逆定理可得：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，∴B选项正确；
C、∵ ，∴c为斜边，c的对角∠C=90 ，∴C选项错误；
D、∵△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠B=90 ，∴b为斜边，∴ ，∴D选项错误.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，据此判A；根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长为a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形，其中，最长边所对的角是直角，据此判断B，C，D.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：由图形可得，（米），（米），
∵，
∴，
解得：（米），
∵，
∴（米），
∴卡车的外形不得高于米．
故答案为：C．
【分析】先得到，然后利用勾股定理得到长，即可利用得到CH长，解题．
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；线段的长短比较
【解析】【解答】解：设正方形网格中每个小正方形的边长为1，
则AE2=12+32=10；AD2=22+22=8；AC2=22+32=13；AB2=12+32=10；
∵13>10>8，
∴最长的是AC，
故答案为：C.
【分析】先利用勾股定理分别求出AE、AD、AC和AB的长，再比较大小即可.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵（a+b）2﹣c2=2ab，
∴a2+b2+2ab﹣c2=2ab，
∴a2+b2=c2，
∴这个三角形为直角三角形．
故答案为：A．
【分析】将（a+b）2﹣c2=2ab转化为a2+b2=c2，可判断得出三角形的形状。
10．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，连接BN， 因为MN是AB的垂直平分线，所以AN=BN，设NC为x， 则AN=BN=8-x，又因为∠C＝90°，则BC2+NC2=BN2， 即42+x2=(8-x)2， 解得x=3，NC=3.
故答案为：B.
【分析】先根据垂直平分线性质可知AN=BN， 再根据勾股定理，用方程得出NC的长度.
11．【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【解答】解：在中，
，
设秋千的绳索长为，
则，
故，
解得：，
答：绳索AD的长度是．
故答案为：．
【分析】
设秋千的绳索长为，则由题意可得，再利用勾股定理列方程并求解即可．
12．【答案】34
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，AD2=DE2+AE2=9，BC2=BE2+CE2=25，
∵AB2=BE2+AE2，CD2=CE2+DE2，
∴AB2+CD2=BE2+AE2+CE2+DE2= BE2+CE2+AE2+DE2 =25+9=34，
故答案为：34.
【分析】根据勾股定理，即可得出答案。
13．【答案】③④
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：①长方形的面积：，
②，
③，
整理，得，
④，
整理，得，
故答案为：③④．
【分析】根据勾股定理的证明方法求解。分别求出①②③④的面积，化简比较即可得．
14．【答案】1.5
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设BC=x m，则AB=BA1=(4-x) m，
在Rt△BCA1中，x2+22=(4-x)2，解得x=1.5
故答案为：1.5.
【分析】在Rt△BCA1中，设BC=x m，利用勾股定理列方程求解即可.
15．【答案】5
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设 =x，则CD=x-1
在中，根据勾股定理有
解得：x=5
故答案为：5
【分析】勾股定理应用，无法直接求解就考虑设元利用方程思想解决
16．【答案】直角
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由图可知：，
，，
，
是直角三角形.
故答案为：直角.
【分析】结合图形，先利用勾股定理求出AC2、AB2、BC2，再利用勾股定理的逆定理判断即可.
17．【答案】（1）解：设AD=xcm，∵是在等腰三角形ABC中，∴AB=AC，
则列示为（x+3）2=x2+42
解得x=
∴AD的长为cm。
（2）解： 的面积 =AB×CD×=（3+）×4×=cm2
∴ 的面积是cm2。
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1）题可以放到直角三角形ACD中，因为AB=AC，所以利用勾股定理列式求解即可；
（2）题根据（1）题的结果计算出AB的长度，然后以AB为底、CD为高即可计算出三角形的面积。
18．【答案】解：如图进行点标注，则DF的长度为能放入电梯内的最大长度.
在中，根据勾股定理，得
在中，根据勾股定理，得
故3所以能放入电梯内竹竿的最大长度约是3米，工人买的竹竿至少为3.1米.
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】根据勾股定理解答即可.
19．【答案】（1）解：结论：是．
理由：∵AM2＋BN2＝22＋（）2＝16，MN2＝42＝16，
∴AM2＋NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形．
故点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）解：设BN＝x，则MN＝12 AM BN＝7 x，
①当MN为最长线段时，根据题意可得：MN2＝AM2＋NB2，
即（7 x）2＝x2＋25，解得：x＝；
②当BN为最长线段时，根据题意可得：BN2＝AM2＋MN2．
即x2＝25＋（7 x）2，解得：x＝．
综上所述，BN的长为或．
【知识点】勾股定理的逆定理；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理判断即可；
（2）设BN＝x，则MN＝12 AM BN＝7 x，再分类讨论：①当MN为最长线段时，；②当BN为最长线段时，再分别列出方程求解即可.
20．【答案】（1）解：.理由如下：
，，.
又，.
，..
在和中，
（AAS）.，.
又，.
（2）解：，
，
..
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理的证明；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用三角形的全等判定（AAS），证明△ABC≌△DEA，即可求解；
（2）利用和，据此即可求解.
21．【答案】（1）解：设芦苇的长度x尺，
则图中OC＝OE＝x，则OD＝x﹣1，DE＝5，
在Rt△ODE中，∠ODE＝90°，
由勾股定理得 DE2+OD2＝OE2．
∴52+（x﹣1）2＝x2，
解得 x＝13，
∴OD＝13﹣1＝12
∴水池的深度为12尺；
（2）解：图中OD＝b，CD＝n，AB＝2a，则OC＝OE＝b+n，DE＝a，
∴a2+b2＝（b+n）2，
∴a2+b2＝b2+2nb+n2
∴2nb＝a2-n2
∴b＝．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）设芦苇的长度x尺，则OD＝x﹣1，DE＝5，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（2）根据勾股定理建立方程，化简即可求出答案.
22．【答案】（1）解：作点A的对称点A' ，连接A'B交直线l于点P，则点P即为所求；
（2）解：由（1）知，点P即为堆放P的位置，此时，PA+PB的最小值=A'B，过A'作A'H⊥BD交BD的延长线于H，则A'H=CD=30m， DH=A'C，
∵AC=10m，BD=30m，
∴A'C = AC = DH= 10m，
∴BH=40m，
∴A'B=√A'H2+BH2=√302+402=50(m)
即PA+PB的最小值为50m.
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）作点A的对称点A' ，连接A'B交直线l于点P，则，因此点P即为所求；
（2）过A'作A'H⊥BD交BD的延长线于H，构造直角三角形，利用勾股定理求A'B的长度。
23．【答案】（1）证明：是等腰直角三角板，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
．
（2）证明：，
，
，
又
，
，
，即勾股定理得证．
【知识点】勾股定理的证明；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）先求出 ， 再利用三角形的面积公式计算求解即可。
24．【答案】（1）解：是，理由如下：
在△CHB中，∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25=1.52=BC2，
即CH2+BH2=BC2，
∴△CHB为直角三角形，且∠CHB=90°，
∴CH⊥AB，
由点到直线的距离垂线段最短可知，CH是从村庄C到河边AB的最近路；
（2）解：设AC=x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2
∴x2=(x-0.9)2+1.22，
解得x=1.25，即AC=1.25，
故AC-CH=1.25-1.2=0.05（千米）
答：新路CH比原路CA少0.05千米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）是，理由：根据勾股定理的逆定理可得△CHB为直角三角形，且∠CHB=90°，据此即得结论；
（2）设AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，利用勾股定理可得x2=(x-0.9)2+1.22， 解出x的值，即得AC，利用AC-CH即得结论.
1 / 1

展开更多......

收起↑