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北师大版数学八年级上册单元测试卷第二章 《实数》
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025七下·饶平期末） 64的平方根是(　　)
A．8 B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【解答】
解：∵
∴
即64的平方根是
故答案为：B .
【分析】
本题考查平方根的定义和性质，熟知平方根的定义和性质是解题关键。
平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根；
平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是0；负数没有平方根；根据平方根的定义计算即可得出答案.
2．（2025·广东）计算 的结果是（　　）
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：=
故答案为：B .
【分析】根据二次根式乘法法则来运算 即可。
3．（2025·广州）下列四个选项中，负无理数的是（　　）
A． B． C．0 D．3
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：由题意可得：
A是无理数
B，C，D是有理数
故答案为：A
【分析】根据无理数的定义即可求出答案.
4．（2025·天津市）估计的值在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：C
【分析】估算的范围，结合不等式的性质即可求出答案.
5．（2025·福建）若 在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（　　）
A．-2 B．-1 C．0 D．2
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解： 由题意，得x-1≥0，
∴x≥1，
∴实数x的值可以是2
故答案为：D.
【分析】根据二次根式中被开方数非负判断即可.
6．（2025·扬州）如图，数轴上点A表示的数可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴ 数轴上点A表示的数可能是，
故答案为：C.
【分析】根据无理数的估算解答即可.
7．（2024·烟台中考）下列实数中的无理数是（　　）
A． B．3.14 C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解： A、是有理数，故不符合题意；
B、 3.14是有理数，故不符合题意；
C、是无理数，故符合题意；
D、=4是有理数，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率π都是无理数；据此判断即可.
8．（2023·烟台）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、=2与不是同类二次根式，故不符合题意；
B、与不是同类二次根式，故不符合题意；
C、与是同类二次根式，故符合题意；
D、与不是同类二次根式，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，据此判断即可.
9．（2022八下·连山期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A. ，不是最简二次根式，不合题意；
B. ，不是最简二次根式，不合题意；
C. ，不是最简二次根式，不合题意；
D. ，是最简二次根式，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可。
10．（2025七下·北京市期中）下列式子正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、，所以本选项不符合题意；
B、，所以本选项符合题意；
C、，所以本选项不符合题意；
D、，所以本选项不符合题意；
故选：B．
【分析】结果的符号由根号前的符号决定，所以ACD错误，B正确．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025·重庆市）若为正整数，且满足，则　 　．
【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵为正整数，且满足，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，再求出，最后根据计算求解即可.
12．（2025·烟台）实数的整数部分为　 　.
【答案】4
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：且
故答案为：4.
【分析】由于是18的算术平方根，因此应该介于16和25的算术平方根之间，即，故其整数部分为4.
13．（2024·安徽）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：　 　（填“>”或“<”）．
【答案】>
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：，，
∵＞，
∴＞.
故答案为：＞.
【分析】分别求出与的平方数，比较平方数的大小，继而得解.
14．（2025八下·雨花期末）把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的数是　 　．
【答案】
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵正方形边长为1
∴由勾股定理可求出对角线长为
∴OA=
即点A表示实数。
故答案为：.
【分析】易求出边长为1 的正方形的对角线长为，所画弧是以点O为圆心，为半径的一段弧，它与数轴相交于点A，说明OA长度就是圆的半径，因此可知点A表示实数。
15．（2024八上·衡阳月考）已知某正实数的平方根是和，那么这个正实数是　 　．
【答案】
【知识点】平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：∵一个正实数的平方根是和，
∴，
∴，
∴，
∴这个数为，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程，解方程求出a的值，即可求出这个正实数的平方根，根据如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫做a的平方根，即可求出这个正实数．
16．若则 xy的值为　 　.
【答案】-3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由得，.
【分析】从算术根的概念出发，挖掘隐含的x，y的值.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025八下·北仑期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式=；
（2）解：原式=.
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)利用平方差公式进行运算，结合二次根式的性质即可；
（2）利用乘法分配律，结合二次根式的乘法运算法则即可.
18．（2025八下·江北期末）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式 = ；
（2）解：原式= ，
= 6.
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再化简为最简二次根式，最后计算减法；
（2）根据完全平方公式展开，并计算二次根式的乘法，最后计算加减即可.
19．（2025七下·通渭期中）我们知道时，也成立，若将看成的立方根，看成的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．
（1）试举一个例子来判断上述结论是否成立；
（2）若与互为相反数，求的值．
【答案】解：（1）举例： ，且 ，互为相反数，
则 与 互为相反数（举例不唯一），
∴结论“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”成立；
（2）∵与互为相反数，
∴ ，
解得： ，
∴．
【知识点】相反数的意义与性质；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）举例： ，可得 与 互为相反数，即可求解；
（2）先根据“与互为相反数”，列出关于x的方程求解，再求出 的值．
20．（2024七下·内黄月考）已知一个正数的平方根分别是和，又的立方根为．
（1）求a，b的值；
（2）求的算术平方根．
【答案】（1）解：∵一个正数的平方根分别是和，
∴，
解得：，
∵的立方根为 2，
∴，
解得：；
（2）解：由（1）得，，
∴，
∴的算术平方根为．
【知识点】平方根的概念与表示；平方根的性质；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据平方根以及相反数的性质列出关于a的方程求出a，根据立方根的定义列出关于b的方程求出b；（2）先求出5a-b，然后根据算术平方根的定义进行计算即可.
21．（2025七下·惠州期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不能全部地写出来，于是小平用来表示的小数部分，你同意小平的表示方法吗？事实上小平的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答：若的整数部分为a，小数部分为b．
（1）求a，b的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：，
的整数部分为3，小数部分为；
（2）解：由(1)得，
，
，
，
．
【知识点】无理数的估值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）先估算出的范围得出，再求解即可；
（2）把a，b的值代入计算求解即可。
（1）解：，
的整数部分为3，小数部分为；
（2）解：由(1)得，
，
，
，
．
22．（2025七下·南宁月考）已知的一个平方根是3，的立方根为．
（1）求a与b的值；
（2）求的算术平方根．
【答案】（1）解：的一个平方根是3，
，
解得；
的立方根为，
，
解得．
（2）解：，，
，
的算术平方根4．
【知识点】平方根的概念与表示；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【分析】（1）首先根据的一个平方根是3，可得：，即可求出a的值；然后根据的立方根为，可得：，即可求出b的值；．
（2）把（1）中求出的与的值代入，求出值再开平方运算即可得到答案．
（1）解：的一个平方根是3，
，
解得；
的立方根为，
，
解得．
（2），，
，
的算术平方根4．
23．（2025七下·雷州月考）大家知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，，则的小数部分为．
（1）如果的整数部分为的整数部分为，求的立方根；
（2）已知，其中是整数，且，求的值．
【答案】（1）解：，，
∴整数部分是3，即，
同理的整数部分是6，，
，
的立方根为．
（2）解：∵整数部分是3，
，是整数，且，
，，
∴．
【知识点】无理数的估值；求算术平方根
【解析】【分析】（1）先根据的整数部分为的整数部分为，求出，，然后求出，根据立方根的定义求出结果即可；
（2）根据整数部分是3，得出，再根据，是整数，且，求出，，即可求出．
（1）解：，
，
∴整数部分是3，即，
同理的整数部分是6，，
，
的立方根为．
（2）解：∵整数部分是3，
，是整数，且，
，，
∴．
24．（2024八下·庄浪期末）已知矩形的长，宽．
（1）求该矩形的周长；
（2）若另一个正方形的面积与该矩形的面积相等，试计算该正方形的边长．
【答案】（1）解：长方形的周长．
（2）解：长方形的面积，
∵正方形和该矩形面积相等，
∴正方形的边长．
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【分析】（1）根据矩形周长公式先列式，然后利用二次根式的性质先化简再求和即可；
（2）先通过二次根式的乘法计算出矩形的面积，进而根据面积相等求出正方形的边长．
（1）解：长方形的周长．
（2）解：长方形的面积，
根据面积相等，则正方形的边长．
1 / 1北师大版数学八年级上册单元测试卷第二章 《实数》
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025七下·饶平期末） 64的平方根是(　　)
A．8 B． C．4 D．
2．（2025·广东）计算 的结果是（　　）
A．3 B．6 C． D．
3．（2025·广州）下列四个选项中，负无理数的是（　　）
A． B． C．0 D．3
4．（2025·天津市）估计的值在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
5．（2025·福建）若 在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（　　）
A．-2 B．-1 C．0 D．2
6．（2025·扬州）如图，数轴上点A表示的数可能是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024·烟台中考）下列实数中的无理数是（　　）
A． B．3.14 C． D．
8．（2023·烟台）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2022八下·连山期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025七下·北京市期中）下列式子正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025·重庆市）若为正整数，且满足，则　 　．
12．（2025·烟台）实数的整数部分为　 　.
13．（2024·安徽）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：　 　（填“>”或“<”）．
14．（2025八下·雨花期末）把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的数是　 　．
15．（2024八上·衡阳月考）已知某正实数的平方根是和，那么这个正实数是　 　．
16．若则 xy的值为　 　.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025八下·北仑期末）计算：
（1）；
（2）．
18．（2025八下·江北期末）计算：
（1）
（2）
19．（2025七下·通渭期中）我们知道时，也成立，若将看成的立方根，看成的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．
（1）试举一个例子来判断上述结论是否成立；
（2）若与互为相反数，求的值．
20．（2024七下·内黄月考）已知一个正数的平方根分别是和，又的立方根为．
（1）求a，b的值；
（2）求的算术平方根．
21．（2025七下·惠州期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不能全部地写出来，于是小平用来表示的小数部分，你同意小平的表示方法吗？事实上小平的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答：若的整数部分为a，小数部分为b．
（1）求a，b的值；
（2）求的值．
22．（2025七下·南宁月考）已知的一个平方根是3，的立方根为．
（1）求a与b的值；
（2）求的算术平方根．
23．（2025七下·雷州月考）大家知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，，则的小数部分为．
（1）如果的整数部分为的整数部分为，求的立方根；
（2）已知，其中是整数，且，求的值．
24．（2024八下·庄浪期末）已知矩形的长，宽．
（1）求该矩形的周长；
（2）若另一个正方形的面积与该矩形的面积相等，试计算该正方形的边长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【解答】
解：∵
∴
即64的平方根是
故答案为：B .
【分析】
本题考查平方根的定义和性质，熟知平方根的定义和性质是解题关键。
平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根；
平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是0；负数没有平方根；根据平方根的定义计算即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：=
故答案为：B .
【分析】根据二次根式乘法法则来运算 即可。
3．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：由题意可得：
A是无理数
B，C，D是有理数
故答案为：A
【分析】根据无理数的定义即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：C
【分析】估算的范围，结合不等式的性质即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解： 由题意，得x-1≥0，
∴x≥1，
∴实数x的值可以是2
故答案为：D.
【分析】根据二次根式中被开方数非负判断即可.
6．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴ 数轴上点A表示的数可能是，
故答案为：C.
【分析】根据无理数的估算解答即可.
7．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解： A、是有理数，故不符合题意；
B、 3.14是有理数，故不符合题意；
C、是无理数，故符合题意；
D、=4是有理数，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率π都是无理数；据此判断即可.
8．【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、=2与不是同类二次根式，故不符合题意；
B、与不是同类二次根式，故不符合题意；
C、与是同类二次根式，故符合题意；
D、与不是同类二次根式，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，据此判断即可.
9．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A. ，不是最简二次根式，不合题意；
B. ，不是最简二次根式，不合题意；
C. ，不是最简二次根式，不合题意；
D. ，是最简二次根式，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可。
10．【答案】B
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、，所以本选项不符合题意；
B、，所以本选项符合题意；
C、，所以本选项不符合题意；
D、，所以本选项不符合题意；
故选：B．
【分析】结果的符号由根号前的符号决定，所以ACD错误，B正确．
11．【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵为正整数，且满足，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，再求出，最后根据计算求解即可.
12．【答案】4
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：且
故答案为：4.
【分析】由于是18的算术平方根，因此应该介于16和25的算术平方根之间，即，故其整数部分为4.
13．【答案】>
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：，，
∵＞，
∴＞.
故答案为：＞.
【分析】分别求出与的平方数，比较平方数的大小，继而得解.
14．【答案】
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵正方形边长为1
∴由勾股定理可求出对角线长为
∴OA=
即点A表示实数。
故答案为：.
【分析】易求出边长为1 的正方形的对角线长为，所画弧是以点O为圆心，为半径的一段弧，它与数轴相交于点A，说明OA长度就是圆的半径，因此可知点A表示实数。
15．【答案】
【知识点】平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：∵一个正实数的平方根是和，
∴，
∴，
∴，
∴这个数为，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程，解方程求出a的值，即可求出这个正实数的平方根，根据如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫做a的平方根，即可求出这个正实数．
16．【答案】-3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由得，.
【分析】从算术根的概念出发，挖掘隐含的x，y的值.
17．【答案】（1）解：原式=；
（2）解：原式=.
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)利用平方差公式进行运算，结合二次根式的性质即可；
（2）利用乘法分配律，结合二次根式的乘法运算法则即可.
18．【答案】（1）解：原式 = ；
（2）解：原式= ，
= 6.
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再化简为最简二次根式，最后计算减法；
（2）根据完全平方公式展开，并计算二次根式的乘法，最后计算加减即可.
19．【答案】解：（1）举例： ，且 ，互为相反数，
则 与 互为相反数（举例不唯一），
∴结论“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”成立；
（2）∵与互为相反数，
∴ ，
解得： ，
∴．
【知识点】相反数的意义与性质；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）举例： ，可得 与 互为相反数，即可求解；
（2）先根据“与互为相反数”，列出关于x的方程求解，再求出 的值．
20．【答案】（1）解：∵一个正数的平方根分别是和，
∴，
解得：，
∵的立方根为 2，
∴，
解得：；
（2）解：由（1）得，，
∴，
∴的算术平方根为．
【知识点】平方根的概念与表示；平方根的性质；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据平方根以及相反数的性质列出关于a的方程求出a，根据立方根的定义列出关于b的方程求出b；（2）先求出5a-b，然后根据算术平方根的定义进行计算即可.
21．【答案】（1）解：，
的整数部分为3，小数部分为；
（2）解：由(1)得，
，
，
，
．
【知识点】无理数的估值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）先估算出的范围得出，再求解即可；
（2）把a，b的值代入计算求解即可。
（1）解：，
的整数部分为3，小数部分为；
（2）解：由(1)得，
，
，
，
．
22．【答案】（1）解：的一个平方根是3，
，
解得；
的立方根为，
，
解得．
（2）解：，，
，
的算术平方根4．
【知识点】平方根的概念与表示；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【分析】（1）首先根据的一个平方根是3，可得：，即可求出a的值；然后根据的立方根为，可得：，即可求出b的值；．
（2）把（1）中求出的与的值代入，求出值再开平方运算即可得到答案．
（1）解：的一个平方根是3，
，
解得；
的立方根为，
，
解得．
（2），，
，
的算术平方根4．
23．【答案】（1）解：，，
∴整数部分是3，即，
同理的整数部分是6，，
，
的立方根为．
（2）解：∵整数部分是3，
，是整数，且，
，，
∴．
【知识点】无理数的估值；求算术平方根
【解析】【分析】（1）先根据的整数部分为的整数部分为，求出，，然后求出，根据立方根的定义求出结果即可；
（2）根据整数部分是3，得出，再根据，是整数，且，求出，，即可求出．
（1）解：，
，
∴整数部分是3，即，
同理的整数部分是6，，
，
的立方根为．
（2）解：∵整数部分是3，
，是整数，且，
，，
∴．
24．【答案】（1）解：长方形的周长．
（2）解：长方形的面积，
∵正方形和该矩形面积相等，
∴正方形的边长．
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【分析】（1）根据矩形周长公式先列式，然后利用二次根式的性质先化简再求和即可；
（2）先通过二次根式的乘法计算出矩形的面积，进而根据面积相等求出正方形的边长．
（1）解：长方形的周长．
（2）解：长方形的面积，
根据面积相等，则正方形的边长．
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