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2025年高三《第八单元立体几何与空间向量》测试卷
一、单选题
1.，表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为，则圆台上下底面面积之差的绝对值为( )
A. B. C. D.
3.如图所示，在四面体中，，，，，分别是，，，，的中点，则下列说法不正确的是( )
A. ，，，四点共面
B.
C. ∽
D. 四边形为矩形
4.如图，在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角为( )
A. B. C. D.
5.如图，在四面体中，，，，点为的中点，，则( )
A. B.
C. D.
6.如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成直二面角，此时之间的距离为，则( )
A. B. C. D.
7.已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.如图，是棱长为的正方体，若在正方体内部且满足，则到的距离为( )
A. B. C. D.
9.如图，半球的球心为，为底面大圆的直径，点在球面上，且垂直于底面，点为的中点，点为的中点，则直线与所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
10.如图，在三棱锥中，，，，，分别为，，上靠近点的三等分点，若此时恰好存在一个小球与三棱锥的四个面均相切，且小球同时还与平面相切，则( )
A. B. C. D.
11.金刚石是天然存在的最硬的物质，如图所示是组成金刚石的碳原子在空间排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度来看，可以认为个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这个碳原子距离都相等的位置，如图所示．这就是说，图中有，若正四面体的棱长为，则下列结论不正确的是( )
A. B.
C. D.
12.如图，在棱长为的正四面体四个面都是正三角形中，，分别为，的中点，且在方向上的投影向量为，则的值为( )
A. B. C. D.
13.如图，在三棱柱中，，，，是线段上的点，且，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 直线与所成角的余弦值为
二、多选题
14.如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中( )
A. B.
C. 与成角 D. 与是异面直线
15.已知正方体的棱长为，是中点，是的中点，点满足，平面截该正方体，将其分成两部分，设这两部分的体积分别为，，则下列判断正确的是( )
A. 时，截面面积为 B. 时，
C. 随着的增大先减小后增大 D. 的最大值为
16.如图，在三棱柱中，，分别是线段，上的点，且，设，，，且均为单位向量，若，，则下列说法中正确的是( )
A. 与的夹角为 B.
C. D.
17.如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则( )
A. 点的坐标为
B. 点关于点对称的点为
C. 点关于直线对称的点为
D. 点关于平面对称的点为
三、填空题
18.已知，，，且点在平面内，则 ．
19.如图，在坡面与水平面所成二面角为的山坡上，有段直线型道路与坡脚成的角，这段路直通山顶已知此山高米．若小李从点沿着这条路上山，并且行进速度为每分钟米，那么小李到达山顶需要的时间是 分钟．
20.如图，在多面体中，四边形是矩形，，为的中点记四棱锥，的体积分别为，，若，则 ．
四、解答题
21.已知长方体中，、分别为和的中点，求证：
，，，四点共面；
、、三线共点．
22.如图，底面是正三角形的直三棱柱中，是的中点，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求的到平面的距离．
23.如图，已知，平面平面，，，，点为梯形内包括边界一个动点，且平面．
求点的轨迹长度；
当线段最短时，直线与平面的夹角的正弦值为，求三棱锥的体积．
24.已知为等腰直角三角形，，，分别为和上的点，且，，如图沿将折起使平面平面，连接，，如图．
求异面直线与所成角的余弦值；
已知为棱上一点，试确定的位置，使平面．
25.如图，四棱柱中，侧棱底面，，，，，为棱的中点．
证明：．
求二面角的正弦值．
设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】，表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，若，则，
若，则与可能平行，也可能相交，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
2.【答案】
【解析】设圆台上下底面半径分别为，，
设展开图中大半圆半径为，小半圆半径为，
因为圆台侧面展开图是半个圆环，
所以圆台的母线长，且，，
由此可得，，那么母线长，
已知圆台侧面积，
把代入可得：，
化简得，
所以上下底面面积之差的绝对值．
故选：．
3.【答案】
【解析】由题意可知，，，，，所以，
对于，由，可得，，，四点共面，故选项A正确；
对于，根据空间等角定理，得，故选项B正确；
对于，根据空间等角定理，得，，
则∽，故选项C正确；
对于，没有充分理由推证四边形为矩形，故选项D错误．
故选：．
4.【答案】
【解析】连接，，则有，
所以异面直线与所成角等于与所成的角，即
即为，
选B．
5.【答案】
【解析】，
，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】如图，因为的最小正周期，所以，
又，，
所以折成直二面角时，因为轴，平面，所以平面，
又平面，所以，
所以，解得负值已舍去，
所以，又，
因为，所以或，
又因为函数在轴右侧附近单调递减，所以．
故选：．
7.【答案】
【解析】在正四棱台中，取，，，的中点为，，，，
连接，，，，
正方形的中心为，正方形的中心为，连接，
则，，，
，
记同时与正四棱台底面以及四个侧面相切的球为球，
可知球心在线段上，
设球与侧面相切于点，则点在线段上，
如图：
设球的半径为，
则，，，，，
由，
可得，解得，
可知该正四棱台内半径最大的球的表面积为．
8.【答案】
【解析】分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图：
正方体的棱长为，
，，，
，
，
可得，
，
，
则，
点到直线的距离为．
故选C．
9.【答案】
【解析】过点做，交于点，连接，，，如图，
因为底面，底面，
所以，，共面，所以，
为直线与所成角，
底面，所以底面，又底面，
所以，
设半球的半径为，则，
点为的中点，所以，
又底面，底面，
所以，
，，平面，
所以平面，又平面，
所以，由勾股定理得，
点为的中点，
所以，所以，，
所以，
故选：．
10.【答案】
【解析】如图，取中点，连接，，
由题可知，，
因为，，平面，
所以平面，作，垂足为，
因为平面，所以，
又，，平面，
所以平面，
过点作，垂足为，连接，易知，
设小球半径为，所以，所以，
根据题意，，
因为，，所以，
所以，由，得，
所以，所以，
所以．
11.【答案】
【解析】由题意得，是正四面体 外接球的球心．

设点 是顶点 在底面的射影，则 是正四面体 的高，
是 的外接圆半径，
对于，因为 底面 ，底面 ，
所以 ，所以 ，故A正确；
取的中点，的中点，连接，，，则在上，
取的中点为 ，
因为 ，则在等腰 中， ，则 ，
同理，在等腰 中， ，
则 为外接球的球心，即与重合，则是的中点，
对于， ， ，
则 ，
所以 ，故B正确；
因为 ，
则 ， ，
因为 ，即 ，
则 ，解得 故C正确；
对于，因为 ，
所以 ，故D错误．
故选：
12.【答案】
【解析】
以作为基底，
则，
设向量与的夹角为，
则直线和夹角的余弦值等于

．
又和均为等边三角形，
所以．
所以．
所以直线和夹角的余弦值为，
则在方向上的投影向量为，
所以．
故选A．
13.【答案】
【解析】对于由题意知
，故A错误
对于记，，，
所以
所以，故B错误
对于，
所以
，故C错误
对于由，，
所以，
，
又，
所以，，
所以直线与所成角的余弦值为，故D正确．
14.【答案】
【解析】展开图翻折成的正方体如图所示，由正方体的性质，
因为，，因此，所以 A错误；
同理，，所以，所以 B正确；
或其补角是与所成的角，又是等边三角形，所以，所以与所成的角是，所以 C正确．
又平面，，所以与不平行，与是异面直线，所以 D正确．
故选：．
15.【答案】
【解析】如图，当时，截面为正六边形，且棱长为，故截面面积为，A错误
由对称性可知，当时，平面分两部分体积相等，B正确
如图，当从变化到时，截面从四边形变化至五边形其中为靠近点的三等分点，被截面所分两部分体积之差的绝对值先减小至，再逐渐增大，故C正确．
取最大值时对应为，或时情形计算可知时，，
时，，的最大值为，故D正确．
故选BCD．
16.【答案】
【解析】根据题意得，
对于，与的夹角为与的夹角的补角，为，故A错误；
对于，
，故B正确；
对于，，
所以，故C错误；
对于，，所以，故D正确．
故选：．
17.【答案】
【解析】由图形及其已知可得：点的坐标为，
点关于点对称的点为，
点关于直线对称的点为，
点关于平面对称的点为，
因此BC正确．
故选：．
18.【答案】
【解析】因为点在平面内，所以存在唯一实数，，使得成立，
所以，
因此，解得．
故答案为．
19.【答案】
【解析】过点作平面，垂足为，过点作直线，垂足为，连接，
则直线，，，如图所示；
在中，，
，，，
小李行进速度为每分钟米，它到达山顶需要的时间是分钟．
故答案为：．
20.【答案】
【解析】连接，如图，
因为为的中点，且，
则四边形与的面积比为，
所以，
又易知与的面积比为，
所以，
所以．
故答案为．
21. 【解析】证明：如图，连接，
因为、分别为和的中点，
所以，
因为在长方体中，
易知，，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以，
所以与确定一个平面，
所以，，，四点共面；
因为，且，
所以直线与必相交，
设，
因为，平面，
所以平面，
又因为，平面，
所以平面，
所以是平面与平面的公共点，
又因为平面平面，所以，
所以、、三线共点．
22.【解析】连接交于，连接，在中，为中点，为中点，
，
又因为，，
，
解法一：设点到平面的距离为，
在中， ，，
，
为，
，
又，
过作于，
又为直棱柱，
，，
且 ，
，
即，
解得 ．
解法二：由可知，
点到平面的距离等于点到平面的距离，
为，
，
，
设点到面的距离为．
．
即．
解得．
23.【解析】因为平面平面，，平面平面，
平面，故平面，
而，故可建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
因为点为梯形内包括边界一个动点，可设，则，
又，
设平面的法向量为，
则，故可取，
因平面，则，
故，即，
取，则，取，则，故的轨迹长度为；
如图，取的中点为，连接，，由可得的轨迹为，
又由可得平面，而平面，
故，因为，若线段最短，则最短，此时有，
而，故点为的中点，故，
设平面的法向量为，
而，，
故，故可取，
因为直线与平面的夹角的正弦值为，
而，则得，
故，故或，
易得平面，则点到平面的距离为或，
又，，
故点到直线的距离为，
易得，故，
故三棱锥的体积为或者为．
24.【解析】因为为等腰直角三角形，，
所以，
又，
所以，
因为平面平面，，平面平面，平面，
所以平面，且平面，
所以，又，
所以建立如图所示的空间直角坐标系．
因为为等腰直角三角形，，
，分别为和上的点，且， ，
则，，，．
所以，，
所以，，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
设，
因为，
所以．
设为平面的一个法向量，
则即
因此可取．
所以．
因为 平面，
所以，即，
所以当时， 平面．
25. 【解析】证明：以点为原点建立空间直角坐标系，如图，
依题意得，，，，，．
则，
而．
所以；
，
设平面的法向量为，
则，即，取，得，．
所以．
由Ⅰ知，又，
且平面平面
所以平面，
故为平面的一个法向量，
于是．
从而．
所以二面角的正弦值为．
，
设 ，
有．
取为平面的一个法向量，
设为直线与平面所成的角，
则
．
于是．
解得所以．
所以线段的长为．
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