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第六章 反比例函数（培优）
一、单选题
1．如图，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数的图象在第一象限的分支交于点，交于点，直线交轴于点，交轴于点，连接．则下列结论：
①；
②四边形为平行四边形；
③若，则；
④若，，则．
其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知点 ，点 是函数 上的一点，若 （O为坐标原点），则 的面积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，若双曲线 与它的一条对称轴 交于A、B两点，则线段AB称为双曲线 的“对径”．若双曲线 的对径长是 ，则 k的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．
4．如图，在菱形ABOC中，∠ABO＝120°，它的一个顶点C在反比例函数 的图象上，若将菱形向下平移2个单位，点A恰好落在函数图象上，则该反比函数的表达式为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，点是函数的图象上一点，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点A，~B，交函数的图象于点C，~D，连接OC，~OD，~CD，~AB，其中．下列结论：①；②；③，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
6．如图，在Rt△AOB中，∠ABO=90°，点B在x轴上，点C（1，a）为OA的中点，反比例函数y= 的图象经过点C，交AB于点D，且∠AOD=∠BOD，则k=（　　）
A．8 B．2 C． D．2
二、填空题
7．如图， OABC的顶点A的坐标为(2，0)，BC在第一象限反比例函数y1= 和y2= 的图象分别经过C，B两点，延长BC交y轴于点D．设P是反比例函数y1= 图象上的动点，若△POA的面积是△PCD面积的2倍，△POD的面积等于2k-8，则k的值为　 　。
8．如图，，，，…是分别以，，，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，…均在反比例函数的图象上，则的值为　 　．
9．如图，曲线l是由函数y＝ 在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（﹣4 ，4 ），B（2 ，2 ）的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN的面积为　 　.
10．如图，点 A1，A2依次在 (x>0)的图象上，点 B1，B2依次在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2均为等边三角形，则点B2的坐标为　 　.
11．在平面直角坐标系xOy中，双曲线y1＝ （x＞0）经过平行四边形ABCD的对称中心Q，双曲线y2＝ （x＞0，0＜k＜4）经过平行四边形ABCD的顶点B，C，且A(3，0)，D(0，4)，则k＝　 　.
12．如图，已知反比例函数y= (x>0)的图象经过点A(4，5)，若在该图象上有一点P，使得∠AOP=45°，则点P的坐标是 　 　。
三、计算题
13．已知在平面直角坐标系中有矩形，满足，；
（1）如图1，若反比例函数的图象经过矩形边，且与边交于点E，求点E的坐标；
（2）如图2，若将矩形沿线段翻折，使得点C与点A重合，此时点M，N同时在另一个反比例函数的图象上，试求出此时矩形的边的长度；
（3）连接，试计算的度数．
14．一次函数 与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，其中．
（1）求反比例函数表达式；
（2）结合图象，直接写出时，x的取值范围；
（3）若点P在x轴上，且是直角三角形，求点P的坐标．
15．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C，D．若，．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积．
四、解答题
16．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与反比例函数在第一象限的图象交于点，其中a，b满足．
（1）直接写出k，n的值及点A的坐标；
（2）点D在反比例函数的图象上，其横坐标为m，且，过点D的正比例函数图象与反比例函数的图象的另一个交点为C，连接，四边形的面积可以为12吗？若可以，求出m的值；若不可以，请说明理由；
（3）点P是x轴负半轴上一点，以为边向线段右侧作等边，若点F在双曲线关于x轴对称的图象上，求点P的坐标．
17．如图，OA=OB，∠AOB=90°，点A(1，4)，B分别在反比例函数和的图象上.
（1）求 k1，k2的值.
（2）若点 C，D分别在反比例函数和的图象上，且不与点 A，B 重合，则是否存在点 C，D，使得△COD≌△AOB 若存在，请直接写出点 C，D的坐标；若不存在，请说明理由.
18．知y=y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x成反比例，且当x=1时，y=3；当x=-1时，y=1．
（1）求y关于x的函数表达式.
（2）当时，求 y的值
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；反比例函数系数k的几何意义
2．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
3．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征；定义新运算
4．【答案】B
【知识点】菱形的性质；坐标与图形变化﹣平移；反比例函数图象上点的坐标特征
5．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应角
6．【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
7．【答案】
【知识点】反比例函数的图象；三角形的面积；平行四边形的性质
8．【答案】40
【知识点】探索图形规律；反比例函数图象上点的坐标特征
9．【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；旋转的性质
10．【答案】(，0)
【知识点】反比例函数的实际应用；等边三角形的性质
11．【答案】16﹣
【知识点】平行四边形的性质；中心对称及中心对称图形；反比例函数图象上点的坐标特征
12．【答案】（）
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数与一次函数的交点问题；全等三角形的判定与性质；轴对称图形
13．【答案】（1）解：∵矩形，，，
的横坐标为2，
把代入得，，
点的坐标为；
（2）解：连接，如图所示：
设反比例函数为，
，，
，，
，，
由题意可知，，
由勾股定理得：，，
，
，
，
整理得，
，
，
，
或（舍去），
；
（3）解：连接，如图所示：
矩形沿线段翻折，使得点与点重合，
，
，
，，
在中，，
，
．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
14．【答案】（1）解：将代入，得，，
∴，
∴，
将代入，得，，
∴，
∴反比例函数表达式为；
（2）
（3）解：①当时，轴，∴；
②当时，
如图，过点A作轴于点D，
则，
∵，
∴，，
∵直线的表达式为，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数-动态几何问题
15．【答案】（1）解：，
，
又，
，
．
，B两点在直线上，
，
解得，
一次函数的表达式为．
如图，过点C作于点E，
，
，
易知，
，
，
，，
，
，
点C在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的表达式为．
（2）解：由（1）建立方程组，
解得或，
，
如图，过点D作轴于点F，则，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
16．【答案】（1）解：
（2）解：四边形的面积可以为12．如图：过点A作轴交CD于F，过点B作轴交于G，
由题意得：，
设直线直线的解析式为，即，解得：，
∴直线的解析式为，
∴，
∵，
∴，
当时，点D在的左侧，
则
，
∵，
∴，解得：或，
∵，
∴此时无解；
当时，点D在的右侧，
则
，
∵，
∴，解得：或，
∵，
∴；
（3）解：①当与x轴不垂直，如图：过点P作轴，过点B作轴，过点F作，过点P作于点H，过点H作轴于点K，
∵点F在双曲线关于x轴对称的图象上，
∴设，则，
∴，，
设，则，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为．
②当轴，交x轴于点Q，此时，
∴，
∴
，
综上所述：点P的坐标为或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；等边三角形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
17．【答案】（1）解：过点A作AG⊥y轴于G，过点B作BH⊥y轴于H，如图：
∵A（1，4）在反比例函数上，
将（1，4）代入得：，解得：；
则AG=1，OG=4；
∵∠AOB=∠AOG+∠BOH=∠BOH+∠OBH=90°，
∴∠AOG=∠OBH，
∵OA=OB，∠AGO=∠BHO=90°，
∴△AGO≌△OHB（AAS），
∴OH=AG=1，BH=OG=4，
∴B（4，-1），
∵B（4，-1）在反比例函数上，
将（4，-1）代入得：，解得：.
（2）解：存在，理由如下：
如图，
∵△COD≌△AOB，
∴OA=OB=OC=OD，
∴B与C关于x轴对称，A与D关于x轴对称，
∴C（4，1），D（1，-4）.
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求反比例函数解析式；轴对称的性质；三角形全等的判定-AAS
18．【答案】（1）解：设
则，
把x=1，y=3 代入得：，
把 x=-1，y=1代入得：，
解得：，
y关于x的函数表达式为：；
（2）解：由（1）得：，
当时，.
【知识点】反比例函数的概念；正比例函数的概念
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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