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第四章 图形的相似（能力提升）
一、单选题
1． 如图，已知D是的边AC上一点，根据下列条件，不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE不行于BC，则下列条件中不能判断△ABC∽△ADE的是（　　）
A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C
C． ＝ D． ＝
3．如图，已知△ABC中，P是边AC上的一点，连接BP，以下条件不能判定△ABP∽△ACB的是（　　）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．= D．=
4．视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（　　）
A．平移 B．旋转 C．对称 D．位似
5．下列图形一定相似的是（　　）.
A．所有的直角三角形 B．所有的等腰三角形
C．所有的矩形 D．所有的正方形
6．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是2，则△A′B′C′的面积是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
二、判断题
7．在一个比例中，两个外项的积是8，其中一个内项是3，则另一个内项是5。(　　)
三、填空题
8．小明测得2m高的标杆在太阳光下的影长为1.2m，同时同地又测得一棵树的影长为1.8m，则这棵树的高度是　 　m．
9．如图， 中， ， ，将 绕点 顺时针旋转得到 ，点 的对应点 落在边 上，已知 ， ，则 的长为　 　.
10．如图，AD∥BC，∠D=90°，AD=2，BC=6，DC=8，若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有　 　个．
11．如图，△ABC的两条中线AD，BE交于点G，EF∥BC交AD于点F.若FG＝1，则AD＝　 　.
12． 如图，点O是两个位似图形的位似中心，若OA'＝A'A，则△ABC与△A'B'C'的周长之比等于 　 　．
13．如图，已知l1∥l2∥l3，直线AB分别交l1、l2、l3于A、M、B，直线CD分别交l1、l2、l3于C、N、D，AM＝4，MB＝6，CD＝9，那么ND＝　 　．
四、计算题
14．如果 ，且x＋y＋z＝18，求x，y，z的值．
15．已知 ，求 的值．
五、解答题
16．如图，已知矩形ABCD的边长 ， 。某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以 的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由。
17．一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
18．如图，在中，，D是边上一点，.求证.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
4．【答案】D
【知识点】位似变换
5．【答案】D
【知识点】相似多边形
6．【答案】C
【知识点】位似变换
7．【答案】错误
【知识点】比例的性质
8．【答案】3
【知识点】相似三角形的实际应用
9．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；旋转的性质
10．【答案】2
【知识点】相似三角形的判定
11．【答案】6
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理
12．【答案】2：1
【知识点】位似变换
13．【答案】5.4
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
14．【答案】解：根据题意，设x+3=2k，y﹣1=3k，z﹣2=4k，
则x=2k﹣3，y=3k+1，z=4k+2．
∵x+y+z=18，
∴2k﹣3+3k+1+4k+2=18，
解得：k=2，
∴x=2×2﹣3=1，
y=3×2+1=7，
z=4×2+2=10．
【知识点】比例的性质
15．【答案】解：设 （k≠0），则a=3k，b=4k，c=5k，依题意有3k+4k+5k=36，
解得k=3，
则a=3k=9，b=4k=12，c=5k=15．
【知识点】代数式求值；比例的性质
16．【答案】解：由于两三角形相似时的对应点不确定，故应分△ACD∽△MNA与△ACD∽△NMA两种情况进行讨论，再根据相似三角形的对应边成比例求解.
当△ACD∽△MNA时， ，即 ，解得
当△ACD∽△NMA时， ，即 ，解得
答：存在，当 或 时，以 、 、 为顶点的三角形与 相似
【知识点】相似三角形的性质
17．【答案】解：（1）由已知得MN=AB=2，MD=AD=BC，
∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似，
∴DM BC=AB MN，即BC2=4，
∴BC=2，即它的另一边长为2；
（2）∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，
∴
∵AB=CD=2，BC=4，
∴DF==1，
∴矩形EFDC的面积=CD DF=2×1=2．
【知识点】相似多边形
18．【答案】证明：∵，，
∴.
∴.
∵，
∴
【知识点】相似三角形的判定
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