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第四章 图形的相似（培优）
一、单选题
1．如图，在中，，，分别以点A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线分别交、于点D、E，连接．以下结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②；③；④．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．②③④
3．如图，在矩形ABCD中，是AD上的两个点，且，记BE长为x，BF长为，当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，已知正方形为的中点，是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于，现在有如下5个结论：①定是直角三角形；②；③当与重合时，有；④平分正方形的面积．在以上结论中，正确的有（　　）
A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④
5．一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（　　）
A．30厘米、45厘米； B．40厘米、80厘米；
C．80厘米、120厘米； D．90厘米、120厘米
6．如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的点A在第一象限，点B与点A关于原点对称，∠C=90°.AC与 轴交于点D，点E在 轴上，CD=2AD. 若AD平分∠OAE，△ADE的面积为1，则△ABC的面积为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
二、填空题
7．如图，在菱形中，以对角线上一点为圆心，长为半径的圆恰好经过点，，连结并延长交于点．若，，则半径长为　 　；　 　．
8．如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点B的对称点F在边上，G为中点，连结分别与交于M，N两点，若，，则的长为　 　，的长为　 　．
9．如图，点是矩形边上一点，沿折叠，点恰好落在边上的点处．设，则关于的函数表达式是　 　．
10．如图，若抛物线y=x2-4x与x轴正半轴相交于点A，点P是y轴正半轴上一动点，过点P作直线l∥x轴，与抛物线相交于B、C两点（点B在点C的左侧），过点C作CD⊥x轴于点D，连接AB、DP，若OC将四边形BADP的面积分成2：1的两部分，则OC所在直线的解析式为　 　.
11．如图，在矩形中，，，平分交于点，过点作交于点，连接并延长交于点，交于点，则与的面积比为　 　．
12．如图，线段、（）的长是方程的两根，点是y轴正半轴上一点，连接，以点P为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接，当线段取最小值时点P的坐标是　 　，此时线段的最小值为　 　．
三、计算题
13．已知xyz≠0且 ，求k的值．
四、解答题
14．如图，在线段AB上存在一点C，满足AC：CB=CB：AB=k．
（1）求k的值．
（2）若三条线段a，b，c满足a：b=b：c=k，问：这三条线段能否首尾相接构成一个三角形？如果能，指出三角形的形状；如果不能，请说明理由．
15．如图1，正方形的边长为4，点是边上一动点（不与端点重合），连接．
（1）当时，求的周长；
（2）将沿折叠得到，延长交射线于点．
①如图2，当为中点时，求的长；
②当点在边上运动的过程中，小方同学认为的长度是一个定值，而小程同学认为的长度才是一个定值，你认为谁说的对呢？说出你的理由．
16．如图①是一个立方体纸盒，图②③分别是该立方体纸盒两种不同的表面展开图.
（1）如图②，连结 AB，CD，猜想 AB，CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图③，连结MN，GH交于点P，求的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；黄金分割；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
2．【答案】C
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定-AA
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
4．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的实际应用
6．【答案】C
【知识点】三角形的面积；相似三角形的性质；关于原点对称的点的坐标特征；直角三角形斜边上的中线
7．【答案】8；
【知识点】勾股定理；菱形的性质；圆的相关概念；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
8．【答案】4；
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
9．【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA
10．【答案】y=8x
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；全等三角形的判定与性质；相似三角形的性质
11．【答案】
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
12．【答案】（0，1）；
【知识点】因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
13．【答案】解：∵xyz≠0，∴x、y、z均不为0，①当x+y+z≠0时，∵ ，∴k= =2，②当x+y+z=0时，x+y=-z，z+x=-y，y+z=-x，所以，k=-1，综上所述，k=2或-1．
【知识点】比例的性质
14．【答案】（1）解：∵AC ： CB=CB ：AB=k，
若设AB=1，则CB=k，AC=k2．
又∵AC+ BC=AB，
∴k2+k=1，
解得k=，
∵ k>0，
∴k=；
（2）解：线段a，b，c不能首尾相接构成一个三角形，理由如下：
∵a ： b=b： c=k，
∴b=kc=c，a=kb=()2c=c
∵a+b=c，
∴线段a，b，c不能构成三角形．
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形三边关系；比例线段
15．【答案】（1）解：∵正方形，
∴，
在中，，，
则，
∴的周长，
故的周长为。
（2）解：①连接，如图，
∵正方形，
∴，
根据折叠的性质，，，．
∴，
∵点E为的中点，
∴
∴，
在和中，，，
∴．
∴，．
∴，
，
∵
∴
∴，
在和中，，，
∴，
∴，
∴．
∴．
②当点F在的延长线上时，为定值，小程同学说得对；
当点F在线段上时，为定值，小方同学说得对．
理由如下：
延长交于点H，交延长线于点G，连接．如图，
由正方形与折叠的性质得，，，
∴对于和，，，
∴，
∴，
在和中，，，，
∴，
，，
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
如图a，当点F在的延长线上时，，
∵，，，
∴；
如图b，当点F在线段上时，，
∵，，，
∴．
故当点F在线段上时，小方同学说得对；当点F在的延长线上时，小程同学说得对。
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；相似比
16．【答案】（1）解：AB⊥CD，
理由如下：
把线段AB向右平移一个小正方形边长的距离，则点B与点C重合，点A的对应点为点A1.
∵A1E=CF，CE=DF，∠A1EC=∠CFD，
∴△A1EC≌△CFD，
∴∠A1CE=∠CDF，
∴∠A1CE+∠DCF=∠CDF+∠DCF=90°，
∴A1C⊥CD.
∵AB//A1C，
∴AB⊥CD
（2）解：记MN与BC交于点A，则点A是MN的中点.
∵BM//CN，BM=CN，
∴∠AMB=∠ANC，∠ABM=∠ACN，
∴△ABM≌△ACN(ASA)，
∴AB=AC，
设NH=2a，则AG=3a.
∵NH//AG，
∴△NPH∽△APG
∴
设NP=2k，AP=3k，则AN=NP+AP=5k
∴AM=AN=5k，
∴MP=AM+AN-NP=8k，
∴
【知识点】三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA
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