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2025年秋期北师大版数学九年级上册全册综合题（培优）
一、单选题
1．如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点P为边上的动点，将沿折叠得到，连接、．则下列结论中：①当时，四边形为正方形；②当时，的面积为10；③当P在运动过程中，的最小值；④当时，．其中结论正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在x轴正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=…=A2019A2020，过点A1、A2、A3、…、A2019、A2020分别作x轴的垂线，与反比例函数 的图像依次相交于P1、P2、P3、…P2019、P2020，得到直角三角形OP1A1、A1P1A2、…、A2019P2020A2020，并设其面积分别为S1、S2、…、S2020，则S2020的值为（　　）
A． B． C． D．
3．已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则关于的方程的根的情况是（　　）
A．有两个正根 B．有两个负根
C．有一个正根一个负根 D．没有实数根
4．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（　　）
A．2024 B．2021 C．2023 D．2022
5．如图，在正方形中，，分别是，的中点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
6．如图，在平面直角坐标中，菱形ABCO的顶点O在坐标原点，且与反比例函数y＝ 的图象相交于A（m，3 ），C两点，已知点B（2 ，2 ），则k的值为（　　）
A．6 B．﹣6 C．6 D．﹣6
二、填空题
7．四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE= ，则CE的长为　 　．
8．如图，菱形中，对角线交于点O，，点P在上，E为的中点，连接与，M和N分别是的中点．连接，则点P从B向A运动的过程中，线段所扫过的图形面积是　 　．
9．如图，正方形ABCD中， ，点E在边C上，且 .将 沿AE对折至 ，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF.则下列结论：① ：② ；③ ：④ .其中正确的有　 　（把你认为正确结论的序号都填上）
10．如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点B的对称点F在边上，G为中点，连结分别与交于M，N两点，若，，则的长为　 　，的长为　 　．
11．如图．反比例函数 的图象与直线 交于点 ，直线 与 轴交于点 ，过点 作 轴的垂线 ，交反比例函数的图象于点 ，在平面内存在点 ，使得以 ， ， ， 四点为顶点的四边形为平行四边形，则点 的坐标是　 　．
12．如图，有一张矩形纸条 ， ，点M，N分别在边 上， ．现将四边形 沿 折叠，使点B，C分别落在点 ， 上，在点M从点A运动到点B的过程中，若边 与边 交于点E，则点E相应运动的路径长为　 　 ．
三、计算题
13．解方程或求值：
（1）
（2）
14．已知xyz≠0且 ，求k的值．
15．解方程：．
16．已知关于 的一元二次方程 的两个整数根恰好比方程 的两个根都大1，求 的值.
四、解答题
17．如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接、．
（1）求证：；
（2）当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由．
18．关于x，y的方程组有两个实数解和.若，求非零常数.
19．如图甲所示，C将线段AB分成两部分，如果，那么称为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分测线”.现给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，如果，那么称直线为该图形的“黄金分割线”.请回答下列问题：
（1）研究小组猜想：在中，若为AB边的黄金分割点(如图乙所示)，则直线CD是的“黄金分割线”.你认为这种猜想对吗 为什么
（2）三角形的中线是否也是该三角形的“黄金分割线” 请说明理由.
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点任作一条直线交AB于点，再过点作直线，交AC于点，连结EF（如图丙所示），则直线EF也是的“黄金分割线”.请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；矩形的性质；正方形的判定
2．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；探索图形规律
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数的性质
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
5．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
6．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
7．【答案】4 或2
【知识点】菱形的性质
8．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；三角形的中位线定理
9．【答案】①②③④
【知识点】平行线的判定；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS
10．【答案】4；
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
11．【答案】 或 或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
12．【答案】（ ）
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
13．【答案】（1）解： ，
=0或 =0
解得：
（2）解：原式= = = =1
【知识点】二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
14．【答案】解：∵xyz≠0，∴x、y、z均不为0，①当x+y+z≠0时，∵ ，∴k= =2，②当x+y+z=0时，x+y=-z，z+x=-y，y+z=-x，所以，k=-1，综上所述，k=2或-1．
【知识点】比例的性质
15．【答案】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
得：，
，
把代入得：，
解得：或，
当时，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：；
当时，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：；
原方程组的解为：或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
16．【答案】解：设方程 的两个根为 ，其中 为整数，且 ≤ ，则方程 的两根为 ，由题意得 ，两式相加得 ， 即 ，所以 或 解得 或 又因为 所以 ；或者 ，故 ，或29.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
17．【答案】（1）证明：．
．
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
（2）解：四边形是菱形．
理由是：为中点，
，
，
．
，
四边形是平行四边形．
，为中点，
，
平行四边形是菱形．
（3）解：当时，四边形是正方形．
理由是：，，
，
．
为中点，
，
，
四边形是菱形，
菱形是正方形，
即当时，四边形是正方形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；正方形的判定
18．【答案】解：由已知得，
所以
即（）
把代入得
则有代入（）
得
即又
所以
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
19．【答案】（1）解：对.理由：设中边AB上的高为，则，
.又为AB边的黄金分割点，
，即直线CD是的“黄金分割线”
（2）解：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时，即，
三角形的中线不是该三角形的“黄金分割线”
（3）解：
和的公共边CE上的高相等，
，
设直EF与CD交于点G，
则S△DGE=S△FGC，
∴S△ADC=S四边形AFGD=S△FGC=S四边形AFGD+S△DGE=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC.
又∵，
∴，
∴直线EF也是△ABC的“黄金分割线”.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；黄金分割
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