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第二章 一元二次方程（培优）
一、单选题
1．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则 ；其中正确的（　　）
A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③
2．已知，，若，则下列等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知a2b+2ab+b＝a2﹣a﹣1，则满足等式的b的值可以是（　　）
A． B． C． D．﹣2
4．已知α，β是方程x2+2014x+1=0的两个根，则（1+2016α+α2）（1+2016β+β2）的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知 有四个非零实数根，且在数轴上对应的四个点等距排列，则 的值为 (　　)
A． B． C． D．
6．已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个实数根，则ab的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
7．某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，则第二周每个旅游纪念品的销售价格为　 　元.
8．若实数，满足，则的最大值与最小值之和为　 　 ．
9． 若一个整数能表示成 ( 为整数) 的形式， 则称这个数为 “完美数”， 例如：因为 ， 所以 5 是一个完美数． 已知 是整数， 是常数)， 要使 为 “完美数”， 则 　 　
10．关于x的一元二次方程 的两个实数根分别是x1、x2，且 ，则 的值是　 　．
11．对于一元二次方程，下列说法：
若，则；
若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
若是方程的一个根，则一定有成立；
若是一元二次方程的根，则．
其中正确的是　 　．
12．如图，菱形中，，，，垂足为，点在菱形的边上，若，则的长为　 　．
三、计算题
13．已知关于 的一元二次方程 的两个整数根恰好比方程 的两个根都大1，求 的值.
14．小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值． 于是小慧给出一个定义：关于的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题：
（1）多项式关于 对称；
（2）若关于的多项式关于对称，则 ；
（3）关于的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解．
15．解方程．
16．有一批图形计算器，原售价为每台800元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台每台都为760元．依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减20元，但最低不能低于每台440元；乙公司一律按原售价的75%促销．某单位需购买一批图形计算器：
（1）若此单位需购买6台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少；
（2）若此单位恰好花费7500元，在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的，数量是多少？
四、解答题
17．如图，在直角三角形中，，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线运动，点Q沿边的延长线运动，与直线相交于点D．设P点运动时间为t，的面积为S．
（1）填空： ； ；
（2）当点P运动几秒时，和面积相等？
（3）作于点E，当点P，Q运动时，线段的长度是否改变？若不变，请直接写出线段的长度；若改变，请说明理由．
18．某租赁公司拥有汽车100辆，据统计，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出；每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加1辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月只需要维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）为306600元？
19．某人把500圆存入银行，定期一年，到期他取出300元，将剩余部分（包括利息）继续存入银行，定期仍为一年，利率不变，到期后全部取出，正好是275元，求这种存款的年利率（不计利息税）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的求根公式及应用
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
3．【答案】B
【知识点】等式的基本性质；配方法的应用
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
7．【答案】9
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
8．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
9．【答案】13
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
10．【答案】13
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
11．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
12．【答案】或或
【知识点】一元二次方程的其他应用；勾股定理；菱形的性质
13．【答案】解：设方程 的两个根为 ，其中 为整数，且 ≤ ，则方程 的两根为 ，由题意得 ，两式相加得 ， 即 ，所以 或 解得 或 又因为 所以 ；或者 ，故 ，或29.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
14．【答案】（1）-3
（2）4
（3）解：
，
同理可得当，即时，多项式有最小值，最小值为，
∵关于的多项式关于对称，且最小值为3，
∴，
∴，
∴方程即为方程，
∴，
解得
【知识点】配方法解一元二次方程；配方法的应用
15．【答案】解：根据题意可知，
∴，
，
，
设，
∴，
∴，
解得：或，即或，
∴或，
解得：，，，，
经检验：，，，是方程的解，
∴，，，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
16．【答案】（1）在甲公司购买6台图形计算器需要6×（800﹣20×6）＝4080（元），
在乙公司购买需要75%×800×6＝3600（元），
因为3600＜4080，所以应去乙公司购买；
（2）设该单位购买x台图形计算器，
若在甲公司购买则需要花费x（800﹣20x）元；
若在乙公司购买则需要花费75%×800x＝600x元；
①若该单位是在甲公司花费7500元购买的图形计算器，
则有x（800﹣20x）＝7500，解之得x1＝15，x2＝25．
当x1＝15时，每台单价为800﹣20×15＝500＞440，符合题意；
当x2＝25时，每台单价为800﹣20×25＝300＜440，不符合题意，舍去．
②若该单位是在乙公司花费7500元购买的图形计算器，
则有600x＝7500，解之得x＝12.5，不符合题意，舍去．
答：该单位是在甲公司购买的图形计算器，买了15台．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
17．【答案】（1）t，或
（2），，
∴当和面积相等，则，
∴有以下两种情况：
①当时，则，
整理得：，
∵该方程根的判别式：，
∴该方程无解，
即此时不存在和面积相等；
②当时，则，
整理得：，
解得：，或（不合题意，舍去），
∴当点P运动秒时，和面积相等；
（3）线段的长度不改变，始终等于
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算
18．【答案】（1）解：100-(3600-3000)÷50=88(辆)
答： 当每辆车的月租金定为3600元时，能租出88辆车；
（2）解：设当每辆车的月租金定为x元时， 租赁公司的月收益为306600元 ，根据题意得，
整理得，
解得，x1=4200， x2=3900
经检验，两个解都符合题意，
答：当每辆车的月租金定为4200元或3900元时，租赁公司的月收益为306600元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
19．【答案】解：设定期一年的利率是x，
根据题意得：一年时：500+500x=500（1+x），
取出300后剩：500（1+x）-300，
同理两年后是[500（1+x）-300]（1+x），
即方程为[500（1+x）-300] （1+x）=275，
解得：x1=10%，x2=- （不符合题意，故舍去）．
答：定期一年的利率是10%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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