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浙教版数学八年级上册第3章 一元一次不等式 单元检测基础卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024八上·杭州期中）若，下列运用不等式基本性质变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八上·诸暨期末）不等式组的解是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023八上·慈利期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列选项中，不是不等式x-3<6-2x的一个解的是(　　).
A．-3 B． C． D．3
5．（2022八上·温州期中）一个不等式的解集为x≤1，那么在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．（2025八上·嵊州期末）若不等式组的解为，则下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八上·西湖期中）将已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八上·钱塘期中）某电梯乘载的重量超过1000公斤时会响起警示音，小刚、小明的体重分别为55公斤、70公斤．小刚、小明依序进入电梯，小刚走进后，警示音没响，小明走进后，警示音响起．设两人没进入电梯前已乘载的重量为x公斤，则x满足（　　）
A． B． C． D．
9．（2023八上·西湖月考）已知关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．从3，，，1，这5个数中，随机抽取一个数记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之积是（　　）
A． B．3 C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023八上·向阳开学考）若，则　 　（填“＞”或“＜”）．
12．（2025八上·余姚期末）根据下列数量关系列不等式： 的 5 倍不大于 4 的不等式是　 　。
13．（2025八上·嘉兴期末）要说明命题“若，则”是假命题，反例的值可以是　 　（写出一个即可）．
14．（2024八上·绍兴月考）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是　 　．
15．（2024八上·诸暨期中）小明准备用零花钱购买一个学生眼镜，他已经存有60元，从现在起计划每月平均存25元．他想购买的这款眼镜至少需要480元，如果存钱个月，不等式可列为　 　．
16．（2025·仁寿模拟）若关于x的不等式组恰有4个整数解，关于t的分式方程的解也为整数，则所有满足条件的整数a的和为　 　．
三、解答题（共8题，共72分）
17．在数轴上表示下列不等式：
（1）x<5；
（2）x≥-3；
（3） - 518．（2025八上·历城期末）解下列不等式（组），并把解在数轴上表示出来．
（1）；
（2）．
19．已知代数式
（1）当x取何值时，它的值为负数
（2）当x取何值时，它的值为非负数
20．某商店为了促销某种商品，将定价为5元的商品按下列方式优惠销售：若购买不超过4件，按原价付款；若一次性购买4件以上，超过部分打八折．现有37元钱，最多可以购买该商品多少件
21．（2024八上·长沙期末）为全面落实长沙市“三高四新”美好蓝图，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的2倍，甲队改造400米的道路比乙队改造同样长的道路少用5天．
（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天需付费用5万元，乙队工作一天需付费用3万元，如需改造的道路全长1000米．改造总费用不超过65万元，至少安排甲队工作多少天？
22．如图，P为△ABC内任意一点，求证：AB+AC＞PB+PC.
23． A，B，C，D四座小山的山脚到学校的路程分别是9km，11km，12km，14km。学校准备组织一次八年级学生登山活动，计划在上午8时出发，以平均每小时4km的速度前进，登山和在山顶活动的时间为1小时，下山的时间为30分钟，再以平均每小时3km的速度返回，在下午4时30分前赶回学校。你认为学校可计划登哪几座山 请说明理由。
24．（2024八上·钱塘期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：；
（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由，则不等式两边都减去1得，故A错误；
B、由，则不等式两边都乘以得，故B错误；
C、由，则不等式两边都乘以后再加上2得，故C正确；
D、由，则不等式两边都加上3得，又因为，所以，故C正确；
故答案为：D．
【分析】根据不等式的性质：①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此逐项进行判断即可.
2．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：等式组的解是．
故答案为：B．
【分析】利用“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”得到公共部分解题即可．
3．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得，x≤3
解不等式②得，x＞﹣2
在数轴上表示为：
故选D．
【分析】根据求出两个不等式的解集，再在数轴上表示即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：x-3<6-2x
∴x+2x<6+3
∴3x<9，解得：x<3
故答案为：D
【分析】移项，解不等式即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：解集为x≤1，那么在数轴上表示正确的是C，
故选：C．
【分析】
在数轴上表示不等式的解集，注意不等号方向和空心圆圈与实心圆圈的选择．
6．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵不等式组的解为，
∴，
故答案为：B.
【分析】利用“同小取小”确定不等式组的解集确解题即可．
7．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵不等式的解集为，
∴，
解得：，
故答案为：B．
【分析】不等式的性质：不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；根据不等式的性质，按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
8．【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：根据题意，得，
解得：，
故答案为：C．
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据”小刚的重量为55公斤，小刚走进后，警示音没响，小明的重量为70公斤，进入电梯后，警示音响起，且两人没进入电梯前已乘载的重量为公斤“可列出关于的不等式组，解不等式组即可.
9．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
由①，得
由②，得，
∴不等式组的解集是，
∵关于的不等式组的整数解共有4个，
∴不等式组的整数解有为：，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据不等式组的解法，先分别求两个不等式的解，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集，然后根据整数解的个数确定的取值范围即可．
10．【答案】C
【知识点】已知分式方程的解求参数；一元一次不等式组的含参问题；不等式组和分式方程的综合应用
【解析】【解答】解：不等式组整理得：，
由不等式组无解，得到，
分式方程去分母得：，
解得：
又∵即，
∵分式方程有整数解，
∴在3，，，1，这5个数中，满足为整数的，1，，
∵，
∴、．
则这5个数中所有满足条件的a的值之积为，
故选：C．
【分析】先通过“ 不等式组无解 ”得到a的取值范围，再根据“ 分式方程有整数解 ”得到符合条件的a的值.
11．【答案】＜
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：＜．
【分析】根据不等式性质“ 不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变”求解即可.
12．【答案】5x≤4
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：∵ 的 5 倍不大于 4 的不等，
∴该不等式是5x≤4。
故答案为：5x≤4。
【分析】“ 的 5 倍 ”即5x，“ 不大于 4 ”即5x小于等于4，列不等式即可。
13．【答案】（答案不唯一）
【知识点】不等式的性质；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：∵命题“若，则”是假命题，
∴，
∴反例的值可以是（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据不等式的基本性质举反例即可．
14．【答案】
【知识点】一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式得：，
∵关于x的不等式只有3个正整数解，
∴这三个正整数解分别是1，2，3，
∴，
故答案为：．
【分析】
解不等式可得x15．【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意，得，
故答案为：．
【分析】本题考查列不等式，每月存25元，可知个月存元，由“已存的60元与个月存的钱之和大于等于480元”即可列出关于的不等式.
16．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
由①得：，
由②得：，
∵该不等式组有四个整数解，
∴不等式组的解集为，即x=2、1、0、-1，
∴，
解得：，
∵，
解得：，且，
∴，
分式方程的解为整数，且，
或，
则满足题意整数之和为．
故答案为：．
【分析】首先根据不等式组的计算方法，先求出x的取值范围，进而确定a的取值范围；然后将分式方程中t的值用a来表示，结合即可得出a的整数取值，最后求和即可。
17．【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：如图所示，
（3）解：如图所示，
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】⑴ x<5 ，临界点为5，方向向左，空心圆；
⑵ x≥-3 ，临界点-3，方向向右，实心圆；
⑶ - 518．【答案】（1）解：
，
，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
.
（2）解：，
解不等式①得：；
解不等式②得：，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
则不等式组的解集为．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）去分母，移项合并，将x系数化为1，即可求出解集，再将不等式的解集表示在数轴上即可；
（2）先求出不等式①的解集，再求出不等式②的解集，然后找出解集的公共部分即可求出不等式组的解集。
（1）解：去分母得：，
移项合并得：，
表示在数轴上，如图所示：
；
（2）解：，
由解得：；
由解得：，
表示在数轴上，如图所示：
则不等式组的解集为．
19．【答案】（1）解：由题意可得：
解得：
即当时，代数式的值为负数.
（2）解：由题意可得：
解：
即当时，代数式的值为非负数.
【知识点】解一元一次不等式；列一元一次不等式
【解析】【分析】（1）根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（2）根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
20．【答案】解：，
∴设可以购买件这样的商品，依题意，得
.
解得为正整数，.
答：最多可以购买该商品8件.
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】首先判断购买商品是否超过4件，根据4×5=20（元）＜37（元），可知购买商品超过4件；题中的数量关系为最终购买商品所需要的钱数，根据：4件原价付款数+超过4件的总钱数≤37，列出不等式求解即可.
21．【答案】（1）解：设乙工程队每天能改造道路的长度为米，则甲工程队每天能改造道路的长度为米．
由题意得，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是80米，40米．
（2）解：设安排甲队工作天，则安排乙队工作天．
由题意得
，
至少安排甲队工作10天
答：至少安排甲队工作10天．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度是x米，则甲工程队每天能改造道路的长度是2x米.根据甲队改造400米的道路比乙队改造同样长的道路少用5天．列出分式方程，
解方程即可；
（2）设安排甲队工作a天，则安排乙队工作天，根据需改造的道路全长1000米．改造总费用不超过65万元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
22．【答案】证明：延长BP交AC于点D，如图.
在中，①，
在中，②，
①+②得，
即，
即.
【知识点】三角形三边关系；不等式的性质
【解析】【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得和；根据不等式的性质，不等式两边同时加上相同的数，不等式不能变，可得.
23．【答案】解：设路程为skm，
∵出发时间为小时，回家时间小时，总共花费时间8.5小时，活动时间加登山下山时间为1.5+1=2.5小时，
∴，
解得：x<12，
∴A山，B山可以，
答：学校可以计划登A山或B山
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】根据题意，活动时间从上午8时到下午4时30分，总时间为8.5小时；其中登山、在山顶活动、下山的时间共需1.5小时，因此学生用于前进和返回的时间不能超过7小时；利用这些条件，可列出不等式计算.
24．【答案】（1）解：∵方程组，
解得：，
∵ 方程组的解满足为非正数，为负数，
∴，
解得：；
（2）解：由（1）得，
∴，，
∴原式；
（3）解：∵，
∴，
∵不等式的解为，
∴，
解得：，
由（1）得，
∴，
∵为整数，
∴．
【知识点】解一元一次不等式组；不等式的性质；加减消元法解二元一次方程组；绝对值的概念与意义；一元一次不等式的含参问题
【解析】【分析】（1）利用“加减消元法”解方程组得出，由方程组的解满足的条件得到关于的不等式组并解之即可；
（2）结合（1）中的取值范围判断出，，然后利用绝对值的意义进行化简即可；
（3）利用不等式的基本性质可得，结合（1）所求的范围知，继而可得整数的值．
1 / 1浙教版数学八年级上册第3章 一元一次不等式 单元检测基础卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024八上·杭州期中）若，下列运用不等式基本性质变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由，则不等式两边都减去1得，故A错误；
B、由，则不等式两边都乘以得，故B错误；
C、由，则不等式两边都乘以后再加上2得，故C正确；
D、由，则不等式两边都加上3得，又因为，所以，故C正确；
故答案为：D．
【分析】根据不等式的性质：①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此逐项进行判断即可.
2．（2025八上·诸暨期末）不等式组的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：等式组的解是．
故答案为：B．
【分析】利用“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”得到公共部分解题即可．
3．（2023八上·慈利期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得，x≤3
解不等式②得，x＞﹣2
在数轴上表示为：
故选D．
【分析】根据求出两个不等式的解集，再在数轴上表示即可求出答案.
4．下列选项中，不是不等式x-3<6-2x的一个解的是(　　).
A．-3 B． C． D．3
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：x-3<6-2x
∴x+2x<6+3
∴3x<9，解得：x<3
故答案为：D
【分析】移项，解不等式即可求出答案.
5．（2022八上·温州期中）一个不等式的解集为x≤1，那么在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：解集为x≤1，那么在数轴上表示正确的是C，
故选：C．
【分析】
在数轴上表示不等式的解集，注意不等号方向和空心圆圈与实心圆圈的选择．
6．（2025八上·嵊州期末）若不等式组的解为，则下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵不等式组的解为，
∴，
故答案为：B.
【分析】利用“同小取小”确定不等式组的解集确解题即可．
7．（2024八上·西湖期中）将已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵不等式的解集为，
∴，
解得：，
故答案为：B．
【分析】不等式的性质：不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；根据不等式的性质，按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
8．（2024八上·钱塘期中）某电梯乘载的重量超过1000公斤时会响起警示音，小刚、小明的体重分别为55公斤、70公斤．小刚、小明依序进入电梯，小刚走进后，警示音没响，小明走进后，警示音响起．设两人没进入电梯前已乘载的重量为x公斤，则x满足（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：根据题意，得，
解得：，
故答案为：C．
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据”小刚的重量为55公斤，小刚走进后，警示音没响，小明的重量为70公斤，进入电梯后，警示音响起，且两人没进入电梯前已乘载的重量为公斤“可列出关于的不等式组，解不等式组即可.
9．（2023八上·西湖月考）已知关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
由①，得
由②，得，
∴不等式组的解集是，
∵关于的不等式组的整数解共有4个，
∴不等式组的整数解有为：，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据不等式组的解法，先分别求两个不等式的解，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集，然后根据整数解的个数确定的取值范围即可．
10．从3，，，1，这5个数中，随机抽取一个数记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之积是（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】已知分式方程的解求参数；一元一次不等式组的含参问题；不等式组和分式方程的综合应用
【解析】【解答】解：不等式组整理得：，
由不等式组无解，得到，
分式方程去分母得：，
解得：
又∵即，
∵分式方程有整数解，
∴在3，，，1，这5个数中，满足为整数的，1，，
∵，
∴、．
则这5个数中所有满足条件的a的值之积为，
故选：C．
【分析】先通过“ 不等式组无解 ”得到a的取值范围，再根据“ 分式方程有整数解 ”得到符合条件的a的值.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023八上·向阳开学考）若，则　 　（填“＞”或“＜”）．
【答案】＜
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：＜．
【分析】根据不等式性质“ 不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变”求解即可.
12．（2025八上·余姚期末）根据下列数量关系列不等式： 的 5 倍不大于 4 的不等式是　 　。
【答案】5x≤4
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：∵ 的 5 倍不大于 4 的不等，
∴该不等式是5x≤4。
故答案为：5x≤4。
【分析】“ 的 5 倍 ”即5x，“ 不大于 4 ”即5x小于等于4，列不等式即可。
13．（2025八上·嘉兴期末）要说明命题“若，则”是假命题，反例的值可以是　 　（写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】不等式的性质；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：∵命题“若，则”是假命题，
∴，
∴反例的值可以是（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据不等式的基本性质举反例即可．
14．（2024八上·绍兴月考）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式得：，
∵关于x的不等式只有3个正整数解，
∴这三个正整数解分别是1，2，3，
∴，
故答案为：．
【分析】
解不等式可得x15．（2024八上·诸暨期中）小明准备用零花钱购买一个学生眼镜，他已经存有60元，从现在起计划每月平均存25元．他想购买的这款眼镜至少需要480元，如果存钱个月，不等式可列为　 　．
【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意，得，
故答案为：．
【分析】本题考查列不等式，每月存25元，可知个月存元，由“已存的60元与个月存的钱之和大于等于480元”即可列出关于的不等式.
16．（2025·仁寿模拟）若关于x的不等式组恰有4个整数解，关于t的分式方程的解也为整数，则所有满足条件的整数a的和为　 　．
【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
由①得：，
由②得：，
∵该不等式组有四个整数解，
∴不等式组的解集为，即x=2、1、0、-1，
∴，
解得：，
∵，
解得：，且，
∴，
分式方程的解为整数，且，
或，
则满足题意整数之和为．
故答案为：．
【分析】首先根据不等式组的计算方法，先求出x的取值范围，进而确定a的取值范围；然后将分式方程中t的值用a来表示，结合即可得出a的整数取值，最后求和即可。
三、解答题（共8题，共72分）
17．在数轴上表示下列不等式：
（1）x<5；
（2）x≥-3；
（3） - 5【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：如图所示，
（3）解：如图所示，
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】⑴ x<5 ，临界点为5，方向向左，空心圆；
⑵ x≥-3 ，临界点-3，方向向右，实心圆；
⑶ - 518．（2025八上·历城期末）解下列不等式（组），并把解在数轴上表示出来．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
，
，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
.
（2）解：，
解不等式①得：；
解不等式②得：，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
则不等式组的解集为．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）去分母，移项合并，将x系数化为1，即可求出解集，再将不等式的解集表示在数轴上即可；
（2）先求出不等式①的解集，再求出不等式②的解集，然后找出解集的公共部分即可求出不等式组的解集。
（1）解：去分母得：，
移项合并得：，
表示在数轴上，如图所示：
；
（2）解：，
由解得：；
由解得：，
表示在数轴上，如图所示：
则不等式组的解集为．
19．已知代数式
（1）当x取何值时，它的值为负数
（2）当x取何值时，它的值为非负数
【答案】（1）解：由题意可得：
解得：
即当时，代数式的值为负数.
（2）解：由题意可得：
解：
即当时，代数式的值为非负数.
【知识点】解一元一次不等式；列一元一次不等式
【解析】【分析】（1）根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（2）根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
20．某商店为了促销某种商品，将定价为5元的商品按下列方式优惠销售：若购买不超过4件，按原价付款；若一次性购买4件以上，超过部分打八折．现有37元钱，最多可以购买该商品多少件
【答案】解：，
∴设可以购买件这样的商品，依题意，得
.
解得为正整数，.
答：最多可以购买该商品8件.
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】首先判断购买商品是否超过4件，根据4×5=20（元）＜37（元），可知购买商品超过4件；题中的数量关系为最终购买商品所需要的钱数，根据：4件原价付款数+超过4件的总钱数≤37，列出不等式求解即可.
21．（2024八上·长沙期末）为全面落实长沙市“三高四新”美好蓝图，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的2倍，甲队改造400米的道路比乙队改造同样长的道路少用5天．
（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天需付费用5万元，乙队工作一天需付费用3万元，如需改造的道路全长1000米．改造总费用不超过65万元，至少安排甲队工作多少天？
【答案】（1）解：设乙工程队每天能改造道路的长度为米，则甲工程队每天能改造道路的长度为米．
由题意得，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是80米，40米．
（2）解：设安排甲队工作天，则安排乙队工作天．
由题意得
，
至少安排甲队工作10天
答：至少安排甲队工作10天．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度是x米，则甲工程队每天能改造道路的长度是2x米.根据甲队改造400米的道路比乙队改造同样长的道路少用5天．列出分式方程，
解方程即可；
（2）设安排甲队工作a天，则安排乙队工作天，根据需改造的道路全长1000米．改造总费用不超过65万元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
22．如图，P为△ABC内任意一点，求证：AB+AC＞PB+PC.
【答案】证明：延长BP交AC于点D，如图.
在中，①，
在中，②，
①+②得，
即，
即.
【知识点】三角形三边关系；不等式的性质
【解析】【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得和；根据不等式的性质，不等式两边同时加上相同的数，不等式不能变，可得.
23． A，B，C，D四座小山的山脚到学校的路程分别是9km，11km，12km，14km。学校准备组织一次八年级学生登山活动，计划在上午8时出发，以平均每小时4km的速度前进，登山和在山顶活动的时间为1小时，下山的时间为30分钟，再以平均每小时3km的速度返回，在下午4时30分前赶回学校。你认为学校可计划登哪几座山 请说明理由。
【答案】解：设路程为skm，
∵出发时间为小时，回家时间小时，总共花费时间8.5小时，活动时间加登山下山时间为1.5+1=2.5小时，
∴，
解得：x<12，
∴A山，B山可以，
答：学校可以计划登A山或B山
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】根据题意，活动时间从上午8时到下午4时30分，总时间为8.5小时；其中登山、在山顶活动、下山的时间共需1.5小时，因此学生用于前进和返回的时间不能超过7小时；利用这些条件，可列出不等式计算.
24．（2024八上·钱塘期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：；
（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为．
【答案】（1）解：∵方程组，
解得：，
∵ 方程组的解满足为非正数，为负数，
∴，
解得：；
（2）解：由（1）得，
∴，，
∴原式；
（3）解：∵，
∴，
∵不等式的解为，
∴，
解得：，
由（1）得，
∴，
∵为整数，
∴．
【知识点】解一元一次不等式组；不等式的性质；加减消元法解二元一次方程组；绝对值的概念与意义；一元一次不等式的含参问题
【解析】【分析】（1）利用“加减消元法”解方程组得出，由方程组的解满足的条件得到关于的不等式组并解之即可；
（2）结合（1）中的取值范围判断出，，然后利用绝对值的意义进行化简即可；
（3）利用不等式的基本性质可得，结合（1）所求的范围知，继而可得整数的值．
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