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第二章 有理数及其运算
2.3 有理数的乘除运算
第二章 有理数及其运算
2.3 课时1 有理数的乘法法则
1.理解有理数乘法法则，会进行有理数的乘法运算；
2.了解倒数的概念，会求一个非零数的倒数；
3.经历探索有理数乘法法则的过程，培养观察、分析、抽象、概括等能力，提高学习兴趣.
小学已经学过正数与正数的乘法、正数与零的乘法，那么引入负数之后，怎样进行有理数的乘法运算？有理数的乘法运算
有几种情况？
（1）计算：(-5) + (-5) + (-5) + (-5) + (-5)；
（2）猜想 (-5)×5 的结果是多少？
（3）有理数加减运算中的关键问题是什么？
（4）猜想：有理数的乘法的关键问题是什么？
-25
-25
　问题：甲水库的水位每天升高3cm，乙水库的水位每天下降3cm，预计经过4天甲、乙水库水位的总变化量各是多少？
如果用正号表示水位上升，用负号表示水位下降，那么经过4天后甲水库的水位变化量为：
3+3+3+3=3×4=12（cm）
乙水库的水位变化量为：
（-3）+（-3）+（-3）+（-3）=（-3）×4=-12（cm）.
探究一：有理数的乘法法则
你认为 3×(-4)的结果应该是多少？(-3)×(-4)呢？你是怎么做的？请说一说你的理由.
实际上，为了保证小学数学中学过的乘法运算律在有理数范围内仍然
成立，即有理数的乘法要满足交换律，就要有
3×(-4)=(-4)×3=-12;
同时，要满足分配律，就要有
(-3)×(-4)+(-3)×4=(-3)×[(-4)+4]=(-3)×0=0.
因此，
(-3)×(-4)=-[(-3)×4]= 12.
尝试·思考
(1)请你仿照上面的方法说明(-2)×(-5)=10.
有理数的乘法要满足交换律，就要有
2×(-5)=(-5)×2=-10;
同时，要满足分配律，就要有
(-2)×(-5)+(-2)×5=(-2)×[(-5)+5]=(-2)×0=0.
因此，
(-2)×(-5)=-[(-2)×5]= 10.
(2)再写一些算式进行计算，你能发现什么规律？与同伴进行交流.
思考·交流
有理数乘法法则：
两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把绝对值相乘；
任何数与0相乘，积仍为0．
正
负
1.计算：
（1）6×（?1）； （2）（?4）×5；
（3）（?5）×（?7）； （4）（?????????）×（?????????）.
?
解：（1）6×（?1）=?（6×1）=?6；
（2）（?4）×5=?（4×5）=?20；
（3）（?5）×（?7）=+（5×7）=35；
（4）（?????????）×（?????????）=+（????????×????????）=1.
?
一个数乘-1，所得的积就是它的相反数.
练一练
有理数乘法的运算步骤：
(1)确定积的符号；
(2)计算因数绝对值的积．
探究：观察下列式子，结果有什么共同特点？
乘积都为 1
如果两个有理数的乘积为 1，那么称其中一个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数。
。
探究二：倒数
定义总结
2.下列互为倒数的是 ( )
B
思考：数 a (a≠0) 的倒数是什么?
练一练
有理数倒数的求法：
(1)求小数的倒数，要先把小数化成分数;
(2)求带分数的倒数，要先把带分数化成假分数;
(3)互为倒数的两个数的符号相同，即正数的倒数一定是正数，负数的倒数一定是负数，0没有倒数．
乘数
乘数
积的符号
绝对值的积
结果
－5
7
15
6
－30
－6
4
－25
1. 填表：
－
35
－35
＋
90
90
＋
180
180
－
100
－100
解：
2. 计算：
。
3. 气象观测统计资料表明，在一般情况下，高度每上升 1 km，气温下降 6 ℃。已知甲地现在地面气温为 21 ℃，问甲地上空 9 km 处的气温大约是多少？
解：(-6)×9 = -54 (℃)，
答：甲地上空 9 km 处的气温大约为 -33 ℃。
21 + (-54) = -33 (℃)。
4. 一个有理数和它的相反数之积 ( )
A. 必为正数 B. 必为负数
C. 一定不大于零 D. 一定等于 1
C
1 的倒数为
-1 的倒数为
的倒数为
- 的倒数为
的倒数为
- 的倒数为
1
-1
3
-3
0 的倒数为
零没有倒数
5. 填空：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数与0相乘，都得0.
有理数的乘法法则
有理数的乘法法则
有理数的倒数
如果两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数是另一个的倒数，也称这两个有理数互为倒数.
正数的倒数一定是正数，负数的倒数一定是负数，0没有倒数．
有理数乘法的运算步骤：(1)确定积的符号；(2)计算因数绝对值的积．
第二章 有理数及其运算
2.3 课时2 有理数的乘法运算律
1. 经历探索有理数乘法运算律的过程,理解有理数乘法运算律。
2. 能熟练运用有理数乘法运算律简化运算。
1.有理数乘法法则：两数相乘，同号得 ，异号得 ，绝对值相乘。任何数与0相乘，积为 .
正
负
0
2.有理数的倒数：如果两个有理数的 ，那么称其中一个数是另一个的倒数，也称这两个有理数互为倒数.
正数的倒数一定是 ，负数的倒数一定是 ，0 倒数．
乘积为1
正数
负数
没有
例1 计算
(1) (-4)×5×(-0.25)；
解：
(1) 原式＝[-(4×5)]×(-0.25)
＝(-20)×(-0.25)
＝+(20×0.25)
＝+5
(2) 原式＝
有没有更加简便的方法？
探究一：有理数的乘法法则
探究：观察下列各式，它们的积是正的还是负的？
2×3×4×(-5)；
2×3×(-4)×(-5)；
2×(-3)×(-4)×(-5)；
(-2)×(-3)×(-4)×(-5)；
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}算式
得数
负因数的个数
2×3×4×(-5)
2×3×(-4)×(-5)
2×(-3)×(-4)×(-5)
(-2)×(-3)×(-4)×(-5)
-120
1
120
2
-120
3
120
4
思考：（1）几个不为 0 的数相乘，积的符号与负因数的个数之间有什么关系？
（2）有一个因数为 0 时，积是多少？

几个不是 0 的数相乘，
负因数的个数是_____时，积为正；
负因数的个数是_____时，积为负。
奇数
偶数
奇负偶正
有一个因数为 0 时，积是 0。
例2 计算：
①先确定积的符号
②再确定积的绝对值
解：(1) 原式 ；
(2) 原式 。
。
你能看出下式的结果吗？如果能，请说明理由．
几个数相乘，如果其中有因数为 0，那么积等于____.
= 0
0
7.8×(-8.1)×0×(-19.6)
练一练
如图所示，有 5 张写着不同有理数的卡片，从中抽出几张卡片，并将这几张卡片上的数字相乘。
2
-3
4
-5
0
(2) 若抽出三张，则哪三张卡片所得的积最小，最小是多少？
(1) 若抽出两张，则哪两张卡片所得的积最大，最大是多少？
(-3)×(-5) = 15
2×4×(-5) = -40
1. 计算下列各题，并比较它们的结果。
（1）(-7)×8 与 8×(-7)；
（2）[(-4)×(-6)]×5 与 (-4)×[(-6)×5]；
（3）(-4)×[(-3) + ] 与 (-4)×(-3)＋(-4)× 。
2. 通过第1题的计算，你有什么发现？说出你的想法。
=
=
=
= -56
= 120
= 18
探究二：有理数的乘法运算
有理数的运算中，乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律还成立。
思考：如何用字母表示乘法运算律？
乘法交换律：ab＝ba；
乘法结合律：(ab)c＝a(bc)；
乘法对加法的分配律：a(b＋c)＝ab＋ac。
例3 计算：
用两种方法计算
解法1：
＝10。
解法2：
＝8＋6－4
＝10。
原式＝
＝
原式＝
比较两种解法，说说它们的区别，并与同伴进行交流。
思考·交流
用两种方法计算.
解法1：原式 =
＝－6 + 1 + 3
＝－2.
注意带分数可化为假分数
注意不要漏掉符号
练一练
拆分法
解法2：原式 =
＝－2.
1. 运用分配律计算 (-3)×(-4 + 2 - 3)，下面有四种不同的结果，其中正确的是（ ）
A. (-3)×4 - 3×2 - 3×3
B. (-3)×(-4) - 3×2 - 3×3
C. (-3)×(-4) + 3×2 - 3×3
D. (-3)×(-4) + (-3)×2 + (-3)×(-3)
D
2. 计算：
(1) (-0.25)×(-25)×(-4) ；
解：(1) 原式 = -0.25×25×4 = -0.25×100 = -25；
= -342 - 17 = -359；
三个数相乘，先把______
___相乘，或者先把后两个数相乘，____相等
一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同____
____相乘，再把积_____
两个数相乘，交换_____
的位置，____相等
相加
这两
有理数乘法运算律
乘法交换律
ab＝____
ba
乘法结合律
(ab)c＝_____
a(bc)
a(b＋c)＝
_________
ab＋ac
因数
个数
前两个
数
积
积
乘法对加法的分配律
第二章 有理数及其运算
2.3 课时3 有理数的除法
1.理解有理数除法的法则，体会除法与乘法的关系；
2.会进行有理数的除法运算.
你还记得在小学我们学习过的除法和乘法的关系吗？
(－12)÷(－3)=?
由(－3)×4＝－12,得
(－12)÷(－3)＝ 。
除法是乘法的逆运算。
4
根据“除法是乘法的逆运算”，计算下列各式：
①(－18)÷6=______ ；
②5÷(－????????)= ;
③(－27)÷(－9)=_______；
④0÷(－2)= _______.
?
－25
-3
3
0
观察上面的算式及计算结果，你有什么发现？换一些算式再试一试，并与同伴进行交流.
由（－3）×6＝－18，得
由（－25）×(－????????)＝5，得
?
由（－9）×3＝－27，得
由0×（－2）＝0，得
探究：有理数的除法
1.两数相除，同号得_____ ，异号得_____（填“正”或“负”），
并把绝对值________.
2.0除以任何非0的数都得_______ .
注意：0不能作______.
正
负
相除
0
除数
有理数的除法法则一：
（1）（－15）÷（－3）
1.计算：
（3）（－0.75）÷0.25.
（4）（－12）÷（－????????????）÷（－100）.
?
（2）12÷（－????????）.
?
(3)原式＝－（0.75 ÷ 0.25 ）
＝－3
解：(1)原式＝+（15÷3）
＝5
（2）原式＝－（12÷????????）
＝－48
?
（4）原式＝+（12÷????????????）÷（－100）
＝144÷（－100）
＝－（144÷100）
＝－1.44
?
练一练
（3）（－ ）÷（－ ）= ，（－ ）×（－60 ）= .
（2）0.8÷（－ ）= ，0.8×（－ ）= ;
（1）1÷（－ ）= ，1×（－ ）= ；
比较下列各组数的计算结果,你能得到什么结论？换一些算式再试试，并与同伴进行交流.
15
15
尝试·交流
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
a ÷ b = a · (b≠0)
除号变乘号
除数变为它的倒数
符号语言：
有理数的除法法则二：
2.计算：（1)(-18)÷(?????????);???????????????????(????)????????÷(?????????)÷(?????????????).
?
解：(1)原式= (-18)×(?????????)
=18×????????
=27;
?
(2)原式= 16×(?????????)×(?????????????)
=16×(?????????????)×（?????????）
=????????????.
?
练一练
有理数除法运算的方法：
1.对于只有除法的运算，有括号先算括号内，无括号就从左到右运算；
2.可以先把所有除法都变成乘法，然后再用乘法交换律和结合律.
(1)将除法转化为乘法有什么好处?
将除法转化为乘法的主要好处包括简化计算过程、节约时间、
提高计算效率;
相同点:都是整数与分数的运算,大部分知识是在小学就学过了.
不同点:初中有理数运算新增了一些乘法公式,并且运算起来比小学的复杂,有时还会用字母表示数,用复杂的代数式运算.
(2)有理数的乘除法与小学数学中的乘除法相比较，有哪些相同点和不同点?与同伴进行交流。
思考·交流
回顾有理数运算的学习，你经历了怎样的探索过程?积累了哪些研究问题的经验?
在运算时涉及负数，运算变得复杂，为了便于理解，从实际生活问题中出发，经历观察 思考、尝试 思考、尝试 交流、思考、交流等一系列探索过程发现规律、总结法则。通过反复的练习和反复思考找到解决问题的方法。掌握了有理数运算的知识和技能。
回顾·反思
解：(1)(－105)÷(－7)
＝＋(105÷7)
＝15.
(3)(－0.09)÷(－0.03)
＝＋(0.09÷0.03)
＝3.
=????????????.
?
1. 计算 (-25)÷ 的结果等于（ ）
A．- B．-5 C．-15 D．-
2. 两个有理数相除，其商是负数，则这两个有理数（ ）
A．都是负数 B．都是正数
C．一个是正数，一个是负数 D．有一个是零
C
C
3. 若两个数的商是 2，被除数是 -4，则除数（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
B
4．计算：(1) ；(2) ；
(3) 。
解：(1) 原式 ；
(2) 原式 ；
(3) 原式 。
5. 计算：
解：
有理数的除法
有理数的除法法则一
有理数的除法法则二
两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
0除以任何非0的数都得0.
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.

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