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5.3 二元一次方程组的应用
第2课时　百分率问题与和差倍分问题
1.使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用.
2.通过应用题教学，学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系，体会代数方法的优越性.
重点：能根据题意找出等量关系，并能根据题意列二元一次方程组.
难点：正确找出问题中的两个等量关系.
知识链接
利用二元一次方程组解决实际问题的步骤是什么？
创设情境——见配套课件
提问：播放超市促销活动场景（如“第二件半价”“满300减30％”）
提问学生：“这些广告中的20％、50％是什么意思？你在生活中还见过哪些百分数？”（引出百分率问题）
探究点一：用二元一次方程组解决百分率问题
　　某公司去年的利润（总收入－总支出）为200万元.今年总收入比去年增加了20％，总支出比去年减少了10％，今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元？
用表格梳理题目中的关键信息：
设去年的总收入为x万元，总支出为y万元，则有
总收入/万元 总支出/万元 利润/万元
去年 x y 200
今年 （1＋20％）x （1－10％）y 780
问题1：题目中的等量关系有哪些？
去年的总收入－去年的总支出＝200万元
今年的总收入－今年的总支出＝780万元
问题2：你能根据上面的等量关系列出方程组解决问题吗？
解得
因此，去年的总收入是2000万元，总支出是1800万元.
小明家种植水果，去年收支相抵后，结余1200元；今年因为改进了种植技术，他家水果获得丰收，收入比去年增加5％，支出比去年减少15％，今年比去年多结余1140元.如果设小明家去年的收入为x元，支出为y元，那么：
（1）将有关的数据填写下表中：
项目 收入（元） 支出（元） 结余（元）
去年 x y 1200
今年 （1＋5％）x （1－15％）y （1200＋1140）
（2）根据表格列方程组
　.解得 .
探究点二：用二元一次方程组解决和差倍分问题
随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔需聘请饲养员协助管理现有的42头大牛和20头小牛，已知甲种饲养员每人可负责8头大牛和4头小牛，乙种饲养员每人可负责5头大牛和2头小牛，请问李大叔应聘请甲、乙两种饲养员各多少人？
问题1：题中有哪些未知量，你如何设未知数？
（甲种饲养员和乙种饲养员的人数未知；设李大叔应聘请甲种饲养员x人，乙种饲养员y人）
问题2：题中有哪些等量关系？
（甲负责的大牛数＋乙负责的大牛数＝总大牛数；
甲负责的小牛数＋乙负责的小牛数＝总小牛数）
追问：你能根据上面的等量关系列出方程或者方程组解决问题吗？
解得
答：李大叔应聘请甲种饲养员4人，乙种饲养员2人.
某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分.市第二中学足球队比赛11场，没有输过一场，共得27分，试问该队胜几场？平几场？
分析：胜场＋平场＝总场次；胜分＋平分＝总分数.
解：设该队胜了x场，平了y场.根据题意得
解得
答：该队胜了8场，平了3场.
1.为了保护生态环境，某地将一部分耕地改为林地，改变后，林地的面积和耕地的面积共有180万公顷，耕地面积是林地面积的25％.设改变后耕地面积为x万公顷，林地面积为y万公顷，以下关于x，y的四个方程组，其中符合题意的是（　B　）
A. B.
C. D.
2.一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为7，若这个两位数加上45恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的新两位数，则原来的两位数是（　B　）
A.61 B.16 C.52 D.25
3.某公司用3000元购进两种货物.货物卖出后，一种货物的利润率是10％，另一种货物的利润率是11％，两种货物共获利315元，则该公司购进这两种货物所用的费用分别为　1500元，1500元　.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　(共23张PPT)
5.3 应用二元一次方程组
第2 课时 百分率问题与和差倍分问题
1.能根据题意找出等量关系，并能根据题意列二元一次方程组.(重点)
2.正确找出问题中的两个等量关系.(难点)
3.通过应用题教学，进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系，体会代数方法的优越性.
这些广告中的 20%、半价是什么意思？你在生活中还见过哪些百分数？
1.一种商品进价为 150 元，售价为 165 元，则该商品
的利润为____元；
2.一种商品进价为 150 元，售价为 165 元，则该商品
的利润率为______；
3.一种商品标价为 150 元，打八折后的售价为____元；
4.一种商品标价为 200 元，当打____折后的售价为
170 元.
15
10﹪
120
8.5
探究点一：用二元一次方程组解决百分率问题
5.某工厂去年的总收入是 x 万元，今年的总产值比去年增加了 20%，则今年的总收入是__________万元；
6.若该厂去年的总支出为 y 万元，今年的总支出比去年减少了 10%，则今年的总支出是__________万元；
7.若该厂今年的利润为 780 万元，则根据 5，6 可得方程___________________________.
(1 + 20%) x
(1 + 20%)x - (1 - 10%)y = 780
(1 - 10%) y
探究点一：用二元一次方程组解决百分率问题
问题1：增长 (亏损) 率问题的公式？
问题2：银行利率问题中的公式？(利息、本金、利率)
原量×(1 + 增长率) = 新量
原量×(1 - 亏损率) = 新量
利息 = 本金×利率×期数(时间)
本息和 = 本金 + 利息
利润 = 总产值 - 总支出
利润率 = (总产值 - 总支出) / 总产值×100%
根据上述公式，我们可以列出二元一次方程组，解决实际问题.
探究点一：用二元一次方程组解决百分率问题
（1）这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系
【合作探究】 某工厂去年的利润(总产值 - 总支出)为 200 万元，今年总产值比去年增加了 20％，总支出比去年减少了 10％，今年的利润为 780 万元。去年的总产值、总支出各是多少万元
探究点一：用二元一次方程组解决百分率问题
去年的总产值，总支出，去年的利润；
今年的总产值，总支出，今年的利润。
去年的总产值 - 去年的总支出 = 200 万元，
今年的总产值 - 今年的总支出 = 780 万元
等量关系：
今年的总产值=
去年总产值×(1 + 20%)
今年的总支出=去年的总支出×(1 - 10%)
（2）你能用表格梳理问题中的已知量和未知量吗？
与同伴进行交流。
探究点一：用二元一次方程组解决百分率问题
设去年的总产值为 x 万元，总支出为 y 万元，则有：
总产值/万元 总支出/万元 利润/万元
去年
今年
(1 + 20﹪)x
(1 - 10﹪)y
780
x
y
200
因此，去年的总收入是 ，总支出是 .
根据上表，
可以列出方程组 .
解这个方程组，得 .
x - y = 200，
(1 + 20﹪)x - (1 - 10﹪)y = 780
x = 2000，
y = 1800
2000
1800
探究点一：用二元一次方程组解决百分率问题
【练一练】 甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价 15%，乙商品提价 10%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和降低了 5%.
求甲、乙两种商品原来的单价.
本问题涉及的等量关系为：
甲商品原单价十乙商品原单价 = 100元，
调价后甲商品单价+调价后乙商品单价=100×(1-5%)元.
x
y
x - 15%x = (1-15%)x
x + 10%x = (1+10%)x
探究点一：用二元一次方程组解决百分率问题
解：设甲商品原来的单价为 x 元，乙商品原来的单价为 y 元.
根据题意，得
答：甲、乙商品原来的单价分别为 60 元，40 元.
x＋y＝100，
(1－15%)x＋(1＋10%)y＝100×(1－5%).
解得
x＝60，
y＝40.
探究点一：用二元一次方程组解决百分率问题
实际问题
设未知数、找等量关系、列方程（组）
数学问题
[方程(组)]
解方程（组）
数学问题的解
双检验
实际问题的答案
探究点一：用二元一次方程组解决百分率问题
【合作探究】 随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔想聘请饲养员代为管理现有的 42 头大牛和 20 头小牛，已知甲种饲养员每人可负责 8 头大牛和 4 头小牛，乙种饲养员每人可负责 5 头大牛和 2 头小牛，请问李大叔应聘请甲、乙两种饲养员各多少人才能使所有的牛都恰好能被饲养到
分析： 设李大叔应聘请甲种饲养员 x 人，
乙种饲养员 y 人.
甲负责 x 头 乙负责 y 头 总牛数
大牛数
小牛数
8x
4x
5y
2y
探究点二：用二元一次方程组解决和差倍分问题
42
20
答：李大叔应聘请甲种饲养员 4 人，乙种饲养员 2 人.
8x + 5y = 42，
4x + 2y = 20.
解得
x = 4，
y = 2.
解： 设李大叔应聘请甲种饲养员 x 人，乙种饲养员 y 人.
探究点二：用二元一次方程组解决和差倍分问题
例 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含 0.5 单位蛋白质和 1 单位铁质，每克乙原料含 0.7 单位蛋白质和 0.4 单位铁质，若病人每餐需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质，则每餐甲、乙原料各多少克恰好满足病人的需要
分析：设每餐甲、乙原料各 x g、y g，则有下表:
甲原料 x g 乙原料 y g 所配的营养品
其中所含蛋白质
其中所含铁质
0.5x
x
0.7y
0.4y
35
40
探究点二：用二元一次方程组解决和差倍分问题
答：每餐用甲原料 28 g、乙原料 30 g 可以恰好满足患者的需要.
根据题意，得方程组
0.5x + 0.7y = 35，
x + 0.4y = 40.
5x + 7y = 350，
5x + 2y = 200.
化简，得
解得
解：设每餐甲原料 x g、乙原料 y g，
探究点二：用二元一次方程组解决和差倍分问题
总结
1.基本数量关系：各部分数量之和 = 全部数量；
2.方法：找明显关系词，如：是、多、少、倍、共、几分之几等.
【练一练】某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得 3 分，平一场得 1 分.市第二中学足球队比赛 11 场，没有输过一场，共得 27 分，试问该队胜几场 平几场
分析：胜场＋平场= 总场次；胜分＋平分=总分数
答：该队胜了 8 场，平了 3 场.
根据题意得
3x + y = 27.
x + y = 11，
解得
x = 8，
y = 3.
解：设该队胜了 x 场，平了 y 场.
列方程组解决实际问题
百分率问题
和差倍分问题
增长率(下降率)问题
利润问题
增长后的量
下降后的量
利润
利润率
1. 为了保护生态环境，某地将一部分耕地改为林
地，改变后，林地的面积和耕地的面积共有180万公
顷，耕地面积是林地面积的25％.设改变后耕地面积
为x万公顷，林地面积为y万公顷，以下关于x，y
的四个方程组，其中符合题意的是(　B　)
B
2.一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为7，若这个两位数加上45恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的新两位数，则原来的两位数是(　B )
A. 61 B. 16 C. 52 D. 25
B
3.某公司用 3000 元购进两种货物.货物卖出后，一种
货物的利润率是 10％，另一种货物的利润率是 11％，两种货物共获利 315 元，则该公司购进这两种货物所用的费用分别为 .
1500元，1500元　
4. 某商场新购进一种服装，每套售价1000元，若将裤子降价10％，上衣涨价5％，调价后这套服装的单价比原来提高了2％，则调价前上衣的单价是 元.
800　
5. 小王家里买了150斤大米和100斤面粉，吃了一个
月后，发现吃的大米和面粉一样多，而且剩的大米
刚好是面粉的6倍，则大米剩 斤.
60　
6. 某校去年有学生1000名，今年比去年增加了4.4％，其中寄宿学生增加了6％，走读学生减少了2％，问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少名？
解：设该校去年有寄宿学生x名，走读学生y名，
由题意得
解得
答：该校去年有寄宿学生800名，走读学生200名.第5章 二元一次方程
5.4 应用二元一次方程组
第2课时 百分率问题与和差倍分问题
【素养目标】
1. 能根据题意找出等量关系,并能根据题意列二元一次方程组.(重点)
2. 正确找出问题中的两个等量关系. (难点)
3. 通过应用题教学,进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系,体会代数方法的优越性.
【情境导入】
这些广告中的 20%、半价是什么意思？你在生活中还见过哪些百分数
【合作探究】
探究点一:用二元一次方程组解决百分率问题
1. 一种商品进价为 150 元,售价为 165 元,则该商品的利润为_________元；
2. 一种商品进价为 150 元,售价为 165 元,则该商品的利润率为_____,
3. 一种商品标价为 150 元,打八折后的售价为______元；
4. 一种商品标价为 200 元,当打_____折后的售价为 170 元.
5. 某工厂去年的总收入是 万元,今年的总产值比去年增加了 ,则今年的总收入是_______万元；
6. 若该厂去年的总支出为 万元,今年的总支出比去年减少了 ,则今年的总支出是_______万元；
7. 若该厂今年的利润为 780 万元,那么由 5 ,6 可得方程___________________.
问题1: 增长(亏损)率问题的公式
问题2: 银行利率问题中的公式
【合作探究】某工厂去年的利润(总产值 - 总支出) 为200万元,今年总产值比去年增加了20%,总支出比去年减少了10% ,今年的利润为780万元。去年的总产值、总支出各是多少万元
(1)这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系
(2)你能用表格梳理问题中的已知量和未知量吗？与同伴进行交流。
设去年的总产值为 万元,总支出为 万元,则有:
总产值/万元 总支出/万元 利润/万元
去年
今年
根据上表, 可以列出方程组_______________________________.
解这个方程组,得____________________。
因此,去年的总收入是__________,总支出是________。
【练一练】
1. 甲、乙两种商品原来的单价和为100元, 因市场变化,甲商品降价15%,乙商品提价10%, 调价后两种商品的单价和比原来的单价和降低了5%. 求甲、乙两种商品原来的单价.
探究点二:用二元一次方程组解决和差倍分问题
【合作探究】随着养牛场规模逐渐扩大,李大叔想聘请饲养员代为管理现有的 42 头大牛和20头小牛,已知甲种饲养员每人可负责8头大牛和4头小牛,乙种饲养员每人可负责5头大牛和2头小牛,请问李大叔应聘请甲、乙两种饲养员各多少人才能使所有的牛都恰好能被饲养到？
设李大叔应聘请甲种饲养员 人, 乙种饲养员 人.
甲负责 头 乙负责 头 总牛数
大牛数
小牛数
例1 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品, 每克甲原料含 0.5 单位蛋白质和 1 单位铁质,每克乙原料含 0.7 单位蛋白质和 0.4 单位铁质, 若病人每餐需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质,那么每餐甲、乙原料各多少克恰好满足病人的需要
设每餐甲、乙原料各 、 . 则有下表:
甲原料 x g 乙原料 所配的营养品
其中所含蛋白质
其中所含铁质
【练一练】2.某市举办中学生足球比赛,规定胜一场得3分, 平一场得1分.市第二中学足球队比赛11场, 没有输过一场,共得27分,试问该队胜几场 平几场
当堂反馈
1. 为了保护生态环境, 某地将一部分耕地改为林地,改变后,林地的面积和耕地的面积共有18万公顷,耕地面积是林地面积的25%.设改变后耕地面积为万公顷,林地面积为万公顷,以下关于的四个方程组, 其中符合题意的是 ( )
A. B. C. D.
2. 一个两位数, 个位上的数字与十位上的数字之和为7,若这个两位数加上45恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的新两位数, 则原来的两位数是 ( )
A. 61 B. 16 C. 52 D. 25
3. 某公司用3000元购进两种货物. 货物卖出后,一种货物的利润率是10% ,另一种货物的利润率是11% , 两种货物共获利315元,则该公司购进这两种货物所用的费用分别为_________________________.
4. 某商场新购进一种服装,每套售价1000元,若将裤子降价10% , 上衣涨价5%,调价后这套服装的单价比原来提高了2% ,则调价前上衣的单价是_________元.
5. 小王家里买了150斤大米和100斤面粉,吃了一个月后,发现吃的大米和面粉一样多,而且剩的大米刚好是面粉的6倍,则大米剩__________斤.
6. 某校去年有学生1000名,今年比去年增加了4.4% , 其中寄宿学生增加了6% ,走读学生减少了2% ,问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少名
参考答案
探究点一:用二元一次方程组解决百分率问题
1. 15 ； 2. 10% , 3. 120 ； 4. 8.5 折
5. ；6. ；
7. .
问题1: 原量 新量 , 原量 新量
问题2: (利息、本金、利率) 利息 本金 利率 期数(时间)
本息和＝本金＋利息,利润=总产值-总支出
利润率=(总产值-总支出)/总产值 × 100%
【合作探究】(1) 去年的总产值, 总支出, 去年的利润;今年的总产值, 总支出,
今年的利润。
去年的总产值-去年的总支出= 200 万元,
今年的总产值-今年的总支出= 780 万元
今年的总产值= 今年的总支出= 去年总产值
去年的总支出
(2)
总产值/万元 总支出/万元 利润/万元
去年 y 200
今年 780
根据上表, 可以列出方程组
解这个方程组,得。
因此,去年的总收入是 2000 ,总支出是 1800 。
【练一练】 1. 解: 设甲商品原来的单价为 元,乙商品原来的单价为 元. 根据题意,得
答:甲、乙商品原来的单价分别为 60 元,40 元.
探究点二:用二元一次方程组解决和差倍分问题
【合作探究】
甲负责 头 乙负责 头 总牛数
大牛数 8x 5y 42
小牛数 4x 2y 20
解: 设李大叔应聘请甲种饲养员 人,乙种饲养员 人.
答:李大叔应聘请甲种饲养员 4 人,乙种饲养员 2 人.
例1
甲原料 x g 乙原料 所配的营养品
其中所含蛋白质 0.5x 0.7 35
其中所含铁质 0.4 40
解: 设每餐甲原料 、乙原料各 ,根据题意,得
根据题意,得方程组 化简,得
①- ②,得 。把 代入①,得 ,
即方程组的解为
所以,每餐用甲原料 、乙原料 可以恰好满足患者的需要。
【练一练】2.解: 设该队胜了 场,平了 场.
根据题意得 答: 该队胜了 8 场, 平了 3 场.
当堂反馈
1. B
2. B
3. 1500元 , 1500元
4. 800元.
5. 60.
6. 解: 设该校去年有寄宿学生 名,走读学生 名, 由题意得
解得
答: 该校去年有寄宿学生800名,走读学生200名.

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