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5.4　二元一次方程与一次函数
第1课时　二元一次方程组与一次函数
1.理解一次函数与二元一次方程（组）的对应关系.
2.会用画图象的方法解二元一次方程组.
3.通过对一次函数与二元一次方程（组）关系的探究及相关实际问题的解决，学会用函数的观点去认识问题的方法.
4.通过对一次函数与二元一次方程（组）关系的探索，培养学生严谨的科学态度及勇于探索的精神；通过从函数的角度看问题，让学生体会数学的价值.
重点：初步理解二元一次方程和一次函数的关系；掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系.
难点：发展学生数形结合的意识和能力，使学生在自主探索中学会不同数学知识间可以互相转化的数学思想和方法.
知识链接
什么叫二元一次方程组的解？一次函数的图象是什么？
（二元一次方程组中各个方程的公共解；直线）
创设情境——见配套课件
　　十七世纪法国数学家笛卡尔有一次生病卧床，他看见屋顶上的一只蜘蛛顺着左右爬行，笛卡尔看到蜘蛛的“表演”猛的灵机一动.他想，可以把蜘蛛看成一个点，它可以上、下、左、右运动，能不能将蜘蛛的位置用一组数确定下来呢？
在蜘蛛爬行的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系，直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁.在直角坐标系下几何图形（形）和方程（数）建立了联系.笛卡尔坐标系起到了桥梁和纽带的作用，而我们可以把图形化成方程来研究，也可以用图象来研究方程.
这节课我们就来研究二元一次方程（组）与一次函数的关系
探究点一：二元一次方程和一次函数图象的关系
问题1：方程x＋y＝5的解有多少个？是这个方程的解吗？无数个；是.
问题2：点（0，5），（5，0），（2，3）在一次函数y＝－x＋5的图象上吗？在.
问题3：在一次函数y＝－x＋5的图象上任取一点，它的坐标适合方程x＋y＝5吗？适合.
问题4：以方程x＋y＝5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y＝－x＋5的图象相同吗？相同.
总结：（1）以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的一次函数图象上，即以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线；
（2）一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程.即：从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时对应的函数值是多少；从“形”的角度看，解方程相当于确定直线上的点的坐标.
探究点二：二元一次方程组的解与对应的两个一次函数图象之间的关系
利用函数图象解方程组
问题1：在同一直角坐标系内分别画出一次函数y＝5－x和y＝2x－1的图象，这两个图象有交点吗？　有.
问题2：交点的坐标与方程组的解有什么关系？
交点的坐标就是方程组的解.
总结：一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标.
思考：在同一直角坐标系内，一次函数y＝x＋1和y＝x－2的图象有怎样的位置关系？方程组解的情况如何？你发现了什么？
总结：方程组的解的个数与对应的一次函数图象的交点个数之间的关系：
二元一次方程组无解 对应的两个一次函数图象平行（无公共点）；
二元一次方程组有一个解 对应的两个一次函数图象相交（有一个公共点）；
二元一次方程组有无数个解→对应的两个一次函数图象重合（有无数个公共点）.
【针对训练】
1.一次函数y＝7－4x和y＝1－x的图象的交点坐标为　（2，－1）　，则方程组的解为　　.
2.如图，直线l1和l2的交点坐标为（　A　）
A.（4，－2） B.（2，－4） C.（－4，2） D.（3，－1）
1.下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程2x－y＝2的解的是（　B　）
2.如图，在平面直角坐标系中，若直线y1＝k1x＋b1与直线y2＝k2x＋b2相交于A，则方程组的解是　　.
3.已知方程组的解为则一次函数y＝－x＋1和y＝2x－2的图象的交点坐标为　（1，0）　.
4.在同一直角坐标系内分别作出一次函数y＝2x－2与2y＝4x－4的图象，则这两个图象的位置关系是　重合　；由此可知方程组的解的情况是　有无数多解　.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　(共21张PPT)
5.4 二元一次方程与一次函数
第1课时 二元一次方程与一次函数
1. 理解一次函数与二元一次方程（组）的对应关系.(重点)
2. 会用画图象的方法解二元一次方程组.(重点)
3. 通过对一次函数与二元一次方程（组）关系的探究及相关实际问题的解决，学会用函数的观点去认识问题的方法.(重点)
4. 通过对一次函数与二元一次方程（组）关系的探索，培养科学严谨的态度及勇于探索的精神；通过从函数的角度看问题，体会数学的价值.(难点)
1.什么叫二元一次方程组的解
2.一次函数的图象是什么
二元一次方程组中各个方程的公共解。
把一次函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，所有这些点组成的图形叫作该函数的图象。
问题1：方程 x + y = 5 的解有多少个 写出其中的几个.
无数个
问题2：等式 x + y = 5 还可以看成一个一次函数，把它
变成 y = kx + b 的形式是_____________.
y = -x + 5
探究点一: 二元一次方程和一次函数的关系
问题3：画出 y = -x + 5 的图象：
x 0
y = -x+5 0
y = -x + 5
追问1：以方程 x + y = 5 的解为坐标的点都在一次函数
y = -x + 5 的图象上吗？
都在
5
5
探究点一: 二元一次方程和一次函数的关系
追问2：在一次函数 y = -x + 5的图象上任取一点，点的坐标适合方程 x + y = 5 吗？
都适合
追问3：以方程 x + y = 5 的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 y = -x + 5 的图象相同吗？
相同
一次函数 y = -x＋5 图象上的点
方程
x + y = 5 的解
从形到数
从数到形
y = -x + 5
探究点一: 二元一次方程和一次函数的关系
二元一次方程的解
一次函数图象上点的坐标
一一对应
求ax+b=0(a≠0)的解
求ax+b=0(a≠0)的解
x为何值时
y=ax+b的值为0
确定直线y=ax+b与x轴交点的横坐标
从数的角度看：
从形的角度看：
探究点一: 二元一次方程和一次函数的关系
【归纳总结】
【练一练】1.以方程 2x + y = 5 的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 的图象相同.
2.如图所示的四条直线，其中直线上每个点的坐标都是方程 x - 2y = 2 的解的是（ ）
C
y = -2x + 5
y
x
o
-1
2
y
x
o
-2
1
y
x
o
-1
2
y
x
o
-0.5
1
D
A
B
C
探究点一: 二元一次方程和一次函数的关系
问题1：请在同一直角坐标系内分别画出函数 y = -x + 5 与 y = 2x - 1 的图象，找出它们的交点坐标.
交点的坐标为 (2，3)
y = 2x - 1
y = -x + 5
探究点二：二元一次方程组的解与一次函数
问题2：解方程组
解得
思考：这两个一次函数的交点坐标与这个二元一次方程组的解有什么关系？
y = 2x - 1
y = -x + 5
交点的坐标就是方程组的解.
探究点二：二元一次方程组的解与一次函数
已知两条直线 y＝k1x＋b1，
y＝k2x＋b2，如果它们在平面直角坐标系内相交，交点坐标为 (m，n)，
方程组
y＝k1x＋b1 ，
y＝k2x＋b2
x＝m，
y＝n
的解为
【归纳】一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标.
探究点二：二元一次方程组的解与一次函数
【练一练】
3.若二元一次方程组 的解为 则函数
y = 5 - x 与 y = -2x + 8 的图象的交点坐标为 　　 .
4.一次函数 y = 5 - x 与 y = -2x + 8 图象的交点坐标为(3，2)，则方程组 　的解为
（3，2）
　　　　.
探究点二：二元一次方程组的解与一次函数
问题3：在同一直角坐标系内，一次函数 y = x + 1 和 y = x - 2 的图象有怎样的位置关系？
方程组 解的情况如何？
平行
方程组无解
探究点二：二元一次方程组的解与一次函数
二元一次方程组的解 两个一次函数的图象
无解
平行（无交点）
有一个解
相交（有一个交点）
有无数个解
数
形
重合（有无数个交点）
探究点二：二元一次方程组的解与一次函数
【归纳总结】
【练一练】
5.点 Q 的横坐标为一元一次方程3x＋7＝32－2x 的解，纵坐标为 a＋b 的值，其中a，b 满足二元一次方程组 ，则点 Q 关于 y 轴对称点 Q′ 的坐标为 ．
(－5，－4)
2a－b＝4 ，
－a＋2b＝－8
探究点二：二元一次方程组的解与一次函数
二元一次方程与一次函数的关系
二元一次方程的解就是函数图象上的点的坐标，函数图象上的点的坐标就是二元一次方程的解
二元一次方程组无解，它对应的两个函数图象无交点，即两条直线平行
方程与函数之间的转换（数→形）
二元一次方程组与一次函数的关系
二元一次方程组的解就是对应的两个函数图象的交点的坐标；
两个函数图象的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解
k1＝k2时
k1≠k2时
1. 下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二
元一次方程2x－y＝2的解的是(　B　)
B
2. 如图，在平面直角坐标系中，若直线y1＝k1x＋b1与直线y2＝k2x＋b2相交于A，则方程组
的解是 　 　.
3. 已知方程组 的解为 则一次
函数y＝－x＋1和y＝2x－2的图象的交点坐标
为 .
(1，0)　
4. 在同一直角坐标系内分别作出一次函数y＝2x－2
与2y＝4x－4的图象，则这两个图象的位置关系
是 ；由此可知方程组 的
解的情况是 .
重合　
有无数多解
5. [教材变式]如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b).
(1)求b的值；
解：∵点P(1，b)在直线y＝x＋1上，
∴b＝1＋1＝2.
(2)直接写出关于x，y的二元一次方
程组 的解；是
解：方程组的解是
(3)直线l3：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由.
解：直线l3也经过点P. 理由如下：
∵直线y＝mx＋n过点P(1，2)，
∴m＋n＝2.
∵当x＝1时，y＝nx＋m＝m＋n＝2，
∴(1，2)满足函数y＝nx＋m的表达式.
∴直线l3也经过点P.第5章 二元一次方程
5.4 二元一次方程与一次函数
第1课时 二元一次方程与一次函数
【素养目标】
1. 理解一次函数与二元一次方程(组)的对应关系. (重点)
2. 会用画图象的方法解二元一次方程组.(重点)
3. 通过对一次函数与二元一次方程(组)关系的探究及相关实际问题的解决,学会用函数的观点去认识问题的方法.(重点)
4. 通过对一次函数与二元一次方程(组)关系的探索,培养严谨的科学态度及勇于探索的精神；通过从函数的角度看问题,体会数学的价值.(难点)
【复习导入】
1. 什么叫二元一次方程组的解
2. 一次函数的图象是什么
【合作探究】
探究点一: 二元一次方程和一次函数的关系
问题1: 方程 的解有多少个 写出其中的几个。
问题2: 等式 还可以看成一个一次函数,把它变成 的形式是______________.
问题3: 画出 的图象:
0
0
追问1: 以方程 的解为坐标的点都在一次函数 的图象上吗
追问2:在一次函数的图象上任取一点, 点的坐标适合方程 吗
追问3:以方程的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 的图象相同吗
【归纳总结】
【练一练】
1. 以方程 的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数__________的图像相同.
2. 如图所示的四条直线,其中直线上每个点的坐标都是方程 的解的是 ( )
A B C D
探究点二: 二元一次方程组的解与一次函数
问题1: 请在同一直角坐标系内分别画出函数 与 的图象,找出它们的交点坐标.
问题2: 解方程组
思考: 这两个一次函数的交点坐标与这个二元一次方程组的解有什么关系
【归纳】一般地, 从图形的角度看,确定两条直线交点的坐标,相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标。
【练一练】
3. 若二元一次方程组的解为 ,则函数与 的图象的交点坐标为__________.
4.一次函数 与 图象的交点为(3,2)则方程组 的解为 ___________.
问题3: 在同一直角坐标系内,一次函数 和 的图象有怎样的位置关系
方程组 解的情况如何
【归纳总结】
二元一次方程组的解 两个一次函数的图象上的点
【练一练】
5. 点 的横坐标为一元一次方程 的解,纵坐标为 的值,其中 满足二元一次方程组 ,则点 关于 轴对称点 的坐标为_____________.
当堂反馈
1. 下面四条直线,其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程 的解的是( )
2. 如图,在平面直角坐标系中,若直线 与直线 相交于 ,则方程组 ________________.
3. 已知方程组的解为 则一次函数和 的图象的交点坐标为___________.
4. 在同一直角坐标系内分别作出一次函数 2与 的图象,则这两个图象的位置关系是______; 由此可知方程组 的解的情况是_____________.
5. [教材变式]如图,直线 与直线 相交于点 . (1) 求 的值；
(2) 直接写出关于 的二元一次方程组
(3) 直线 是否也经过点 ？请说明理由.
参考答案
复习导入
1. 二元一次方程组中各个方程的公共解。
2. 把一次函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标, 在平面直角坐标系中描出相应的点,所有这些点组成的图形叫作该函数的图象。
探究点一: 二元一次方程和一次函数的关系
问题1: 无数个
问题2: .
问题3: 图象略:
追问1: 都在.
追问2: 都适合.
追问3: 相同.
【练一练】1. . 2. C
探究点二: 二元一次方程组的解与一次函数
问题1:
问题2: 解得
思考: 交点的坐标就是方程组的解。
【练一练】
3. ( 3 , 2 ). 4. .
问题3: 平行 方程组无解
【归纳总结】
二元一次方程组的解 两个一次函数的图象上的点
无解 平行 (无交点)
有一个解 相交(有一个交点)
有无数个解 重合(有无数个交点)
【练一练】
5. ( -5, -4 ).
当堂反馈
1. B 2. 3. ( 1 , 0 ). 4. 重合 有无数多解.
5. 解: 点 在直线 上, .
(2) 方程组的解是
(3) 解: 直线 也经过点 .
理由如下: 直线 过点 ,
. 时,
满足函数 的表达式.
直线 也经过点 .

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