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1.2.2 课时2 全称量词命题与存在量词命题的否定
【学习目标】
1.理解全称量词命题和存在量词命题与其否定之间的关系.(数学抽象)
2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.(逻辑推理)
3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.(逻辑推理)
【自主预习】
　　暑假期间，小赵和自己的三位好朋友(小张、小李、小刘)一起到某地风景区去旅游，他们到达景区之后发现景点A最好玩，此景区有甲、乙、丙三条路可能通往景点A.
小赵说：“所有的路都可到达景点A.”
小张说：“至少有一条路可到达景点A.”
小李说：“并非所有的路都可到达景点A.”
小刘说：“没有路可到达景点A.”
1.哪两人说的话表达的意思完全相反
2.四人中几个人说的对 几个人说的错
1. 命题“任意实数x，都有x>1”的否定是(　　).
A.对任意实数x，都有x>1
B.不存在实数x，使x≤1
C.对任意实数x，都有x≤1
D.存在实数x，使x≤1
2.命题“ n∈N，n2>2n”的否定是(　　).
A. n∈N，n2>2n
B. n∈N，n2≤2n
C. n∈N，n2≤2n　
D. n∈N，n2>2n
3.命题“ x∈R，<0”的否定是________.
4.一学校开展小组合作学习模式，某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若“ x∈R，x2+2x+m≤0”是假命题，求实数m的取值范围.王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若“ x∈R，x2+2x+m>0”是真命题，求实数m的取值范围.你认为，两位同学的题中实数m的取值范围是否一致 并说明理由.
【合作探究】
探究1　全称量词命题的否定
　　德国诗人歌德在公园里散步，与一位批评家在一条仅能让一人通过的小路上相遇，批评家说：“我从来不给智力障碍者让路.”歌德笑着退到路边并说：“我恰恰相反.”
问题1：从命题的角度，批评家说的话是全称量词命题还是存在量词命题
问题2：从逻辑的角度分析歌德回答的含义.
1.命题的否定：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，新命题与原命题真假性相反.
2.全称量词命题的否定
对于全称量词命题p： x∈M，x具有性质p(x)，通常把它的否定表示为 x∈M，x不具有性质p(x).
全称量词命题的否定是________.
3.常用全称量词的否定形式
词语 每一个 所有的 一个也没有 任意
词语的否定 ________ ________ ________ ________
例1　写出下列全称量词命题的否定：
(1)所有的菱形都是平行四边形；
(2) x∈Z，x2与3的和不等于0.
【方法总结】
(1)一般地，写全称量词命题的否定时，先找到全称量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，同时否定结论.
(2)省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题.
写出下列全称量词命题的否定：
(1)等圆的周长相等，面积相等；
(2)不论m取何实数，方程x2+x+m=0必有实数根；
(3) x∈R，x2>0.
探究2　存在量词命题的否定
　　“八月桂花遍地开”是描写桂花开放的歌词.杭州满陇桂雨那边有一万多株桂花，去年秋天某个星期，同学甲说：“杭州满陇桂雨有的桂花树开花了.”同学乙说：“你说错了.”
问题1：同学甲的话的意思是全部桂花树开花了吗
问题2：同学乙的话的意思是什么
1.存在量词命题的否定
对于存在量词命题p： x∈M，x具有性质p(x)，通常把它的否定表示为 x∈M，x不具有性质p(x).
存在量词命题的否定是________.
2.常用存在量词的否定形式
词语 存在一个 有的 必有一个 至少有n个 至多有1个 存在
词语的否定 ________ ____ _______ ________ ________ ____
例2　(1)命题“存在实数x，使x>1”的否定是________.
(2)命题“ x，y∈N，若+|y|=0，则x=0且y=0”的否定是________.
【方法总结】一般地，写存在量词命题的否定时，先找到存在量词及相应结论，然后把命题中的存在量词改成全称量词，同时否定结论.
写出下列存在量词命题的否定：
(1)有一个奇数不能被3整除；
(2)有些三角形的三个内角均为60°；
(3) n∈N，n2>2n.
【随堂检测】
1.全称量词命题“ x∈R，x2+5x=4”的否定是(　　).
A. x∈R，x2+5x=4
B. x∈R，x2+5x≠4
C. x∈R，x2+5x≠4
D.以上都不正确
2. 命题“存在实数x，使x≠1”的否定是(　　).
A.对任意实数x，都有x≠1
B.不存在实数x，使x≤1
C.对任意实数x，都有x=1
D.存在实数x，使x≤1
3.已知p： x<0，x+a-1=0，若p的否定为真命题，则a的取值范围是(　　).
A.a<1
B.a≥-1
C.a>-1
D.a≤1
4.已知命题“ x∈{x|11”是假命题，则实数a的取值范围是________.
参考答案
1.2.2 课时2 全称量词命题与存在量词命题的否定
自主预习·悟新知
预学忆思
1.小赵与小李；小张与小刘.
2.四人中有且只有两个人说的对；两个人说的错.
自学检测
1.D　【解析】“任意实数x，都有x>1”的否定是“存在实数x，使x≤1”.故选D.
2.C　【解析】存在量词命题的否定是全称量词命题，注意否定结论，所以上述命题的否定为“ n∈N，n2≤2n”.
3. x∈R，x≥2　【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题.
因为命题“ x∈R，<0”即“ x∈R，x<2”，所以其否定为“ x∈R，x≥2”.
4.【解析】两位同学的题中实数m的取值范围是一致的.
∵“ x∈R，x2+2x+m≤0”的否定是“ x∈R，x2+2x+m>0”，而“ x∈R，x2+2x+m≤0”是假命题，∴其否定“ x∈R，x2+2x+m>0”是真命题.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：因为含有全称量词，所以批评家说的话是全称量词命题.
问题2：歌德表达的意思是我会给智力障碍者让路.
新知生成
2.存在量词命题
3.存在一个　有的　至少有一个　存在
新知运用
例1　【解析】(1)并不是所有的菱形都是平行四边形(或有些菱形不是平行四边形).
(2) x∈Z，x2与3的和等于0.
巩固训练　【解析】(1)存在两个全等的圆，但这两个圆的周长不相等或面积不相等.
(2)存在实数m，使得方程x2+x+m=0没有实数根.
(3) x∈R，x2≤0.
探究2　情境设置
问题1：意思是杭州满陇桂雨部分桂花树开花了，不是全部桂花树开花.
问题2：所有的桂花树都没有开花，或所有桂花树都已开花.
新知生成
1.全称量词命题
2.每一个　所有的　一个也没有　至多有n-1个　至少有2个　任意
新知运用
例2　(1)对任意实数x，都有x≤1　(2) x，y∈N，若+|y|=0，则x≠0或y≠0
巩固训练　【解析】(1)每一个奇数都能被3整除.
(2)任意一个三角形的三个内角不全为60°.
(3) n∈N，n2≤2n.
随堂检测·精评价
1.C　【解析】“ x∈R，x2+5x=4”的否定是“ x∈R，x2+5x≠4”.
2.C　【解析】“存在实数x，使x≠1”的否定是“对任意实数x，都有x=1”.故选C.
3.D　【解析】由题意知，命题p： x<0，x+a-1=0的否定“ x<0，x+a-1≠0”为真命题，
即 x<0，x≠1-a，故1-a≥0，即a≤1.
故选D.
4.a<1　【解析】由题意得命题“ x∈{x|10”的否定“ x∈{x|1【学习目标】
1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.(数学抽象)
2.掌握全称量词命题和存在量词命题的定义，并能判断它们的真假.(逻辑推理)
3.能把一些简单命题表述成全称量词命题和存在量词命题.(逻辑推理)
【自主预习】
1.p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同
2.已知以下五种表述形式：①p q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗
3.p：任意两个全等的三角形必相似，其中的“任意”称为什么量词
4.q：存在两个相似的三角形全等，其中的“存在”称为什么量词
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题. (　　)
(2)命题“三角形的内角和是180°”是全称量词命题. (　　)
(3)命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题. (　　)
(4)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词. (　　)
2.下列四个命题中，既是存在量词命题又是真命题的是(　　).
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x，使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x，使>2
3.将命题“x2+y2≥2xy”改写成全称量词命题，得________.
4.若对任意x>3，都有x>a恒成立，则实数a的取值范围是________.
【合作探究】
探究1　全称量词命题与存在量词命题的判定
　　某学校为了迎接10月28日的秋季田径运动会，正在排练由1 000名学生参加的开幕式团体操表演.这1 000名学生符合下列条件：
(1)所有学生都来自高一年级；
(2)至少有30名学生来自高一(2)班；
(3)每一个学生都有固定的表演路线.
问题1：上述问题中“所有”“每一个”的含义相同吗
问题2：“至少”是全称量词吗
问题3：“一元二次方程ax2+2x+1=0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题 请改写成相应命题的形式.
问题4：全称量词限制未知数的范围吗
1.全称量词与全称量词命题
全称量词 所有、任意、一切、每一个、任何
符号表示 ________
全称量词命题 含有________的命题
形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“________”
2.存在量词与存在量词命题
存在量词 存在、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示 ________
存在量词命题 含有________的命题
形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“________”
例1　下列命题中，是全称量词命题的有________，是存在量词命题的有________.(填序号)
①正方形是菱形；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
③有的实数是无限不循环小数；④有些正整数是偶数；
⑤能被6整除的数也能被3整除；⑥存在x∈R，>1.
【方法总结】判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的关键：看命题中是否含有量词，含有量词时，再判断该量词是全称量词还是存在量词，全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略.
用全称量词或存在量词表示下列语句：
(1)不等式x2+x+1>0恒成立；
(2)当x为有理数时，x2+x+1也是有理数；
(3)方程3x-2y=10有整数解.
下列命题中，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________.(填序号)
①正方形的四条边相等；
②有两个角是60°的三角形是等边三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数.
探究2　全称量词命题与存在量词命题的真假判断
　　生活中的语言处处体现真假的判断.班主任请了两天假，回来后，问班长：“周一的体育课咱班学生都去操场上课了吗 ”班长说：“周一我点名了，咱班所有学生都去上课了.”班主任又问：“周二的数学自习课咱班有学生没来吗 ”班长说：“王宇生病请假没来.”根据以上话语，回答下列问题.
问题1：周一的体育课咱班学生都去操场上课了，班长是怎样证明的
问题2：周二的数学自习课咱班有学生没来，班长是怎样证明的
问题3：如果班长说谎了，该怎样反驳他
1.要判断全称量词命题“ x∈M，p(x)”为假命题，只需要在集合M中找到一个元素x，使得p(x)不成立即可；要判断全称量词命题为真命题，必须对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立.简单地说，判断全称量词命题真假的步骤为“先找反例后证明”.
2.要判断存在量词命题“ x∈M，p(x)”为真命题，只需要在集合M中找到一个元素x，使得p(x)成立即可；要判断存在量词命题为假命题，必须说明集合M中不存在元素x，使得p(x)成立.简单地说，判断存在量词命题真假的步骤为“先找正例后证明”.
例2　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假：
(1)有的三角形不是等腰三角形；
(2)每个二次函数的图象都与x轴相交；
(3) x∈{3，5，7}，3x+1是偶数；
(4) x∈Q，x2=3.
判断下列命题的真假：
(1) x∈R，|x|>0；
(2) k∈R，函数y=kx+1是一次函数；
(3) x∈R，x2>-1；
(4)存在一个三角形，它的内角和小于180°；
(5)存在正实数x，y，使x2+y2=0.
探究3　利用全称量词命题和存在量词命题求参数的值或取值范围
　　已知下列问题中的命题p(x)为真命题.
问题1：命题p(x)为 x∈R，x2=m，则m的取值范围是什么
问题2：命题p(x)为 x∈R，x2≠m，则m的取值范围是什么
问题3：命题p(x)为 x∈R，x2≥m，则m的取值范围是什么
　　如果一个全称(存在)量词命题为真命题，那么该命题中所涉及的每一个(某些)元素都具有同一种性质，因此可以利用这一结论求解相关的问题.由全称(存在)量词命题的性质可以把代数式的恒成立(能成立)问题转化为数学式子的最值问题来进行求解.
例3　若命题“ x∈R，x2-4x+a=0”为真命题，求实数a的取值范围.
【方法总结】已知含量词命题的真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查.解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路.
若命题“ x∈R，x2-2x+m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是(　　).
A.m≥1
B.m>1
C.m<1
D.m≤1
【随堂检测】
1.下列命题是存在量词命题的是(　　).
A.一次函数都是单调函数
B.对任意x∈R，x2+x+1<0
C.存在实数大于或者等于3
D.菱形的对角线互相垂直
2.下列命题中的假命题是(　　).
A. x∈R，|x|=0　　B. x∈R，2x-10=1
C. x∈R，x3>0
D. x∈R，x2+1>0
3.有下列四个命题：
①有一个实数x，使x2+2x+3=0；
②有些整数只有两个正因数；
③所有的矩形都是平行四边形；
④有些实数的绝对值是正数.
其中真命题有________个.
4.存在x>3，使得x>a成立，则实数a的取值范围是________.
参考答案
1.2.2 课时1 全称量词命题与存在量词命题
自主预习·悟新知
预学忆思
1.相同，都是p q.
2.这五种表述形式是等价的.
3.全称量词.
4.存在量词.
自学检测
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.B　【解析】A是全称量词命题.
B项为存在量词命题，当x=0时，x2≤0成立，所以B正确.
因为+(-)=0，所以C为假命题.
对于任何一个负数x，都有<0，所以D错误.故选B.
3.对任意x，y∈R，都有x2+y2≥2xy成立　【解析】将命题“x2+y2≥2xy”改写成全称量词命题，为“对任意x，y∈R，都有x2+y2≥2xy成立”.
4.{a|a≤3}　【解析】对于任意x>3，都有x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3，故实数a的取值范围是{a|a≤3}.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：相同.
问题2：不是，是存在量词.
问题3：是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2+2x+1=0”.
问题4：全称量词往往限制未知数的范围.
新知生成
1. 　全称量词　 x∈M，p(x)
2. 　存在量词　 x∈M，p(x)
新知运用
例1　①②⑤　③④⑥　【解析】根据全称量词命题和存在量词命题的概念可知：
①是全称量词命题；
②是全称量词命题；
③是存在量词命题；
④是存在量词命题；
⑤是全称量词命题；
⑥是存在量词命题.
所以是全称量词命题的有①②⑤，是存在量词命题的有③④⑥.
巩固训练1　【解析】(1)对任意实数x，不等式x2+x+1>0成立.
(2)对任意有理数x，x2+x+1是有理数.
(3)存在一对整数x，y，使3x-2y=10成立.
巩固训练2　①②③　④　【解析】根据所含的量词可判断出①②③为全称量词命题，④为存在量词命题.
探究2　情境设置
问题1：班长一一点名了.
问题2：举例说明，王宇生病请假没来.
问题3：反驳第一句话：举个例子，说明有学生没去.反驳第二句话：一一点名.
新知运用
例2　【解析】(1)命题中含有存在量词“有的”，因此是存在量词命题.三条边互不相等的三角形不是等腰三角形，因此是真命题.
(2)命题中含有全称量词“每个”，因此是全称量词命题.由于二次函数y=x2+1的图象与x轴不相交，因此是假命题.
(3)命题中含有全称量词的符号“ ”，因此是全称量词命题.把3，5，7分别代入3x+1，得10，16，22都是偶数，因此是真命题.
(4)命题中含有存在量词的符号“ ”，因此是存在量词命题.由于使x2=3成立的实数只有±，且它们都不是有理数，因此，没有一个有理数的平方等于3，所以“ x∈Q，x2=3”是假命题.
巩固训练　【解析】(1)由于0∈R，当x=0时，|x|>0不成立，因此命题“ x∈R，|x|>0”是假命题.
(2)由于k∈R，当k=0时，y=kx+1不是一次函数，因此该命题是假命题.
(3)由于 x∈R，都有x2≥0，因而有x2>-1.
因此命题“ x∈R，x2>-1”是真命题.
(4)因为所有的三角形，它的内角和都等于180°，所以该命题是假命题.
(5)由于使x2+y2=0成立的实数x，y只能都为0，而0不是正实数，因而不存在正实数x，y，使x2+y2=0成立，因此命题“存在正实数x，y，使x2+y2=0”是假命题.
探究3　情境设置
问题1：依题意，关于x的方程x2=m有实数解，∴Δ=4m≥0，解得m≥0.
问题2：依题意，可得m<0.
问题3：∵对一切x∈R，x2≥0，∴m≤0.
新知运用
例3　【解析】∵命题“ x∈R，x2-4x+a=0”为真命题，
∴关于x的方程x2-4x+a=0存在实数根，则Δ=(-4)2-4a≥0，解得a≤4，
即实数a的取值范围为{a|a≤4}.
巩固训练　B　【解析】依题意，关于x的方程x2-2x+m=0没有实数根，则4-4m<0，解得m>1.
随堂检测·精评价
1.C　【解析】选项A，B，D中的命题都是全称量词命题，选项C中的命题是存在量词命题.
2.C　【解析】当x=0时，x3=0，故选项C中的命题为假命题.
3.3　【解析】易知②③④为真命题.
4.R　【解析】存在x>3，使得x>a成立，所以a∈R.

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