资源简介

1.3.2 课时3 基本不等式的实际应用
【学习目标】
1.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.(逻辑推理)
2.能够建立数学模型解决实际问题.(数学建模)
【自主预习】
　　春天到了，学校决定用篱笆围一个面积为100 m2的花圃.有以下两种方案：圆形花圃，造价为12元/m；矩形花圃，造价为10元/m.
1.你觉得哪个方案更省钱呢 (≈1.772，结果保留整数)
2.假如现在只有36 m的篱笆可用，怎样设计才能使得矩形花圃的面积最大
1.某养鸭户需要在河边用围栏围起一个面积为200 m2的矩形鸭子活动场地，面向河的一边敞开不需要围栏，则围栏总长最小需要(　　).
A.20 m
B.40 m
C.60 m
D.80 m
2.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站(　　).
A.5千米处
B.4千米处
C.3千米处
D.2千米处
3.若在如图所示的锐角三角形空地中，建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.
4.甲工厂承担了某种产品的生产，当以x千克/时的速度匀速生产时(为保证质量，要求1≤x≤10)，每小时消耗A材料(kx2+9)千克，已知当每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克.如果消耗A材料的总重量为y千克，那么要使生产1 000千克该产品消耗A材料最少，工厂应选取何种生产速度 此时消耗A材料多少千克
【合作探究】
探究1　利用基本不等式解决几何的实际问题
问题：将一根铁丝切割成三段，做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架.甲、乙、丙、丁四种铁丝的长度分别为6.5 m，6.9 m，7 m，7.2 m，选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝是哪种 为什么
　　利用基本不等式解决实际问题的步骤
解决实际问题时，首先要审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，最后运用基本不等式解决问题.
例1　如图，某大学要修建一个面积为216 m2的长方形景观水池，并且在景观水池的四周要修建出宽为2 m和3 m的小路，则总占地面积的最小值为(　　).
A.321 m2
B.384 m2
C.392 m2
D.420 m2
【方法总结】利用基本不等式解决实际问题时，一般先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件.
某镇计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大 最大种植面积是多少
探究2　生活中的最优化问题
　　某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总存储费用为4x万元.
问题1：如何求一年的总运费与总存储费用之和的最小值
问题2：利用基本不等式解决实际问题要注意什么
　　在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在自变量的取值范围内，求出函数的最大值或最小值；
(4)根据实际背景写出答案.
例2　某种生产设备购买时的费用为10万元，每年的设备管理费共计0.9万元，这种生产设备使用x年的维修费为z=0.1x2+0.1x(单位：万元).这种生产设备最多使用多少年报废最合算(使用多少年的年平均费用最少)
【方法总结】对于应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要结合题意下结论(作答).使用基本不等式求最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数的图象求解.
某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房.经测算，若将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为(560+48x)元.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层 注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=
【随堂检测】
1.某公司购买了一批机器并投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s(单位：万元)与机器运转时间t(单位：年，t∈N*)的关系为s=-t2+22t-64，若要使年平均利润最大，则每台机器运转的时间t为(　　).
A.10
B.11
C.7
D.8
2.一批货物随17列火车从A市以v千米/时的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列火车的间距不得小于千米，若这批货物全部运到B市，则最快需要________小时.
3.某校为了美化校园环境，计划在学校空地建设一个面积为24 m2的长方形草坪，如图所示，草坪中间设计一个矩形区域ABCD种植花卉，矩形ABCD上、下各留1 m，左、右各留1.5 m的空间种植草.设草坪的长度为x(单位：m)，宽度为y(单位：m)，矩形ABCD的面积为S(单位：m2).
(1)试用x，y表示S；
(2)求S的最大值，并求出此时x，y的值.
参考答案
1.3.2 课时3 基本不等式的实际应用
自主预习·悟新知
预学忆思
1.圆形花圃：设圆形花圃的半径为r m，周长为C m，面积为S圆 m2，则S圆=πr2=100，解得r=，∴C=2πr=20，故花费为20×12≈425(元).
矩形花圃：设相邻两边为x m，y m，则S矩形=xy=100，∴C=2(x+y)≥4=40，故当x=y=10时花费最少，最少为400元.
故矩形花圃最省钱.
2.设矩形相邻两边为x m，y m，
由C=2(x+y)=36，得x+y=18.
∵x+y≥2，
∴18≥2，∴S=xy≤81，
当且仅当x=y=9时，面积有最大值，最大值为81 m2.
自学检测
1.B　【解析】设此矩形面向河的一边的边长为x m，相邻的一边的边长为y m，则xy=200(x>0，y>0).
设围栏总长为l m，
则l=x+2y≥2=40，当且仅当x=2y时，取等号，
此时x=20，y=10，则围栏总长最小需要40 m.
2.A　【解析】设y1=，y2=k2x(x为仓库到车站的距离，x>0)，由题意得2=，8=10k2，得k1=20，k2=0.8，所以y1=，y2=0.8x.
费用之和y=y1+y2=+0.8x≥2=8，
当且仅当=0.8x，即x=5时，等号成立.
3.20　【解析】设矩形花园的宽为y m(04.【解析】由题意，得k+9=10，即k=1，生产1 000千克该产品需要的时间是小时，
所以生产1 000千克该产品需消耗的A材料的重量为y=(x2+9)=1 000x+≥1 000×2=6 000，当且仅当x=，即x=3时，等号成立，且1<3<10.
故工厂应选取3千克/时的生产速度，此时消耗的A材料最少，最少为6 000千克.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题：选用最合理的铁丝是乙.设两直角边分别为a m，b m，框架的周长为l m，则ab=2，∴ab=4，故l=a+b+≥2+=4+2≈6.828(当且仅当a=b时，取等号)，
所以乙够用且浪费最少.
新知运用
例1　B　【解析】设水池的宽为x m，则长为 m，
则总占地面积y=(x+4)=240+6x+≥240+2=240+144=384，
当且仅当6x=，即x=12时取等号，
故总占地面积的最小值为384 m2.
巩固训练　【解析】设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，蔬菜的种植面积为S m2，则ab=800，
所以S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b)≤808-4=648，
当且仅当a=2b，即a=40，b=20时，等号成立，则Smax=648.
故当矩形温室的左侧边长为40 m，后侧边长为20 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648 m2.
探究2　情境设置
问题1：由题意知，一年的总运费为·9=万元，
∴一年的总运费与总存储费用之和为万元，
又4x+≥2=360，当且仅当4x=，即x=45时，等号成立，
∴当x=45时，一年的总费用与总存储费用之和最小，最小值为360万元.
问题2：利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解.
新知运用
例2　【解析】设使用x年的年平均费用为y万元.由题意得y=，即y=1++(x∈N*).
由基本不等式知y≥1+2=3，当且仅当=，即x=10时取等号.
因此，使用10年报废最合算，其年平均费用为3万元.
巩固训练　【解析】由题意知，每平方米的平均购地费用为=，
∴每平方米的平均综合费用y=560+48x+=560+48.
当x+取最小值时，y取得最小值.
∵x≥10，∴x+≥2=30，
当且仅当x=，即x=15时，等号成立，
∴当x=15时，y取得最小值，最小值为2 000元，
即该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少.
随堂检测·精评价
1.D　【解析】因为每台机器生产的产品可获得的总利润s(单位：万元)与机器运转时间t(单位：年)的关系为s=-t2+22t-64，
所以年平均利润y==-t-+22=-t++22≤-2+22=6，
当且仅当t=8时，等号成立，
所以当每台机器运转8年时，获得的年平均利润最大.
故选D.
2.8　【解析】设这批货物从A市全部运到B市的时间为t小时，
则t==+≥2=8，
当且仅当=，即v=100时，等号成立，
所以这批货物全部运到B市，最快需要8小时.
3.【解析】(1)由题意可得，矩形ABCD的长为(x-3)m，宽为(y-2)m，故S=(x-3)(y-2)，x>3，y>2.
(2)∵xy=24，∴S=(x-3)(y-2)=xy-2x-3y+6≤xy-2+6=6(当且仅当2x=3y，且xy=24，即x=6，y=4时取等号).故S的最大值为6 m2，此时x=6，y=4.1.3.2 课时2 基本不等式的概念及其应用(二)
【学习目标】
1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.(数据分析)
2.会用基本不等式解决条件最值问题.(数学运算)
3.能运用基本不等式求解含参问题.(逻辑推理)
【自主预习】
1.基本不等式中的a，b只能是具体的某个数吗
2.x+的最小值是2吗
3.利用基本不等式求最值的常用不等式有哪些
1.已知实数x，y满足x>0，y>0，且+=1，则x+2y的最小值为(　　).
A.2
B.4
C.6
D.8
2.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=________.
3.设x>0，y>0，且2x+8y=xy，求x+y的最小值.
【合作探究】
探究1　利用基本不等式比较大小
问题1：式子≥(-3)×(-4)及≥都成立吗 说明了什么
问题2：对于任意实数a，b，都有≤成立吗
常见的基本不等式的变形
(1)x+≥2(x>0)，x+≤-2(x<0)；
(2)+≥2(a，b同号)，+≤-2(a，b异号)；
(3)a+b≥2(a，b≥0)，≥ab；
(4)ab≤，≤，当且仅当a=b时取等号.
例1　已知m=a+(a>2)，n=4-b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是(　　).
A.m>n
B.mC.m=n
D.不确定
【方法总结】利用基本不等式比较实数大小的注意事项
(1)利用基本不等式比较大小时，要注意观察式子的形式(和与积)，同时要注意结合函数的性质进行判断.
(2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0.
已知实数a，b，c满足a>b>c且a+b+c=0，abc>0，则++的值(　　).
A.一定是正数
B.一定是负数
C.可能是0
D.正负不确定
探究2　利用基本不等式求条件最值
已知正数x，y满足+=1.
问题1：能直接利用“1”的代换求x+y的最小值吗 为什么
问题2：怎样变形才能利用“1”的代换求最值
问题3：你能根据问题2中的方法，求x+y的最小值吗
1.利用基本不等式，通过恒等变形，使得“和”或“积”为定值，从而求得函数的最大值或最小值.这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.
2.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.
例2　已知x>0，y>0，且+=1，求x+y的最小值.
【变式探究】本例条件变为“x>0，y>0，x+y=1”，试求+的最小值.
【方法总结】
1.用常值代换法求解条件最值问题的步骤：
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值.
2.若常值代换法不适用于求条件最值，则对条件变形，直接使用基本不等式，建立以目标函数为整体的不等式，解不等式可得最值.
已知m>0，n>0，且2m+n=2，则+的最小值是________.
【随堂检测】
1.已知a>0，b>0，且2a+=1，则+b的最小值为(　　).
A.2
B.3
C.8
D.9
2.(多选题)已知a>0，b>0，a+b=2，则对于+，下列说法正确的是(　　).
A.取最值时，a=
B.最大值是5
C.取最值时，b=
D.最小值是
3.已知正数a，b满足a+2b=3，则+的最小值为(　　).
A.
B.
C.2
D.3
4.已知a>b>c，则与的大小关系是________.
参考答案
1.3.2 课时2 基本不等式的概念及其应用(二)
自主预习·悟新知
预学忆思
1.a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式.
2.当x>0时，x+的最小值是2；当x<0时，x+没有最小值.
3.(1)若a+b为定值，则ab≤2；
(2)若a，b为正且ab为定值，则a+b≥2.
等号成立的条件均是a=b.
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大.
自学检测
1.D　【解析】∵x>0，y>0，且+=1，
∴x+2y=(x+2y)+=4++≥4+2=8，当且仅当=，+=1，即x=4，y=2时，等号成立，故x+2y的最小值为8.
2.20　【解析】总运费与总存储费用之和y=4x+·4=4x+≥2=160，
当且仅当4x=，即x=20时取等号.
3.【解析】(法一)由2x+8y-xy=0，得y(x-8)=2x.
∵x>0，y>0，∴x-8>0，y=，
∴x+y=x+=x+=(x-8)++10≥2+10=18，
当且仅当x-8=，即x=12时，等号成立，∴x+y的最小值是18.
(法二)由2x+8y=xy及x>0，y>0，得+=1，
∴x+y=(x+y)=++10≥2+10=18，当且仅当=，
即x=2y=12时，等号成立，∴x+y的最小值是18.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：前者成立，后者不成立，说明了≥ab与≥成立的条件不同.
问题2：不一定，当a，b都为正数时，不等式才成立.
新知运用
例1　A　【解析】因为a>2，所以a-2>0，所以m=a+=(a-2)++2≥2+2=4，当且仅当a=3时取等号.由b≠0，得b2>0，所以n=4-b2<4.综上可知m>n.
巩固训练　B　【解析】因为a>b>c且a+b+c=0，abc>0，
所以a>0，b<0，c<0，且a=-(b+c)，所以++=-++.
因为b<0，c<0，所以b+c≤-2，当且仅当b=c时，等号成立，所以-≤.
又+≤-2，当且仅当b=c时，等号成立，
所以-++≤-2=-<0，即++<0.
探究2　情境设置
问题1：不能，因为相乘后，不能利用基本不等式求最值.
问题2：已知条件无法变换，把x+y变形，即x+y=x+(y+1)-1，再利用“1”的代换求最值.
问题3：因为x>0，y>0，+=1，
所以x+y=x+(y+1)-1=[x+(y+1)]+-1=1+4++-1≥4+2=8，
当且仅当=，即x=3，y=5时，等号成立，所以x+y的最小值为8.
新知运用
例2　【解析】∵x>0，y>0，+=1，∴x+y=+(x+y)=++10≥2+10=16，当且仅当=，+=1，即x=4，y=12时，等号成立，∴x+y的最小值为16.
变式探究　【解析】+=(x+y)+=10++≥10+2=16，当且仅当=，即x=，y=时，等号成立，∴+的最小值为16.
巩固训练　9　【解析】因为m>0，n>0，且2m+n=2，
所以+=(2m+n)
=≥=9，
当且仅当=且2m+n=2，即m=，n=时取等号，
所以+的最小值为9.
随堂检测·精评价
1.D　【解析】+b=+b·2a+=5++2ab≥5+2=9，
当且仅当即时，等号成立，所以+b的最小值为9.
2.AD　【解析】因为a+b=2，所以+=+=+++2≥+2=，当且仅当=，且a+b=2，即a=，b=时，等号成立.
3.B　【解析】由a+2b=3，得(a+1)+2b=4，
于是+=+·=1+4++≥5+2=，
当且仅当=，即a=，b=时，等号成立，
所以+的最小值为.
故选B.
4.≤　【解析】因为a>b>c，所以a-b>0，b-c>0，
所以=≥，当且仅当a-b=b-c时，等号成立.1.3.2 课时1 基本不等式的概念及其应用(一)
【学习目标】
1.理解基本不等式的内容及几何解释.(逻辑推理)
2.能熟练运用基本不等式求解最值问题.(数学运算)
3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.(逻辑推理)
【自主预习】
　　如图1所示，这是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.将图1的“风车”抽象成图2，根据上节的内容我们可得出a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.
阅读教材，结合上述情境回答下列问题：
1.若用，分别代替材料中的a，b，可得出什么结论
2.问题1的结论中，“=”何时成立
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于任意a，b∈R，a2+b2≥2ab. (　　)
(2)当n∈N*时，n+>2. (　　)
(3)当x≠0时，x+≥2. (　　)
(4)若a≠0，则2a2+的最小值为2. (　　)
2.已知a≠0，则下列不等式正确的是(　　).
A.a+≥2
B.(-a)+-≤-2
C.a2+≥2
D.(-a)2+-2≤-2
3.不等式x-2y+≥2成立的前提条件为________.
4.已知a，b，c都是正数，求证：a+b+c---≥0.
【合作探究】
探究1　基本不等式的概念
如图，AB是半圆O的直径，Q是AB上任意一点，AQ=a，BQ=b，过点Q作AB的垂线，交半圆O于点P，连接AP，PB.
问题1：如何用a，b表示PO，PQ的长度
问题2：比较PO，PQ的长度，能得出什么结论
1.重要不等式
x，y∈R，有≥________，当且仅当________时，等号成立.
2.基本不等式
如果a≥0，b≥0，那么用，分别代替上式中的x，y，可得≤，当且仅当________时，等号成立.通常称不等式≤为基本不等式(又称均值不等式)，其中叫作a，b的算术平均值，叫作a，b的几何平均值.
3.变形
ab≤，a+b≥2，其中a≥0，b≥0，当且仅当a=b时，等号成立.
特别提醒：①基本不等式成立的条件为a≥0，b≥0，当且仅当a=b时取等号.若a≥0，b≥0，且a≠b，则≠，即只能有<.
②利用基本不等式解题时，若分母中含有变量，则分母不能为0.
例1　给出下面三个推导过程：①因为a>0，b>0，所以+≥2=2；②因为a∈R，且a≠0，所以+a≥2=4；③因为x，y∈R，xy<0，所以+=--+≤-2=-2.
其中正确的推导过程为(　　).
A.①②
B.②③
C.②
D.①③
【方法总结】a2+b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取等号”这句话的含义要有正确的理解.一方面，当a=b时，=；另一方面，当=时，也有a=b.
在不等式a+1≥2(a>0)中，等号成立的条件是(　　).
A.a=0
B.a=
C.a=1
D.a=2
已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是(　　).
A.a2+b2>2ab
B.a+b≥2
C.+>
D.+≥2
探究2　运用基本不等式求最值
问题1：当两个正数a，b的和a+b为定值时，ab有最小值还是最大值 最值是多少
问题2：当两个正数a，b的乘积ab为定值时，a+b有最小值还是最大值 最值是多少
　　已知x，y都是正数.
(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x=y时，和x+y取得最小值2；
(2)如果和x+y等于定值S，那么当且仅当x=y时，积xy取得最大值S2.
利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则：
(1)一正：符合基本不等式≥成立的前提条件(a>0，b>0).
(2)二定：化不等式的一边为定值.
(3)三相等：必须存在取“=”的条件，即“=”成立.
以上三点缺一不可.
一、利用基本不等式求最值
例2　(1)已知0(2)已知x>2，则x+的最小值为________.
【方法总结】若是求和的最小值，通常化积为定值；若是求积的最大值，通常化和为定值.其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式.
二、利用基本不等式证明
例3　已知a，b，c为正数，且满足abc=1.证明：++≤a2+b2+c2.
【方法总结】利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否同时成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
③对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，构成基本不等式模型再使用.
(1)已知x>0，y>0，则+的最小值为(　　).
A.15
B.12
C.8
D.6
(2)若0(1)已知m>0，n>0，且m+n=16，求mn的最大值.
(2)已知a，b，c为正数，且a+b+c=1，证明：++≥9.
【随堂检测】
1.不等式+(x-2)≥6(x>2)中等号成立的条件是(　　).
A.x=3
B.x=-3
C.x=5
D.x=-5
2.若0A.b>>a>
B.b>>>a
C.b>>>a
D.b>a>>
3.若把36写成两个正数的积，则这两个正数的和的最小值为________.
4.已知a，b为正实数，且a+b=1.求证：+≥4.
参考答案
1.3.2 课时1 基本不等式的概念及其应用(一)
自主预习·悟新知
预学忆思
1.a+b≥2.
2.当且仅当a=b时，“=”成立.
自学检测
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2.C　【解析】当a<0时，a+<0，(-a)+->0，故A，B错误.
当a≠0时，由基本不等式的性质可得a2+≥2，(-a)2+-2≥2，故C正确，D错误.
3.x>2y　【解析】因为基本不等式成立的前提条件是各项均为正，
所以x-2y>0，即x>2y.
4.【解析】∵a，b，c都是正数，∴a+b≥2，b+c≥2，a+c≥2，
∴a+b+b+c+a+c≥2(++)，∴a+b+c≥++，
即a+b+c---≥0，当且仅当a=b=c时，等号成立.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：PO==.易证Rt△APQ∽Rt△PBQ，则PQ2=AQ·QB，即PQ=.
问题2：PO的长度大于或等于PQ的长度，通过两者的关系可以得出≤.
新知生成
1.xy　x=y
2.a=b
新知运用
例1　D　【解析】因为a，b∈(0，+∞)，所以>0，>0，符合基本不等式成立的条件，故①正确；因为a∈R，且a≠0不符合基本不等式成立的条件，所以+a≥2=4是不成立的，故②错误；由xy<0，得，均为负数，但在推导过程中将+看成一个整体提出负号后，-，-均变为正数，符合基本不等式成立的条件，故③正确.故选D.
巩固训练1　C　【解析】∵a+1-2=(-1)2≥0(a>0)，∴当=1，即a=1时，等号成立.
巩固训练2　D　【解析】对于A，当a=b时，a2+b2=2ab，故A错误；
对于B，C，ab>0只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；
对于D，因为ab>0，所以>0，>0，所以+≥2，当且仅当a=b时，取等号，即+≥2恒成立，故D正确.故选D.
探究2　情境设置
问题1：ab有最大值，当a=b时，ab取得最大值，最大值是.
问题2：a+b有最小值，当a=b时，a+b取得最小值，最小值是2.
新知运用
例2　(1)　(2)6　【解析】(1)∵00，∴x(4-3x)=×3x·(4-3x)≤2=，
当且仅当3x=4-3x，即x=时等号成立，故x=.
(2)∵x>2，∴x-2>0，∴x+=(x-2)++2≥2+2=6，
当且仅当x-2=，即x=4时等号成立.
例3　【解析】因为a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ac，abc=1，所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca==++，当且仅当a=b=c=1时，等号成立，
所以++≤a2+b2+c2.
巩固训练1　(1)B　(2)1　【解析】(1)由基本不等式可知 +≥2=12，
当且仅当=，即y=2x时，等号成立.
故+的最小值为12.
(2)当00，
则≤=1，
当且仅当2-a=a，即a=1时，等号成立.
故的最大值为1.
巩固训练2　【解析】(1)∵m>0，n>0且m+n=16，
∴由基本不等式可得mn≤2=2=64，
当且仅当m=n=8时，等号成立，此时mn取得最大值64.
(2)++=++=3+++
≥3+2+2+2=3+2+2+2=9.
当且仅当a=b=c=时，等号成立.
随堂检测·精评价
1.C　【解析】由基本不等式知等号成立的条件为=x-2，即x=5.
2.C　【解析】∵0a+b，ab>a2，∴b>>，>a.
故b>>>a.
3.12　【解析】设这两个正数分别为a，b，则ab=36.
∵≥，∴a+b≥12，当且仅当a=b=6时，等号成立.
故这两个正数的和的最小值为12.
4.【解析】∵a，b为正实数，且a+b=1，
∴+=+=1+++1=2++≥2+2=4，
当且仅当a=b=时，等号成立.

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