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1.4.2 课时1 一元二次不等式及其解法(一)
【学习目标】
1.理解一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数的关系，了解函数的零点与方程的根的关系.(数学抽象)
2.掌握用图象法解一元二次不等式.(直观想象)
3.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.(数学运算)
【自主预习】
1.不等式x2+>0是一元二次不等式吗
2.在一元二次不等式的一般形式中，“a≠0”可以省略吗
3.若二次函数y=x2-4的函数值大于零，如何求解 x的取值范围
4.一元二次函数与一元二次方程的解、一元二次不等式的解集有什么对应关系
1.不等式x2+2x-3>0的解集是(　　).
A.{x|x<-3或x>1}
B.{x|x<-1或x>3}
C.{x|-1D.{x|-32.不等式4x2-9<0的解集是________.
3.不等式x(2-x)>3的解集是________.
4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c>0的解集是________.
【合作探究】
探究1　一元二次不等式的有关概念
　　观察下列不等式：
(1)x2>0；(2)-x2-2x≤0；(3)x2-5x+6>0.
问题1：以上给出的3个不等式，它们含有几个未知数 未知数的最高次数是多少
问题2：上述三个不等式在表达形式上有何共同特点
1.一元二次不等式
我们把只含有________未知数，并且未知数的________的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0，或ax2+bx+c<0，或ax2+bx+c≥0，或ax2+bx+c≤0，其中a，b，c均为常数，且a≠0.
2.一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的________，叫作这个一元二次不等式的________，其解的________，称为这个一元二次不等式的________.
例1　给出下列关于x的不等式：①x2>0；②-x2-x≤5；③ax2>2；④x3+5x-6>0；⑤mx2-5y<0；⑥ax2+bx+c>0.其中一定是一元二次不等式的有(　　).
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
【方法总结】判断一个不等式是否为一元二次不等式，应严格按照定义去判断，即未知数只有1个，未知数的最高次数是2，且最高次项的系数不能为0.
给出下列关于x的不等式：
①3x+4<0；②x2+mx-1>0；
③ax2+4x-7>0；④x2<0.
其中一定为一元二次不等式的有(　　).
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
探究2　一元二次不等式的解法
　　已知一元二次函数y=x2-2x，一元二次方程x2-2x=0，一元二次不等式x2-2x>0.
问题1：试求情境中二次函数的图象与x轴的交点的坐标.
问题2：情境中一元二次方程的根是什么
问题3：问题1中点的坐标与问题2中的根有何内在联系
问题4：根据上述问题和函数图象，你能得到情境中一元二次不等式的解集吗
　　二次函数的图象与一元二次方程的根、不等式的解集的对应关系
Δ>0 Δ=0 Δ<0
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
ax2+bx+c>0(a>0)的解集 ________ R
ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1例2　解下列不等式：
(1)2x2-3x-2>0；
(2)-3x2+6x-2>0；
(3)x2-2x+2>0.
【方法总结】解一元二次不等式的一般步骤
(1)将不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的根的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实数根；
(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集.
解下列不等式：
(1)4x2-4x+1>0；
(2)-x2+6x-10>0.
探究3　解含参数的一元二次不等式
问题1：一元二次不等式的解集要写成什么形式
问题2：解不等式-x2+3x-2<0，第一步需要干什么 解不等式ax2+3x-2<0呢
　　解含参数的一元二次不等式的步骤：第一步，先处理二次项系数；第二步，通过分解因式或求根的判别式来确定一元二次方程有没有根；第三步，若有根，比较根的大小，写出解集，若无根，结合图象确定解集是R还是 .
在此过程中，当参数的存在导致二次函数的开口方向、判别式的正负以及两根的大小关系不确定时，需对参数分类讨论.
例3　解关于x的不等式：x2-ax-2a2<0(a∈R).
【方法总结】解含参数的一元二次不等式的注意事项
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数的正负进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则需对判别式Δ进行讨论；
(3)若求出的根中含有参数，则需对两根的大小进行讨论.
设a∈R，解关于x的不等式：ax2+(1-2a)x-2>0.
已知关于x的不等式ax2+5x+c>0的解集为.
(1)求a，c的值；
(2)解关于x的不等式：ax2+(ac+2)x+2c≥0.
【随堂检测】
1.不等式x2-2x>0的解集是(　　).
A.{x|x≥2或x≤0}
B.{x|x>2或x<0}
C.{x|0≤x≤2}
D.{x|02.已知不等式ax2-bx-1≥0 的解集是x-≤x≤-，则不等式x2-bx-a<0 的解集是(　　).
A.{x|2B.{x|x<2或x>3}
C.xD.xx<或x>
3.若方程x2+(m-3)x+m=0有实数解，则m的取值范围是________.
4.解关于x的不等式x2+(1-a)x-a<0.
参考答案
1.4.2 课时1 一元二次不等式及其解法(一)
自主预习·悟新知
预学忆思
1.不是，一元二次不等式一定为整式不等式.
2.不可以，若a=0，则不等式不是二次不等式.
3.结合二次函数的图象求解，可得x的取值范围为x<-2或 x>2.
4.可以借助二次函数的图象进行分析，二次函数的图象与 x轴的交点的横坐标就是相应一元二次方程的实数根，二次函数图象与x轴的相关位置可确定一元二次不等式的解集.
自学检测
1.A　【解析】由x2+2x-3>0，得(x-1)(x+3)>0，解得x<-3或x>1，
所以原不等式的解集为{x|x<-3或x>1}.故选A.
2.　【解析】原不等式可化为x2<，解得-3. 　【解析】将不等式化为x2-2x+3<0，因为对应方程的根的判别式Δ<0，所以不等式x(2-x)>3的解集为 .
4.(-1，2)　【解析】由题图可知，不等式ax2+bx+c>0的解集是(-1，2).
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：它们只含有一个未知数，未知数的最高次数都是2.
问题2：形如ax2+bx+c>0，或ax2+bx+c<0，或ax2+bx+c≥0，或ax2+bx+c≤0，其中a，b，c为常数，且a≠0.
新知生成
1.一个　最高次数是2
2.x的值　解　集合　解集
新知运用
例1　D　【解析】根据一元二次不等式的定义知只有①②符合.
巩固训练　B　【解析】②④一定是一元二次不等式.
探究2　情境设置
问题1：(0，0)，(2，0).
问题2：x1=0，x2=2.
问题3：函数图象与x轴的交点的横坐标为方程的根.
问题4：能，解集为{x|x<0或x>2}.
新知生成
{x|xx2}
新知运用
例2　【解析】(1)对于方程2x2-3x-2=0，因为Δ>0，所以它有两个不相等的实数根，解得x1=-，x2=2.
又因为函数y=2x2-3x-2的图象是开口向上的抛物线，
所以原不等式的解集是xx<-或x>2.
(2)不等式可化为3x2-6x+2<0，
对于方程3x2-6x+2=0，因为Δ>0，所以它有两个不相等的实数根，解得x1=1-，x2=1+.
又因为函数y=3x2-6x+2的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是x1-(3)因为方程x2-2x+2=0的判别式Δ<0，所以方程x2-2x+2=0无实数根.
又因为函数y=x2-2x+2的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集为R.
巩固训练　【解析】
(1)方程4x2-4x+1=0有两个相等的实数根x1=x2=.作出函数y=4x2-4x+1的图象，如图，由图可得原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为x2-6x+10<0，
∵Δ=36-40=-4<0，
∴方程x2-6x+10=0无实数根，
∴原不等式的解集为 .
探究3　情境设置
问题1：一元二次不等式的解集一定要写成集合的形式.
问题2：解不等式-x2+3x-2<0，第一步先把二次项系数化为正数，得x2-3x+2>0.
解不等式ax2+3x-2<0，由于不知道a的正负，故需要分a>0，a=0，a<0这三种情况进行讨论.
新知运用
例3　【解析】原不等式转化为(x-2a)(x+a)<0，对应的一元二次方程的根为x1=2a，x2=-a.
①当2a>-a，即a>0时，原不等式的解集为{x|-a②当2a=-a，即a=0时，原不等式化为x2<0，无解；
③当2a<-a，即a<0时，原不等式的解集为{x|2a综上所述，当a>0时，原不等式的解集为{x|-a巩固训练1　【解析】(1)当a=0时，原不等式可化为x-2>0，解得x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}.
(2)当a≠0时，方程ax2+(1-2a)x-2=0的两根分别为2和-.
①当a<-时，解不等式得-②当a=-时，不等式无解，即原不等式的解集为 ；
③当-④当a>0时，解不等式得x<-或x>2，即原不等式的解集为.
巩固训练2　【解析】(1)由题意知，不等式对应的方程ax2+5x+c=0的两个实数根分别为和，
由根与系数的关系得 解得
(2)由a=-6，c=-1知，不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0可化为-6x2+8x-2≥0，即3x2-4x+1≤0，解得≤x≤1，所以原不等式的解集为.
随堂检测·精评价
1.B　【解析】x2-2x>0，即x(x-2)>0，
解得x>2或x<0，故选B.
2.A　【解析】∵不等式ax2-bx-1≥0 的解集是x-≤x≤-，
∴a<0，方程ax2-bx-1=0 的两个根分别为-，-，
∴-=--，=，
∴a=-6，b=5，
则要解的不等式为x2-5x+6<0，
∴(x-2)(x-3)<0，
解得2∴所求不等式的解集为{x|2故选A.
3.{m|m≥9或m≤1}　【解析】由方程x2+(m-3)x+m=0有实数解，得Δ=(m-3)2-4m≥0，即m2-10m+9≥0，
∴(m-9)(m-1)≥0，解得m≥9或m≤1.
4.【解析】方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1，x2=a，函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上.
当a<-1时，原不等式的解集为{x|a当a=-1时，原不等式的解集为 ；
当a>-1时，原不等式的解集为{x|-1【学习目标】
1.了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.(逻辑推理)
2.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.(数学运算)
3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.(逻辑推理)
【自主预习】
　　上一课时我们共同学习了一元二次不等式的解法，并能解简单的一元二次不等式.一元二次不等式是一种重要的数学工具，是集合、函数、不等式等知识的综合交汇点.
已知一元二次函数y=x2-2x，一元二次不等式x2-2x>0.
1.观察一元二次函数的图象，当x满足什么条件时，图象在x轴的上方
2.能否利用上一问得出不等式x2-2x>0，x2-2x<0的解集
3.根据给出的一元二次不等式，你能否解出不等式<0和≥0
1.已知集合A=，B={0，1，2，3，4，5}，则(RA)∩B=(　　).
A.{5}
B.{4，5}
C.{2，3，4}
D.{0，1，2，3}
2.不等式≤0的解集为(　　).
A.[-1，2]
B.[-2，1]
C.[-2，1)∪(1，3]
D.[-1，1)∪(1，2]
3.若不等式ax2+ax+3≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________.
4.已知函数y=x2+mx+4.
(1)若m=-3，求函数在区间[-1，2]上的最大值；
(2)当x∈[1，2]时，y≥0恒成立，求实数m的最小值.
【合作探究】
探究1　分式不等式的解法
问题1：已知函数y=x2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标是2，3，则不等式x2+bx+c≥0的解集是什么
问题2：>0与(x-3)(x+2)>0等价吗 将>0变形为(x-3)(x+2)>0，有什么好处
1.解分式不等式时，要注意先移项，使不等号的右边化为零，要注意含等号的分式不等式的分母不为零.
2.分式不等式的4种形式及解题思路
令y1=a1x+b1，y2=a2x+b2.
(1)>0 y1y2>0；
(2)<0 y1y2<0；
(3)≥0 y1y2≥0且y2≠0 y1y2>0或y1=0；
(4)≤0 y1y2≤0且y2≠0 y1y2<0或y1=0.
3.不等式与不等式组的等价关系
(1)y1y2≥0 或
(2)y1y2≤0 或
(3)y1y2>0 或
(4)y1y2<0 或
例1　解下列不等式：
(1)<0；(2)≤1.
【方法总结】
1.比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零.
2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的不等式，再用上述方法求解.
解下列不等式：
(1)≥0；(2)<3.
探究2　不等式恒成立问题
问题1：一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R，则二次函数y=ax2+bx+c的图象是怎样的
问题2：若一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集为R，则a，b，c应满足什么关系
　　一般地，“不等式ax2+bx+c>0在{x|x1≤x≤x2}上恒成立”的几何意义是函数y=ax2+bx+c在{x|x1≤x≤x2}上的图象全部在x轴________方.{x|x1≤x≤x2}是不等式ax2+bx+c>0的解集的________.
令y=ax2+bx+c，恒成立的不等式问题通常转化为函数的最值问题，即
k≥y恒成立 k≥________；
k≤y恒成立 k≤________.
例2　对于一切实数x，mx2-mx-1<0恒成立，求m的取值范围.
【方法总结】含参数的二次函数在给定范围内的函数值恒大(小)于或等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解，也可以分离变量，转化为二次函数的最值问题求解.
已知不等式x2+2x+a2-3>0的解集为R，求a的取值范围.
【随堂检测】
1.不等式≥0的解集为(　　).
A.{x|-1B.{x|-1≤x<1}
C.{x|-1≤x≤1}
D.{x|-12.若集合A={x|-1≤2x+1≤3}，B=，则A∩B等于(　　).
A.{x|-1≤x<0}
B.{x|0C.{x|0≤x<2}
D.{x|0≤x≤1}
3.若ax2+2x+2>0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围为________.
4.若不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R，则实数a的取值范围是________.
参考答案
1.4.2 课时2 一元二次不等式及其解法(二)
自主预习·悟新知
预学忆思
1.x>2或x<0.
2.能，不等式的解集分别为{x|x>2或x<0}，{x|03.能，<0 x(x-2)<0 02.
自学检测
1.B　【解析】因为A==(-2，4)，所以RA={x|x≤-2或x≥4}.
所以(RA)∩B={4，5}，故选 B.
2.D　【解析】由≤0可得，≤0，
∴解得-1≤x≤2且x≠1，故原不等式的解集为[-1，1)∪(1，2].
故选 D.
3.{a|0≤a≤12}　【解析】当a=0时，不等式为3≥0，满足题意；
当a≠0时，需满足解得0综上可得，实数a的取值范围为{a|0≤a≤12}.
4.【解析】(1)当m=-3时，函数y=x2-3x+4的图象开口向上，对称轴为直线x=，区间[-1，2]的中心为x==<，故当x=-1时，函数取得最大值，最大值为(-1)2-3×(-1)+4=8.
(2)当x∈[1，2]时，y≥0恒成立，所以得所以实数m的取值范围是m≥-4，故m的最小值是-4.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：不等式x2+bx+c≥0的解集是{x|x≤2或x≥3}.
问题2：等价，好处是将不熟悉的分式不等式化为已经熟悉的一元二次不等式.
新知运用
例1　【解析】(1)<0 (2x-5)(x+4)<0 -4∴原不等式的解集为.
(2)∵≤1，∴-1≤0，
∴≤0，即≥0.
此不等式等价于(x-4)≥0且x-≠0，解得x<或x≥4，
∴原不等式的解集为.
巩固训练　【解析】(1)根据商的符号法则，不等式≥0可转化成不等式组解这个不等式组，可得x≤-1或x>3.
故原不等式的解集为{x|x≤-1或x>3}.
(2)不等式<3可改写为-3<0，即<0.
可将这个不等式转化成2(x-1)(x+1)<0，
解得-1所以原不等式的解集为{x|-1探究2　情境设置
问题1：二次函数y=ax2+bx+c的图象有两种情况，如图所示.
问题2：a<0且Δ=b2-4ac≤0.
新知生成
上　子集　ymax　ymin
新知运用
例2　【解析】已知mx2-mx-1<0恒成立，
若m=0，显然-1<0，满足题意；
若m≠0，则即-4综上，m的取值范围为-4巩固训练　【解析】(法一)∵不等式x2+2x+a2-3>0的解集为R，
∴函数y=x2+2x+a2-3的图象应在x轴上方，
∴Δ=4-4(a2-3)<0，
解得a>2或a<-2.
(法二)由x2+2x+a2-3>0，得a2>-x2-2x+3，
即a2>-(x+1)2+4，要使该不等式在R上恒成立，必须使a2大于-(x+1)2+4的最大值，即a2>4，故a>2或a<-2.
随堂检测·精评价
1.B　【解析】原不等式 ∴-1≤x<1.
2.B　【解析】由题意得A={x|-1≤x≤1}，B={x|03.，+∞　【解析】若a=0，显然2x+2>0不能对一切x∈R都成立，所以a≠0，此时只有二次函数y=ax2+2x+2的图象与x轴无交点且开口向上时，才满足题意，则解得a>.
4.　【解析】①当a2-1=0时，a=1或a=-1.
若a=1，则原不等式为-1<0，恒成立，满足题意；
若a=-1，则原不等式为2x-1<0，即x<，不符合题意，舍去.
②当a2-1≠0，即a≠±1时，
原不等式的解集为R的充要条件是解得-综上，a的取值范围是.

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