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第1章 章末小结
【知识导图】
【题型突破】
集合间的基本关系
例1　(1)已知集合A={x|x=a2-4a+5，a∈R}，B={y|y=4b2+4b+3，b∈R}，则下列关系正确的是(　　).
A.A=B
B.B A
C.A B
D.A∩B=
(2)(2023年新高考全国Ⅱ卷)设集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2}，若A B，则a=(　　).
A.2
B.1
C.
D.-1
　处理集合间关系问题的关键点
解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析.同时还要注意空集这一特殊情况，尤其是集合中含有字母参数时，要分类讨论，讨论时要不重不漏.
集合的运算
例2　(1)(2023年全国乙卷)设集合U=R，集合M={x|x<1}，N={x|-1A.U(M∪N)
B.N∪UM
C.U(M∩N)
D.M∪UN
(2)(2023年全国甲卷)设全集U=Z，集合M={x|x=3k+1，k∈Z}，N={x|x=3k+2，k∈Z}，则U(M∪N)=(　　).
A.{x|x=3k，k∈Z}
B.{x|x=3k-1，k∈Z}
C.{x|x=3k-2，k∈Z}
D.
　集合有交、并、补这三种常见的运算，它是集合中的核心内容.在进行集合的运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而出错，此时，数轴(或Venn图)是个好帮手，能将复杂问题直观化.在具体应用时要注意检验端点值是否符合题意，以免增解或漏解.
充分条件、必要条件的判断
例3　(1)设x∈R，则“2-x≥0”是“-1≤x-1≤1”的(　　).
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)已知集合A={x|-4≤x≤4，x∈R}，B={x|x5”是“A B”的(　　).
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
　充分条件、必要条件常用的判断方法
(1)定义法：根据p q，q p进行判断.
(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
含有一个量词的命题的否定与命题的真假判断
例4　(1)下列命题中，真命题是(　　).
A.四边相等的四边形是正方形
B. x>3，x2>2x-1
C. x∈R，x2+x=-1
D.至少有一个整数n，使得n2+n为奇数
(2)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p： x∈A，2x∈B，则p的否定为(　　).
A. x∈A，2x B
B. x A，2x B
C. x A，2x∈B
D. x∈A，2x B
　1.全称量词命题与存在量词命题的否定：(1)改写量词，(2)否定结论.
2.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
不管是全称量词命题，还是存在量词命题，若其真假不容易正面判断时，则可先判断其否定的真假.
不等式的性质
例5　(1)(多选题)下列命题正确的有(　　).
A.若a>1，则<1
B.若a+c>b，则<
C.对任意实数a，都有a2≥a
D.若ac2>bc2，则a>b
(2)已知2　不等式的性质是本章内容的理论基础，是证明不等式和解不等式的重要依据，在应用不等式性质时要特别注意每个性质的使用条件，不要盲目乱用或错用.
利用基本不等式求最值
例6　(1)若a>0，b>0，则++b的最小值为________.
(2)已知a，b，c都是正数，且a+2b+c=1，则++的最小值是(　　).
A.3+2
B.3-2
C.6-4
D.6+4
　1.基本不等式：≥(a≥0，b≥0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现.
2.熟练掌握基本不等式的应用，可以提升学生的数学抽象和数学运算的核心素养.
一元二次不等式的解法及应用
例7　已知关于x的不等式<1.
(1)当a=1时，解该不等式；
(2)当a>0时，解该不等式.
　解一元二次不等式的关键是确定二次项系数的符号，把系数化为正数，利用相应方程的根表示不等式的解集，含参数的不等式要注意对参数进行分类讨论.对含参数不等式的恒成立问题，解决的关键便是转化与化归思想的运用，解决办法有判别式法、分离参数法、变更主元法等.
不等式恒成立问题
例8　当1≤x≤2时，不等式x2+mx+4<0恒成立，求实数m的取值范围.
　对于不等式恒成立求参数范围的问题，常用方法是分离参数法或利用不等式与二次函数的关系通过函数图象直观判断.
【拓展延伸】
一加一大于二
有一对父子在美国的休斯敦做铜器生意.为了能多赚点钱，父亲就经常教育儿子说：“我们的财富就是智慧，当别人说一加一等于二的时候，你就应该想到大于二.”一天，父亲问儿子：“你知道一磅铜的价格是多少钱吗 ”儿子回答说：“是35美分.”父亲说：“对，整个得州都知道每磅铜的价格是35美分，但作为商人的儿子，你应该说是3.5美元.你试着把一磅铜做成门把再卖出去看看.”由于老人经常用智慧启迪儿子，儿子不断变得聪明起来，所以在老人去世以后，儿子独自经营铜器生意中，他把铜加工成铜鼓，做成瑞士钟表上的簧片，做成奥运会的奖牌……总之，在他经营的铜器生意中，成交价统统超过铜在市场上的价格，且远远大于“1+1=2”的价钱.成交价最高时，使每磅铜的价格整整翻了1万倍.就是这么一个简单的“一加一大于二”的智慧启迪法，不仅使这位儿子变得聪明起来，更让他长久地富有起来.这种用“一加一大于二”的教育子孙后代的方式方法值得我们大家认真学习.
参考答案
第一章 章末小结
题型突破·知方法
例1　(1)B　(2)B　【解析】(1)A={x|x=(a-2)2+1，a∈R}，即A中的元素x≥1；B={y|y=(2b+1)2+2，b∈R}，即B中的元素y≥2.故B A.
(2)依题意，有a-2=0或2a-2=0.当a-2=0，即a=2时，A={0，-2}，B={1，0，2}，不满足A B；当2a-2=0，即a=1时，A={0，-1}，B={-1，0，1}，满足A B.所以a=1.
例2　(1)A　(2)A　【解析】(1)因为M∪N={x|x<2}，所以U(M∪N)={x|x≥2}.故选A.
(2)集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集.故选A.
例3　(1)B　(2)A　【解析】(1)由2-x≥0，得x≤2，由-1≤x-1≤1，得0≤x≤2，因为0≤x≤2 x≤2，x≤2 / 0≤x≤2，所以“2-x≥0”是“-1≤x-1≤1”的必要不充分条件.故选B.
(2)因为A B a>4，而a>5 a>4，且a>4 / a>5，所以“a>5”是“A B”的充分不必要条件.
例4　(1)B　(2)D　【解析】(1)对于选项A，菱形的四边相等，但不一定是正方形，所以此命题为假命题；
对于选项B，当x>3时，x2-2x+1=(x-1)2>0，所以此命题为真命题；
对于选项C， x∈R，x2+x+1=+>0，所以此命题为假命题；
对于选项D，任给整数n，n2+n=n(n+1)为偶数，所以此命题为假命题.故选B.
(2)命题p： x∈A，2x∈B的否定是“ x∈A，2x B”.
例5　(1)AD　【解析】(1)因为a>1，所以<1，故A正确；若a+c>b，令a=1，c=1，b=-1，则有>，故B错误；取a=，则a2bc2，所以c2>0，所以a>b，故D正确.
(2)因为-2因为-2因为2例6　(1)2　(2)D　【解析】(1)∵a>0，b>0，∴++b≥2+b=+b≥2，当且仅当=，且b=，即a=b=时取等号，∴++b的最小值为2.
(2)++=++(a+2b+c)=4++++++≥4+2+2+2=6+4，
当且仅当=，=，=，且a+2b+c=1，即a=c=1-，b=时，等号成立.
例7　【解析】(1)当a=1时，原不等式化为<1，即<0，
∴1(2)当a>0时，原不等式可化为<0，即(x-1)<0.
当=1，即a=2时，原不等式的解集为 ；
当>1，即0当<1，即a>2时，原不等式的解集为.
例8　【解析】令y=x2+mx+4.
∵y<0在1≤x≤2上恒成立，∴x2+mx+4=0的根一个小于1，另一个大于2.
结合二次函数图象(如图)，
得解得m<-5，
∴实数m的取值范围是{m|m<-5}.

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