资源简介

1.1 课时1 直线的方程、直线的倾斜角和斜率
【学习目标】
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.(直观想象)
2.掌握过两点的直线的斜率公式.(数学运算)
3.通过对直线的倾斜角和斜率的学习，培养学生数学抽象的核心素养.
【自主预习】
　　我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么经过一点P的直线l的位置能确定吗 如图，过一点P可以作无数条直线a，b，c，…，由此可见，答案是否定的.
阅读教材，结合上述情境回答下列问题：
1.a，b，c，…这些直线有什么联系呢 它们的倾斜程度相同吗
2.一个点和一个方向能确定一条直线吗
3.下图中标的倾斜角α对不对
4.刻画直线倾斜程度的量，除了倾斜角，还有其他的吗 坡度是斜率吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意一条直线都有倾斜角，都存在斜率. (　　)
(2)平分坐标轴直角的直线的斜率一定为1. (　　)
(3)若一条直线的倾斜角为α，则α∈R. (　　)
(4)直线斜率的取值范围是(-∞，+∞). (　　)
2.若直线l经过原点和(-1，1)，则它的倾斜角是(　　).
A.45°
B.135°
C.45°或135°
D.-45°
3.已知直线l经过原点和点(3，)，则直线l的斜率为(　　).
A.
B.
C.1
D.
4.已知坐标平面内△ABC的三个顶点的坐标分别是A(-1，1)，B(1，1)，C(1，-1)，求直线AB，BC，AC的斜率.
【合作探究】
探究1　直线的倾斜角
　　小明常在无聊的时候将笔放在手指上不停地转圈，他的同桌也学了起来，但手指头总是不够协调，拿着水笔在手上还没转足半圈，就“啪嗒”一声掉在桌子上.
问题1：若把图中的笔看成一条直线绕着一个点P转动，把点P放在平面直角坐标系内，不论直线怎么旋转，它对x轴的相对位置有几种情形
问题2：直线的倾斜角能不能是0° 能否大于平角
问题3：在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角吗
1.倾斜角的概念
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角.通常倾斜角用α表示.
2.倾斜角的范围
当直线l和x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.因此，直线的倾斜角α的取值范围为[0，π).
特别提醒：在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等.
例1　 设直线l过坐标原点O，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点O按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　).
A.α+45°
B.α-135°
C.135°-α
D.α+45°或α-135°
【方法总结】求直线的倾斜角的方法及两个注意点
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角.
(2)两个注意点：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0，当直线与x轴垂直时，倾斜角为；②注意直线倾斜角的取值范围是[0，π).
一条直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　).
A.α
B.180°-α
C.180°-α或90°-α
D.90°+α或90°-α
探究2　直线的斜率
　　环法自行车赛是知名的年度多阶段公路自行车运动赛事，主要在法国举办，但也经常出入周边国家(如英国、比利时和西班牙等).
下图是某次比赛中所经过的某段公路的示意图.
问题1：OA，AB两段公路中哪段路更陡峭 为什么 用什么来刻画山坡的倾斜程度 怎样将“直观”量化
问题2：所有直线都有斜率吗 若直线没有斜率，则这条直线的倾斜角为多少
问题3：在斜率公式k=中，为什么规定x1≠x2
1.改变量
在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，记Δx=x2-x1(Δx≠0)，Δy=y2-y1，即横坐标的改变量为Δx，纵坐标的改变量为Δy.比值k=反映了直线l的倾斜程度.k=的大小与两点P1，P2在直线上的位置关系无关.
2.斜率的定义
称k=(其中x1≠x2)为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的斜率.
3.(1)倾斜角是的直线没有斜率，倾斜角不是的直线都有斜率.
(2)直线的倾斜角与斜率的关系：①直线的斜率与倾斜角既有区别又有联系.它们都反映了直线的倾斜程度，本质上是一致的.但倾斜角是角度，是倾斜度的直接体现；斜率是实数，是直线倾斜度的间接反映，用斜率比用倾斜角更方便.②倾斜角可为正，可为零，不可为负，而斜率k不仅可为正，可为零，而且可以为负.
例2　经过下列两点的直线的斜率是否存在 如果存在，求其斜率.
(1)A(2，3)，B(4，5)；
(2)C(-2，3)，D(2，-1)；
(3)P(-3，1)，Q(-3，10).
【方法总结】已知两点坐标求斜率，常用两点斜率公式k=(x1≠x2)求解，注意x1=x2的情形.
若直线经过点(0，2)和点(3，0)，则它的斜率为(　　).
A.
B.
C.-
D.-
已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB=4，则点B的坐标为________.
已知直线l过点P(-4，-6)，且其斜率k=.
(1)判断点A(2，0)，B(-1，-4)是否在直线l上；
(2)若点C(2m-3，m)在直线l上，求m的值.
【随堂检测】
1.直线l的倾斜角α的取值范围是(　　).
A.0°≤α<180°
B.0°<α≤180°
C.0°<α<180°
D.0°≤α<180°且α≠90°
2.给出下列结论：
①若α是直线l的倾斜角，则sin α∈[0，1]；
②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角.
其中正确结论的个数是(　　).
A.1
B.2
C.3
D.4
3.已知点A(a，2)，B(5，1)，C(-4，2a)在同一直线上，则a的值为________.
4.已知A(m，-m+3)，B(2，m-1)，C(-1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值.
参考答案
1.1 课时1 直线的方程、直线的倾斜角和斜率
自主预习·悟新知
预学忆思
1.它们都经过点P，它们的倾斜程度不相同.
2.能.
3.都不对.
4.有，如斜率也能刻画直线的倾斜程度.坡度不是斜率，当直线的倾斜角是锐角时，直线的斜率与坡度是类似的.
自学检测
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.B　【解析】作出直线l，如图所示，由图易知，应选B.
3.A　【解析】由题意可知，直线l的斜率k==.
4.【解析】已知点的坐标，可代入过两点的直线的斜率公式求斜率，但应先验证两点的横坐标是否相等.kAB==0，kAC==-1.∵B，C两点的横坐标相等，∴直线BC的斜率不存在.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：如图，有4种情形.
问题2：能是0°，不能大于平角.
问题3：每一条直线都有倾斜角.
新知运用
例1　D　【解析】根据题意，画出图形，如图所示：
由于0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意.
通过画图(如图所示)可知，当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α+45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.
故选D.
巩固训练　D　【解析】如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°+α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°-α.故选D.
探究2　情境设置
问题1：AB段路更陡峭，因为AB与水平面的夹角大于OA与水平面的夹角，可以利用斜坡倾斜角的正切值将“直观”量化，也可以利用坡度量化.
问题2：不是，当直线与x轴垂直时，直线没有斜率.若直线没有斜率，则其倾斜角为90°.
问题3：当x1=x2时，直线没有斜率.
新知运用
例2　【解析】(1)存在.直线AB的斜率kAB==1.
(2)存在.直线CD的斜率kCD==-1.
(3)不存在.因为xP=xQ=-3，所以直线PQ的斜率不存在.
巩固训练1　C　【解析】斜率k==-.
巩固训练2　(2，0)或(0，-8)　【解析】设B(x，0)(x≠3)或B(0，y)，
∴kAB=或kAB=，
∴=4或=4，
∴x=2或y=-8，
∴点B的坐标为(2，0)或(0，-8).
巩固训练3　【解析】(1)因为kPA==1≠，kPB==，所以点A不在直线l上，点B在直线l上.
(2)因为点C在直线l上，所以kPC=，所以=，解得m=16.
随堂检测·精评价
1.A　【解析】由倾斜角的定义和规定知0°≤α<180°.
2.C　【解析】由直线的倾斜角的定义及斜率与倾斜角的关系可知，①②③正确.
3.2或　【解析】∵5≠-4，∴三点所在直线的斜率存在，
∴kAB==，kBC==.
∵点A，B，C在同一直线上，∴kAB=kBC，
∴=，解得a=2或a=.
4.【解析】由题意知，直线AC的斜率存在，即m≠-1，
∴kAC=，kBC=，
∴=3·，
整理得-m-1=(m-5)(m+1)，即(m+1)(m-4)=0，
∴m=4或m=-1(舍去)，∴m=4.1.1 课时5 直线方程的一般式和点法式
【学习目标】
1.掌握直线方程的一般式.(逻辑推理)
2.了解直线方程的点法式.(数学抽象)
3.会进行直线方程的五种形式之间的转化.(数学运算)
【自主预习】
1.前两节我们学习了直线方程的四种形式，你能写出这四种形式吗
2.我们学习过四种表示直线的方程，它们有怎样的区别与联系
3.上述四种方程在表示直线时有怎样的局限性
4.平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗 为什么
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若方程Ax+By+C=0表示直线，则A≠0. (　　)
(2)若方程Ax+By+C=0表示直线，则B≠0. (　　)
(3)若方程Ax+By+C=0表示直线，则A·B≠0. (　　)
(4)若方程Ax+By+C=0表示直线，则A2+B2≠0. (　　)
2.在平面直角坐标系中，直线x+y-3=0的倾斜角是(　　).
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
3.(改编)(多选题)下列结论正确的是(　　).
A.直线2x-y=0的斜率为2，在y轴上的截距为1
B.直线2x+y+1=0的斜率为-2，在y轴上的截距为-1
C.直线-=1的斜率为，在y轴上的截距为-3
D.直线3y+1=0的斜率为0，在y轴上的截距为-
4.已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为-4，则直线l的点斜式方程为________，截距式方程为________，斜截式方程为________，一般式方程为________.
【合作探究】
探究1　直线方程的一般式
问题1：观察下列直线方程：
直线l1：y-2=3(x-1)；直线l2：y=3x+2；
直线l3：=；直线l4：+=1.
上述形式的直线方程能化成二元一次方程Ax+By+C=0的形式吗
问题2：每一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A，B不同时为零)都能表示一条直线吗 为什么
问题3：在方程Ax+By+C=0(A，B不同时为零)中，说明A，B，C为何值时，方程表示的直线①平行于x轴；②平行于y轴；③与x轴重合；④与y轴重合.
问题4：二元一次方程与直线的关系是什么
　　直线方程的一般式
定义：关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A，B不全为0)表示的是一条直线，称它为直线方程的一般式.
适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示.
系数的几何意义：
①当B≠0时，直线的斜率k=-，在y轴上的截距为-；
②当B=0，A≠0时，直线的斜率不存在，在x轴上的截距为-.
解题时，若无特殊说明，应把求得的直线方程化为一般式.
一、直线方程的相互转化
例1　根据下列条件，写出直线方程的斜截式、一般式、截距式：
(1)斜率是-，经过点A(8，-2)；
(2)经过两点P1(3，-2)，P2(5，-4).
【方法总结】
直线方程的一般式Ax+By+C=0(A，B不全为0)转化为其他形式的步骤：
(1)一般式化为斜截式的步骤
①移项得By=-Ax-C；
②当B≠0时，得斜截式：y=-x-.
(2)一般式化为截距式的步骤
①把常数项移到方程右边，得Ax+By=-C；
②当C≠0时，方程两边同除以-C，得+=1；
③化为截距式：+=1.
由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式.
二、直线方程一般式的应用
例2　设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6，根据下列条件分别确定m的值：
(1)l在x轴的截距是-3；
(2)l的斜率是-1.
【方法总结】要学会直线方程的一般式与特殊形式之间的相互转化.在求直线方程时，并不一定要设一般式，可根据题目的条件选择恰当的形式，但最终结果一般要用一般式方程来表达.
分别求符合条件的直线方程，并化为一般式.
(1)经过点(-1，3)，且斜率为-3；
(2)经过两点A(0，4)和B(4，0).
设直线l的方程为2x+(k-3)y-2k+6=0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值：
(1)直线l的斜率为-1；
(2)直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0.
探究2　直线方程的点法式
　　已知直线l的方程为3x-2y-4=0.
问题1：把直线l的方程化成截距式.
问题2：直线l的一个方向向量是什么
问题3：若l1的一个方向向量n与l的一个方向向量v垂直，则n与v有什么关系
1.直线的法向量
与直线的方向向量垂直的向量称为直线的法向量.
2.直线方程的点法式
已知直线l经过P(x0，y0)，且它的一个法向量为n=(A，B)，称A(x-x0)+B(y-y0)=0为直线方程的点法式.
例3　已知P(-2，1)，Q(2，-3)，直线l与过点A(7，4)，B(-5，6)的直线垂直，且过线段PQ的中点，求直线l的方程.
【方法总结】要求直线方程的点法式，求出直线的法向量是解题的关键.
已知△ABC的三个顶点分别是A(1，1)，B(-2，3)，C(3，4).
(1)求BC边上的高所在直线的方程；
(2)如图，若四边形ABCD是平行四边形，求点D的坐标.
【随堂检测】
1.直线方程+=1的一般式为(　　).
A.y=-x+4
B.y=-(x-3)
C.4x+3y-12=0
D.4x+3y=12
2.(多选题)下列结论正确的有(　　).
A.直线l：x+y+1=0在x轴上的截距为-1
B.如果AB<0，BC<0，那么直线Ax+By+C=0不经过第三象限
C.过点(3，2)且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为x+y-5=0
D.直线kx+y-2k-1=0必定经过点(2，1)
3.若直线l过点A(1，0)，B(2，3)，则该直线方程的一个点法式为________.
4.已知直线(a+2)x+(a2-2a-3)y-2a=0在x轴上的截距为3，求该直线在y轴上的截距.
参考答案
1.1 课时5 直线方程的一般式和点法式
自主预习·悟新知
预学忆思
1.①点斜式方程：y-y0=k(x-x0)；②斜截式方程：y=kx+b；③两点式方程：=(x2≠x1，y2≠y1)；④截距式方程：+=1(a≠0，b≠0).
2.区别：四种方程是通过不同类型的已知几何要素推导出来的，方程的应用条件不同，呈现的表达形式也不同.
联系：四种方程的推导均可以直接将直线上任意点的几何特征利用几何要素的代数形式进行刻画，得到直线的代数表示，即直线上点的横、纵坐标x，y之间的关系，且这四种方程均有各自的限制条件.
3.点斜式方程、斜截式方程不适用于直线斜率不存在的情况；两点式方程不适用于直线与两坐标轴平行的情况；截距式方程不适用于直线过原点、直线与两坐标轴平行的情况.
4.都可以，原因如下：①当直线和y轴相交于点(0，b)时，倾斜角α≠，直线的斜率k存在，直线可表示成y=kx+b，可转化为kx+(-1)y+b=0，这是关于x，y的二元一次方程.
②当直线和y轴平行(包含重合)时，倾斜角α=，直线的斜率k不存在，不能用y=kx+b表示，而只能表示成x-a=0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.
自学检测
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.D　【解析】因为直线的斜率k=-，所以直线的倾斜角为150°.故选D.
3.BD　【解析】将2x-y=0化成y=2x，所以直线的斜率为2，在y轴上的截距为0，A错误；将2x+y+1=0化成y=-2x-1，所以直线的斜率为-2，在y轴上的截距为-1，B正确；将-=1化成y=x-3，所以直线的斜率为，在y轴上的截距为-3，C错误；将3y+1=0化成y=-，所以直线的斜率为0，在y轴上的截距为-，D正确.
4.y+4=(x-0)　+=1　y=x-4　x-y-4=0　【解析】由题意可得，点斜式方程为y+4=(x-0)，截距式方程为+=1，斜截式方程为y=x-4，一般式方程为x-y-4=0.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：上述形式的直线方程都能化成二元一次方程Ax+By+C=0的形式.
问题2：都能表示一条直线，理由如下：当B≠0时，方程Ax+By+C=0可变形为y=-x-，它表示过点0，-，斜率为-的直线；
当B=0时，方程Ax+By+C=0变成Ax+C=0，即x=-，它表示与y轴平行或重合的一条直线.
问题3：当A=0，B≠0时，方程变为y=-，当C≠0时，方程表示的直线平行于x轴，当C=0时，方程表示的直线与x轴重合；当A≠0，B=0时，方程变为x=-，当C≠0时，方程表示的直线平行于y轴，当C=0时，方程表示的直线与y轴重合.
问题4：①二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线.
②二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的，因此直线的一般式方程可以表示坐标平面内的任意一条直线.
新知运用
例1　【解析】(1)由直线方程的点斜式得y-(-2)=-(x-8)，其一般式为x+2y-4=0，斜截式为y=-x+2，截距式为+=1.
(2)由直线方程的两点式得=，其一般式为x+y-1=0，斜截式为y=-x+1，截距式为x+y=1.
例2　【解析】(1)由题意可得
由①得m≠-1且m≠3，由②得m=3或m=-，
∴m=-.
(2)由题意得
由③得m≠-1且m≠，由④得m=-1或m=-2，
∴m=-2.
巩固训练1　【解析】(1)根据条件，可得该直线方程的点斜式为y-3=-3(x+1)，即y-3=-3x-3，整理得其一般式为3x+y=0.
(2)根据条件，可得该直线方程的截距式为+=1，
整理得其一般式为x+y-4=0.
巩固训练2　【解析】(1)因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y=-x+2，
由题意得-=-1，解得k=5.
(2)直线l的方程可化为+=1，由题意得k-3+2=0，解得k=1.
探究2　情境设置
问题1：由3x-2y-4=0得3x-2y=4，所以截距式为+=1.
问题2：直线l的一个方向向量为1，.
问题3：n·v=0.
新知运用
例3　【解析】因为直线l与过点A(7，4)，B(-5，6)的直线垂直，
所以直线l的一个法向量为n==(-12，2)，
又因为P(-2，1)，Q(2，-3)，所以PQ的中点坐标为(0，-1)，
则直线l方程的点法式为-12(x-0)+2(y+1)=0，即直线l的方程为6x-y-1=0.
巩固训练　【解析】(1)∵B(-2，3)，C(3，4)，∴BC边上的高所在直线的一个法向量为=(5，1)，又直线过点A(1，1)，∴由直线方程的点法式得所求直线的方程为5(x-1)+(y-1)=0，即5x+y-6=0.
(2)设点D的坐标为(x，y)，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴=，
∴解得
∴D(6，2).
随堂检测·精评价
1.C　【解析】直线方程+=1的一般式为4x+3y-12=0.
2.AD　【解析】在直线l：x+y+1=0中，令y=0，得x=-1，A正确；不妨设A=1，B=-1，C=1，满足条件，此时直线方程为x-y+1=0，经过第一、二、三象限，B错误；当直线在x轴、y轴上的截距均为0时，设该直线方程为y=kx，将(3，2)代入，得3k=2，解得k=，则直线y=x也满足在x轴、y轴上截距相等，C错误；将直线kx+y-2k-1=0变形为y-1=-k(x-2)，故直线必定经过点(2，1)，D正确.
3.-3(x-1)+y=0　【解析】因为直线l过点A(1，0)，B(2，3)，且=(1，3)，
所以直线l的一个法向量为n=(-3，1)，
所以该直线方程的点法式为-3(x-1)+y=0.
4.【解析】由已知得直线过点(3，0)，
∴3(a+2)-2a=0，解得a=-6，
∴直线方程为-4x+45y+12=0，即4x-45y-12=0.
令x=0，得y=-.
故该直线在y轴上的截距为-.1.1 课时8 两点间的距离公式
【学习目标】
1.掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程.(逻辑推理)
2.会运用坐标法证明简单的平面几何问题.(数学运算)
【自主预习】
　　有两条互相垂直的小路，相交于点O，l1为东西方向，l2为南北方向，如图所示，小丽和小明在小路l1上，分别与点O相距5米和7米.现小明和小丽分别向北前行7米和2米.
　　阅读上述材料，回答下列问题：
1.如何求上图中线段AB的长度
2.上图能建立坐标系吗 如果能，该怎么建立
3.在上述的平面直角坐标系中，A，B两点的坐标各是多少 如何求线段AB的长度
4.如何求A，B两点间的距离
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)点P1(0，a)，P2(0，b)间的距离为a-b. (　　)
(2)不论m取何值，直线x-y+1=0与x-2my+3=0必相交. (　　)
(3)两点间的距离公式与两点的先后顺序无关. (　　)
(4)直线x=1和直线y=2的交点坐标是(1，2).(　　)
2.直线l：4x-y-4=0与l1：x-2y-2=0及l2：4x+3y-12=0所得两交点的距离为(　　).
A.
B.
C.3
D.
3.已知△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，如图.试用坐标法证明：|AE|=|CD|.
【合作探究】
探究1　两点间的距离公式
　　在一条笔直的公路同侧有两个村庄A和C，现在计划在公路上某处建一个公交站点P，以方便两村村民的出行.
问题1：如何选址能使公交站点到两个村的距离之和最小
问题2：如果点A，B在x轴上，那么怎样求|AB|
问题3：如果点A，B在y轴上，那么怎样求|AB|
问题4：如果点A，B不在坐标轴上，那么如何求|AB|
　　两点间的距离公式
A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离公式为|AB|=.
(1)此公式与两点的先后顺序无关.
(2)当直线AB平行于x轴时，|AB|=|x2-x1|.
当直线AB平行于y轴时，|AB|=|y2-y1|.
例1　(1)已知点A(-3，4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|=|PB|，并求|PA|的值；
(2)已知点M(x，-4)与点N(2，3)间的距离为7，求实数x的值.
【方法总结】若已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，求两点间的距离，可直接利用两点间的距离公式|P1P2|=求解.若已知两点间的距离，求点的坐标，可设未知数，逆用两点间的距离公式列出方程，从而解决问题.
已知等腰△ABC的顶点A(3，0)，底边|BC|=4，BC边的中点为D(5，4)，则腰长为________.
探究2　坐标法在平面几何中的应用
　　已知四边形ABCD是平行四边形，探究四边形的对角线与边的关系.
问题1：如何用几何方法证明平行四边形ABCD四条边的平方和等于两条对角线的平方和
问题2：如何建立坐标系，用坐标法求解
　　利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤：
第一步，建立平面直角坐标系，用坐标表示有关的量.
第二步，进行有关代数运算.
第三步，把代数结果“翻译”成几何关系.
例2　在△ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.求证：△ABC为等腰三角形.
【方法总结】用解析法证明几何题的注意事项：
(1)用解析法证明几何题时，首先要根据题设条件建立适当的平面直角坐标系，然后根据题中所给的条件，设出已知点的坐标；
(2)根据题设条件及几何性质推出未知点的坐标；
(3)在证题过程中要不失一般性.
已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，试建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|=|BC|.
【随堂检测】
1.已知A(3，7)，B(2，5)，则A，B两点间的距离为(　　).
A.5
B.
C.3
D.
2.已知点A(-2，-1)，B(a，3)，且|AB|=5，则实数a的值为(　　).
A.1
B.-5
C.1或-5
D.-1或5
3.过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线y=x+m平行，则|AB|=________.
4.已知△OAB的三个顶点分别为O(0，0)，A(2，4)，B(3，-6)，则过点B的中线长为________.
参考答案
1.1 课时8 两点间的距离公式
自主预习·悟新知
预学忆思
1.如图，作BC⊥l2且交l2于点C，延长BC到点D，
则△ABD是直角三角形，且|BD|=7+5=12(米)，|AD|=7-2=5(米)，
所以|AB|==13(米).
2.能，可以以l1与l2的交点为坐标原点，l1为x轴，l2为y轴建立平面直角坐标系.
3.A(-7，7)，B(5，2)，先求向量，再求||，可得线段AB的长度，
即=(5+7，2-7)，所以||==13(米).
4.利用公式|AB|=求解.
自学检测
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.D　【解析】设直线l与l1及l2的交点分别为A，B，由得即A，-，由得即B，2，
则|AB|==，故选D.
3.【解析】如图所示，以点B为坐标原点，取AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.
设△ABD和△BCE的边长分别为a和c，则A(-a，0)，C(c，0)，E，，D-，，于是由两点间的距离公式得|AE|==，
|CD|=
=，
所以|AE|=|CD|.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：如图，过点C作公路的垂线，H为垂足，使|CH|=|HB|，连接AB交公路于点P，则P就是公交站点，此时公交站点P到两个村的距离之和最小，最小值为|AB|.
问题2：当点A，B在x轴上时，yA=yB=0，|AB|=|xA-xB|.
问题3：当点A，B在y轴上时，xA=xB=0，|AB|=|yA-yB|.
问题4：先求向量，再求||.
因为=(xB-xA，yB-yA)，
所以|AB|=||=.
新知运用
例1　【解析】(1)设点P的坐标为(x，0)，则有|PA|==，
|PB|==.
由|PA|=|PB|，得x2+6x+25=x2-4x+7，解得x=-，
所以点P的坐标为-，0，
所以|PA|==.
(2)由|MN|=7，得=7，即x2-4x-45=0，解得x1=9，x2=-5.
故x的值为9或-5.
巩固训练　2　【解析】|BD|=|BC|=2，|AD|==2，在Rt△ADB中，由勾股定理得腰长为|AB|==2.
探究2　情境设置
问题1：过A，D两点作BC边的高，垂足分别为E，F(图略)，则易知△ABE≌△DCF，|BE|=|CF|，|AE|=|DF|，然后利用勾股定理证明.
问题2：建立平面直角坐标系后，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系.
如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，垂直于AB边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
有A(0，0)，设B(a，0)，D(b，c)，由平行四边形的性质得点C的坐标为(a+b，c)，
因为|AB|2=a2，|CD|2=a2，|AD|2=b2+c2=|BC|2，
|AC|2=(a+b)2+c2，|BD|2=(b-a)2+c2，
所以|AB|2+|BC|2+|CD|2+|AD|2=2(a2+b2+c2)=|AC|2+|BD|2，
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
新知运用
例2　【解析】作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
设B(b，0)，A(0，a)，C(c，0)，D(d，0).
因为|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|，所以由距离公式可得b2+a2=d2+a2+(d-b)(c-d)，
即-(d-b)(b+d)=(d-b)(c-d).
又d-b≠0，所以-b-d=c-d，即-b=c，
所以|AB|=|AC|，
即△ABC为等腰三角形.
巩固训练　【解析】以Rt△ABC的直角边AB，AC所在的直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c).
因为斜边BC的中点为M，所以点M的坐标为，，即，.
由两点间的距离公式，得|BC|==，
|AM|==，
即|AM|=|BC|.
随堂检测·精评价
1.B　【解析】由平面内两点间的距离公式可知|AB|==.
2.C　【解析】|AB|==5，解得a=1或a=-5.
3.　【解析】因为kAB==b-a=1，所以|AB|==.
4.2　【解析】由中点坐标公式可得线段OA的中点C的坐标为(1，2)，则过点B的中线长为==2.1.1 课时7 两条直线的交点坐标
【学习目标】
1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.(数学运算)
2.会用方程组解的个数判定两条直线的位置关系.(逻辑推理)
3.会用求交点坐标的方法解决直线过定点、三条直线交于一点等问题.(逻辑推理)
【自主预习】
　　羊城豪情点燃亚运盛会，珠江光影拥抱和谐亚洲.2010年11月12日晚，在现场几万观众的欢呼声中，“木棉花”在600米高的广州塔尖“盛开”，火树银花，流光溢彩，第十六届亚洲运动会在广州隆重开幕.
根据图片中光柱的运动变化，我们将它们看成一些直线.
阅读教材，结合上述情境回答下列问题：
1.这些直线之间有哪些位置关系
2.直线l上的点与其方程Ax+By+C=0的解有什么样的关系
3.由两直线方程组成的方程组解的情况与两直线的位置关系有何对应关系
1.下列各直线中，与直线2x-y-3=0相交的是(　　).
A.2ax-ay+6=0(a≠0)
B.y=2x
C.2x-y+5=0
D.2x+y-3=0
2.(改编)已知l1：2x-3y=7，l2：4x+2y=1，则l1与l2(　　).
A.垂直
B.平行
C.重合
D.相交，且交点坐标为，-
3.已知点M的坐标为(0，-1)，点N在直线x-y+1=0上，若直线MN垂直于直线x+2y-3=0，则点N的坐标是(　　).
A.(-2，-3)
B.(2，1)
C.(2，3)
D.(-2，-1)
4.若两直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上，则k的值为________.
【合作探究】
探究　两条直线的交点坐标
　　观察图形，思考下列问题：
问题1：在两直线方程联立的方程组中，每一个方程都可表示为一条直线，那么方程组的解说明什么
问题2：如何求上述两条直线的交点坐标
问题3：两条直线相交的条件是什么
1.求两条直线的交点坐标
一般地，对于两条不重合的直线l1：A1x+B1y+C1=0， l2：A2x+B2y+C2=0，我们可以用直线的斜率(斜率存在时)或法向量先定性判断两条直线是否相交，若相交，则依据直线方程的概念可知，两条直线l1，l2交点的坐标就是两个方程的公共解.因此，可通过解方程组得到两条直线l1，l2的交点坐标.
2.判断两条直线的位置关系
方程组
①有唯一解 l1与l2相交；
②有无穷多组解 l1与l2重合；
③没有解 l1与l2平行.
一、求交点坐标
例1　分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点坐标.
(1)l1：2x-y=7和l2：3x+2y-7=0.
(2)l1：2x-6y+4=0和l2：4x-12y+8=0.
(3)l1：4x+2y+4=0和l2：y=-2x+3.
【方法总结】两条直线相交的判定方法
方法一：联立两条直线的方程，解方程组，若有一解，则两条直线相交.
方法二：(1)两条直线斜率都存在且斜率不相等；(2)两条直线的斜率一个存在，一个不存在.
二、由交点情况求参数的值或取值范围
例2　若方程组有且只有一组解，则实数k的取值范围是________.
【方法总结】利用交点情况求参数的取值范围或参数值的关键是利用相交的位置关系或交点坐标建立方程求解.
三、求过两条直线交点的直线方程
例3　求过直线2x-3y-3=0和直线x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程.
【方法总结】求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可先设过两条直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括l2的方程)，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程.
分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点坐标.
(1)l1：2x+y+3=0，l2：x-2y-1=0.
(2)l1：x+y+2=0，l2：2x+2y+3=0.
已知直线5x+y=2a+1与直线x+3y=a的交点位于第四象限，则实数a的取值范围是________.
求经过直线l1：x+3y-3=0，l2：x-y+1=0的交点且平行于直线2x+y-3=0的直线方程.
【随堂检测】
1.下列各直线中，与直线2x+y-1=0相交的是(　　).
A.2x+y+1=0
B.y=-2x
C.2x+y+5=0
D.2x-y-3=0
2.已知直线l1：3x+4y-5=0与l2：3x+5y-6=0相交，则它们的交点坐标是(　　).
A.-1，
B.，1
C.1，
D.-1，-
3.三条直线ax+2y+7=0，4x+y=14和2x-3y=14相交于一点，则实数a的值为________.
4.求经过原点且经过直线l1：x-2y+2=0与l2：2x-y-2=0的交点的直线方程.
参考答案
1.1 课时7 两条直线的交点坐标
自主预习·悟新知
预学忆思
1.相交或平行.
2.直线l上每一个点的坐标都满足其直线方程，也就是说直线l上的点的坐标是其方程的解.反之，直线l的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标.
3.①若方程组无解，则l1∥l2；
②若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；
③若方程组有无数个解，则l1与l2重合.
自学检测
1.D　【解析】直线2x-y-3=0的斜率为2，D选项中的直线的斜率为-2，故选D.
2.D　【解析】因为≠≠，所以l1与l2不平行，B，C错误；因为2×4-3×2≠0，所以l1与l2不垂直，A错误；由解得所以l1与l2相交，且交点坐标为.
3.C　【解析】直线MN的方程是2x-y-1=0，
由得
所以点N的坐标是(2，3).
4.±6　【解析】在2x+3y-k=0中，令x=0，得y=，
将0，代入x-ky+12=0，解得k=±6.
合作探究·提素养
探究　情境设置
问题1：两直线的公共部分，即交点.
问题2：联立两条直线的方程，求方程组的解即可.
问题3：两条直线相交的条件：①联立两条直线的方程，解方程组，当方程组只有一个解时，两条直线相交.②设l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，则l1与l2相交的条件是A1B2-A2B1≠0或≠(A2≠0，B2≠0).③若两条直线的斜率都存在，设直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则l1与l2相交 k1≠k2.
新知运用
例1　【解析】(1)方程组的解为
因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，-1).
(2)方程组有无数个解，
这表明直线l1和l2重合.
(3)方程组无解，
这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
例2　k≠2　【解析】当直线kx-6y=0与直线y=x+平行时，k=2，
此时方程组无解，且这两条直线不重合，
故当方程组有且只有一组解时，k≠2.
例3　【解析】(法一)解方程组
得
所以这两条直线的交点坐标为-，-.
又所求直线与直线3x+y-1=0平行，
所以所求直线的斜率为-3.
故所求直线的方程为y+=-3x+，
即15x+5y+16=0.
(法二)设所求直线的方程为(2x-3y-3)+λ(x+y+2)=0，即(2+λ)x+(λ-3)y+(2λ-3)=0.　①
因为所求直线与直线3x+y-1=0平行，
所以解得λ=.
将λ=代入①，得所求直线的方程为2+x+-3y+2×-3=0，
即15x+5y+16=0.
巩固训练1　【解析】(1)解方程组得
所以直线l1与l2相交，交点坐标为(-1，-1).
(2)方程组无解，所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2.
巩固训练2　-，　【解析】由得
∵交点在第四象限，∴解得-巩固训练3　【解析】(法一)由得
所以直线l1与l2的交点坐标为(0，1).
设所求的直线方程为2x+y+c=0(c≠-3)，
把(0，1)代入所求的直线方程，得c=-1，
故所求的直线方程为2x+y-1=0.
(法二)设过直线l1，l2交点的直线方程为x+3y-3+λ(x-y+1)=0(λ∈R)，
即(λ+1)x+(3-λ)y+λ-3=0.
由题意可知=-2，解得λ=，
故所求的直线方程为x+y-=0，即2x+y-1=0.
随堂检测·精评价
1.D　【解析】直线2x+y-1=0的斜率为-2，D选项中的直线的斜率为2，故D选项正确.
2.B　【解析】由解得所以l1与l2的交点坐标为，1.
3.-　【解析】由得
所以两条直线的交点坐标为(4，-2).
由题意知点(4，-2)在直线ax+2y+7=0上，则a×4+2×(-2)+7=0，解得a=-.
4.【解析】由得所以l1与l2的交点坐标是(2，2).易知所求直线的斜率存在，故设经过原点的直线方程为y=kx，把点(2，2)的坐标代入y=kx，得k=1，所以所求直线的方程为y=x.1.1 课时4 直线方程的两点式
【学习目标】
1.掌握直线方程的两点式和截距式.(数学抽象)
2.会选择适当的方程形式求直线方程.(逻辑推理)
3.能用直线方程的两点式与截距式解答有关问题.(数学运算)
【自主预习】
1.已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2，如何求直线P1P2的方程
2.式子y-y1=(x-x1)与=等价吗 =能表示过任意两点的直线方程吗
3.若P1(0，b)，P2(a，0)，且a≠0，b≠0，如何求直线P1P2的方程
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)斜率不存在的直线有两点式方程. (　　)
(2)与x轴平行的直线没有两点式方程. (　　)
(3)过原点的直线没有截距式方程. (　　)
(4)过点(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)的直线的两点式方程是=. (　　)
2.过(1，1)，(2，-1)两点的直线的方程为(　　).
A.y=2x-1
B.y=x+
C.y=-2x+3
D.y=-x+
3.直线l过(-1，-1)，(2，5)两点，且点(1 012，b)在l上，则实数b的值为(　　).
A.2 022
B.2 023
C.2 024
D.2 025
4.已知直线l的两点式方程为=，则直线l的斜率为________.
5.(改编)(1)过点(0，3)，且在两坐标轴上的截距之和为1的直线的方程为________；
(2)过点(4，0)，且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的方程为________.
【合作探究】
探究1　直线方程的两点式
　　某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东侧P处，如图所示.公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A，B两处，并使该区商业中心O到A，B两处的距离之和最短.
问题1：在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A，B能否确定
问题2：若给定两点C(x1，y1)，D(x2，y2)，是否就可以用两点式写出直线CD的方程
问题3：直线的两点式方程能用=(x1≠x2，y1≠y2)代替吗
问题4：过点(1，3)和(1，5)的直线能用两点式表示吗 为什么 过点(2，3)，(5，3)的直线呢
问题5：方程=和方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)的适用范围相同吗
　　直线方程的两点式
名称 直线方程的两点式
已知条件 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2
示意图
直线方程 =
适用范围 斜率存在且不为零
　　如果把两点式变成(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)，那么就可以用它来求过平面上任意两个已知点的直线方程.
例1　已知△ABC的三个顶点分别为A(2，-1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在直线的方程.
【方法总结】当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足直线方程的两点式的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴.若满足，则考虑用两点式求方程.
过点M(-4，3)和N(-2，1)的直线的方程是(　　).
A.y=x+3
B.y=-x-1
C.y=x-1
D.y=-x+3
已知三角形ABC的三个顶点分别为A(-1，5)，B(-2，-1)，C(4，3).
(1)求AB边所在直线的方程；
(2)求BC边所在直线的方程.
探究2　直线方程的截距式
　　小明的弟弟刚上小学一年级，周末在家用彩笔写了一个大大的“4”，小明看到，觉得好像一个坐标系，如图所示.
问题1：若“4”的第一划与x，y轴的交点坐标分别为(-2，0)，(0，5)，如何求直线的方程呢
问题2：方程-=1和+=-1都是直线方程的截距式吗
　　直线方程的截距式
名称 直线方程的截距式
已知条件 在x，y轴上的截距分别为a，b，且a≠0，b≠0
示意图
直线方程 +=1
适用范围 直线斜率存在且不为零，不过原点
　　(1)直线方程的截距式等号左边以“+”相连，等号右边是1.
(2)a叫作直线在x轴上的截距，b叫作直线在y轴上的截距，不一定有a>0，b>0.
例2　求过点(4，-3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程.
【方法总结】
(1)若问题中涉及直线与两坐标轴相交，则可考虑选用直线方程的截距式，用待定系数法确定其系数即可.
(2)选用直线方程的截距式时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.
求过点A(5，2)且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线l的方程.
探究3　中点坐标公式的应用
　　如图，已知A，B，C三点，且B是AC的中点.
问题1：若已知点A(x1，y1)，B(x，y)，C(x2，y2)，如何根据向量法用点A，C的坐标表示点B的坐标
问题2：问题1中的x，y的表达式适用于求任何两点的中点坐标吗
　　线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则
例3　已知 ABCD的两个顶点坐标分别为A(4，2)，B(5，7)，对角线的交点为E(-3，4)，求另外两个顶点C，D的坐标.
【方法总结】中点坐标公式是求中点坐标的常用公式，记住公式是解题的关键.
在△ABC中，已知点A(5，-2)，B(7，3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上.
(1)求点C的坐标；
(2)求直线MN的方程.
【随堂检测】
1.过点A(3，2)，B(4，3)的直线的方程是(　　).
A.x+y+1=0
B.x+y-1=0
C.x-y+1=0
D.x-y-1=0
2.过P1(2，0)，P2(0，3)两点的直线的方程是(　　).
A.+=0
B.+=0
C.+=1
D.-=1
3.若直线3x-4y+k=0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k=________.
4.直线l经过点P(1，2)，与x轴交于点A(a，0)，与y轴交于点B(0，b)，且P恰好为线段AB的中点.
(1)求a+b的值；
(2)求直线l的方程.
参考答案
1.1 课时4 直线方程的两点式
自主预习·悟新知
预学忆思
1.先求得直线P1P2的斜率k=，然后利用点斜式得直线P1P2的方程为y-y1=(x-x1).
2.不等价；不能，方程当且仅当x1≠x2，y1≠y2时成立.
3.利用点斜式可求得y=-x+b，即+=1.
自学检测
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.C　【解析】∵直线过两点(1，1)和(2，-1)，∴直线的两点式方程为=，整理得y=-2x+3.
3.D　【解析】直线l的方程为=，整理得y=2x+1，令x=1 012，得b=2 025.
4.-　【解析】由题意知直线l过点(-5，0)，(3，-3)，
所以l的斜率为=-.
5.(1)3x-2y+6=0　(2)7x+4y-28=0或x+4y-4=0　【解析】(1)直线在y轴上的截距为3，则在x轴上的截距为1-3=-2，
所以直线方程为+=1，即3x-2y+6=0.
(2)直线在x轴上的截距为4，设直线在y轴上的截距为b，则|b-4|=3，解得b=7或b=1，则直线方程为+=1或+=1，所以直线方程为7x+4y-28=0或x+4y-4=0.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：可以确定.
问题2：不一定.只有在x1≠x2，y1≠y2的前提下才能写出直线的两点式.
当x1=x2时，直线方程为x=x1；
当y1=y2时，直线方程为y=y1.
所以直线的两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，
但如果将方程变形为(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)，它是两点式的变形，可以表示任何直线，包括与坐标轴垂直的直线.
问题3：方程=所表示的图形不含点(x1，y1)，故不能表示整条直线，故不能用其代替两点式方程.
问题4：不能，因为1-1=0，而0不能做分母.过点(2，3)，(5，3)的直线也不能用两点式表示.
问题5：不同.前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线.后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程.
新知运用
例1　【解析】∵A(2，-1)，B(2，2)，∴A，B两点的横坐标相同，直线AB与x轴垂直，故其方程为x=2.
∵A(2，-1)，C(4，1)，∴由直线方程的两点式可得直线AC的方程为=，即y=x-3.
同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为=，即y=-x+3.
∴三边AB，AC，BC所在直线的方程分别为x=2，y=x-3，y=-x+3.
巩固训练1　B　【解析】由两点式，得=，整理得y=-x-1.
巩固训练2　【解析】(1)由两点式得=，即AB边所在直线的方程为6x-y+11=0.
(2)由两点式得=，即BC边所在直线的方程为2x-3y+1=0.
探究2　情境设置
问题1：利用直线方程的两点式求解，即所求直线的方程为=，即+=1.
问题2：都不是直线方程的截距式.直线方程的截距式的特点有两个：一是等号左边必须用“+”连接，二是等号右边为1.
新知运用
例2　【解析】(法一)设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b.
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为+=1.
∵点(4，-3)在直线上，∴+=1，
若a=b，则a=b=1，此时直线的方程为y=-x+1.
若a=-b，则a=7，b=-7，此时直线的方程为y=x-7.
②当a=b=0时，直线过原点，且过点(4，-3)，
∴直线的方程为3x+4y=0.
综上可知，所求直线的方程为y=-x+1或y=x-7或3x+4y=0.
(法二)设直线l的方程为y+3=k(x-4)，
令x=0，得y=-4k-3；令y=0，得x=.
∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，
∴|-4k-3|=，
解得k=1或k=-1或k=-，
∴所求的直线方程为y=x-7或y=-x+1或3x+4y=0.
巩固训练　【解析】由题意知，当直线l在坐标轴上的截距均为零时，
直线l的方程为y=x；
当直线l在坐标轴上的截距均不为零时，
设l的方程为+=1，
将点(5，2)代入方程得+=1，解得a=，
所以直线l的方程为+=1.
综上可知，直线l的方程为y=x或+=1.
探究3　情境设置
问题1：根据向量相等，建立方程求解.
由已知得=，所以(x-x1，y-y1)=(x2-x，y2-y)，
所以即
问题2：适用于求任何两点的中点坐标.
新知运用
例3　【解析】设C(x1，y1)，D(x2，y2).
因为E为AC的中点，
所以-3=，4=，解得x1=-10，y1=6.
又因为E为BD的中点，
所以-3=，4=，解得x2=-11，y2=1.
所以点C的坐标为(-10，6)，点D的坐标为(-11，1).
巩固训练　【解析】(1)设点C(x，y)，由题意得=0，=0，
解得x=-5，y=-3.故点C的坐标是(-5，-3).
(2)点M的坐标是0，-，点N的坐标是(1，0)，
可得直线MN的方程是=，即5x-2y-5=0.
随堂检测·精评价
1.D　【解析】由直线方程的两点式，得所求直线的方程为=，化简得x-y-1=0.
2.C　【解析】由截距式得所求直线的方程为+=1.
3.-24　【解析】令x=0，得y=；令y=0，得x=-.则有-=2，所以k=-24.
4.【解析】(1)由题意可得=1，=2，
解得a=2，b=4，
∴a+b=6.
(2)由(1)可得直线l的方程为+=1.1.1 课时9 点到直线的距离、两条平行直线间的距离公式
【学习目标】
1.了解点到直线的距离公式的推导方法.(逻辑推理)
2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用于求两条平行线间的距离等问题.(数学运算)
3.会运用点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式解决实际问题.(数学建模)
【自主预习】
1.如何用代数方法求点P0(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0(A，B不全为0)的距离
2.能否将两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离，如何转化
3.在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有何要求
4.如何求两条平行直线间的距离
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y=b(b≠0)的距离d=y0-b. (　　)
(2)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x=a(a≠0)的距离d=|x0-a|. (　　)
(3)两直线x+y=m与x+y=2n的距离为. (　　)
2.(改编)(多选题)下列结论正确的是(　　).
A.点P(-2，3)到直线3x+4y+3=0的距离是
B.点P(1，0)到直线3x+y=0的距离是
C.点P(1，2)到直线y-7=0的距离是6
D.点P(2，-3)到直线x+y-1=0的距离是
3.已知直线l1：x+y+1=0，l2：x+y-1=0，则l1与l2之间的距离为(　　).
A.1
B.
C.
D.2
4.若第二象限内的点P(m，1)到直线x+y+1=0的距离为，则m的值为________.
【合作探究】
探究1　点到直线的距离公式
　　在公路附近有一家乡村饭馆，现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道路.
问题1：在理论上，怎样铺路可以使这条连接公路的道路最短
问题2：能用向量求饭馆(设为点P)到公路(设为直线l)的距离吗 如何求
问题3：你能归纳出点P(x0，y0)到直线Ax+By+C=0(A，B不全为0)的距离公式吗
问题4：使用点到直线的距离公式，对直线方程有什么要求
问题5：直线方程Ax+By+C=0中，当A=0或B=0时，点到直线的距离公式是否成立
　　点P(x0，y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=(其中A，B不全为0).
点到几种特殊直线的距离：
(1)点P(x0，y0)到x轴的距离d=|y0|；
(2)点P(x0，y0)到y轴的距离d=|x0|；
(3)点P(x0，y0)到直线y=a的距离d=|y0-a|；
(4)点P(x0，y0)到直线x=b的距离d=|x0-b|.
一、求点到直线的距离
例1　求点P(3，-2)到下列各直线的距离：
(1)y=x+；(2)y=6；(3)x=4.
【方法总结】点到直线距离的求解方法：
(1)先把直线方程化成一般式，再套用点到直线的距离公式；
(2)当直线位置特殊时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂，要注意数形结合.
二、点到直线距离公式的应用
例2　(1)已知点A(a，6)到直线3x-4y=2的距离等于4，求实数a的值.
(2)已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积.
【方法总结】通过这两道简单的例题，我们能够进一步理解点到直线的距离，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.
已知点P(-3，-1)，向量m=(，-1)，过点P作以向量m为方向向量的直线l，则点A(3，-1)到直线l的距离为(　　).
A.0
B.
C.
D.
已知直线l1：2x-y=3与直线l2：4x-3y-5=0.
(1)求经过直线l1与l2的交点，且与直线x-3y+2=0垂直的直线l的方程；
(2)分别求点A(-1，4)到直线l1与l2的距离.
探究2　两条平行直线间的距离公式
　　下面这幅画画的是铁轨以及铁轨两侧的电线杆.
问题1：已知两电线杆所在直线的方程，如何求图中两电线杆的距离呢
问题2：直线l1：x+y-1=0上有A(1，0)，B(0，1)，C(-1，2)三点，直线l2：x+y+1=0与直线l1平行，那么点A，B，C到直线l2的距离分别为多少 有什么规律吗
问题3：在应用两条平行线间的距离公式时，对直线方程有什么要求
　　(1)两条平行直线间的距离：夹在两条平行直线间的公垂线段的长.求两条平行直线间的距离可转化为求点到直线的距离.
(2)公式：两条平行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0之间的距离d=(其中A，B不全为0，且C1≠C2).
例3　已知两直线3x+y-3=0和6x+my-1=0平行，则它们之间的距离d=________.
【方法总结】当直线方程中含有未知数时，求两平行直线间的距离通常有两种思路：(1)设出所求直线方程后，在其中一条直线上取一点，利用点到直线的距离公式求解；(2)直接运用两平行直线间的距离公式求解.
已知点A(1，0)，B(3，1)，C为直线l：x-2y+4=0上一动点，则△ABC的面积为(　　).
A.5
B.
C.
D.
探究3　对称性问题
一、点关于点对称
例4　已知A(-1，-2)，B(2，1)，且A关于B对称的点为C，求点C的坐标.
二、点关于线对称
例5　点P(-3，4)关于直线x+y-2=0的对称点Q的坐标是(　　).
A.(-2，1)
B.(-2，5)
C.(2，-5)
D.(4，-3)
三、线关于点对称
例6　与直线2x+3y-6=0关于点(1，-1)对称的直线方程是(　　).
A.3x-2y+2=0
B.2x+3y+7=0
C.3x-2y-12=0
D.2x+3y+8=0
四、线关于线对称
例7　求直线m：3x-2y-6=0关于直线l：2x-3y+1=0对称的直线m'的方程.
【方法总结】有关对称问题的两种主要类型
(1)中心对称：①点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P'(x'，y')满足②直线关于点的对称问题可转化为点关于点的对称问题来解决.
(2)轴对称：①设点M(a，b)关于直线Ax+By+C=0(B≠0)的对称点为M'(m，n)，则有②直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决.
(1)若点A(4，0)与点B关于点(2，1)对称，则点B的坐标为(　　).
A.(0，4)
B.(0，2)
C.(-2，4)
D.(4，-2)
(2)直线l：y=2x+3关于点P(2，3)对称的直线l'的方程是(　　).
A.2x-y-5=0
B.2x+y-5=0
C.2x-y+5=0
D.2x+y+5=0
(3)已知直线l：y=3x+3，则点P(4，5)关于l的对称点的坐标为________；直线y=x-2关于l的对称直线的方程为________.
【随堂检测】
1.点(5，-3)到直线x+2=0的距离等于(　　).
A.7
B.5
C.3
D.2
2.已知直线3x+2y-3=0和直线6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是(　　).
A.4
B.
C.
D.
3.(原创)已知点M(-1，2)，N(-3，4)，P(-2，1)，若直线l经过点P，且M，N到直线l的距离相等，则直线l的方程为________.
4.已知直线l1：3x-2y-1=0和直线l2：3x-2y-13=0，直线l与l1，l2的距离分别为d1，d2，若d1∶d2=1∶2，则直线l的方程为________.
5.已知直线l1：(2a+1)x+(a+2)y+3=0，l2：(a-1)x-2y+2=0，且l1∥l2.
(1)求a的值；
(2)直线l过点P(0，1)，与l1，l2分别交于点A，B，|AB|=，求直线l的方程.
参考答案
1.1 课时9 点到直线的距离、两条平行直线间的距离公式
自主预习·悟新知
预学忆思
1.作P0Q⊥l，交直线l于点Q，由直线l的斜率为-，可得l的垂线P0Q的斜率为，即可求出垂线P0Q的方程，再联立P0Q与直线l的方程，解得点Q的坐标，最后利用两点间的距离公式求出|P0Q|，即点P0到直线l的距离.
2.能，因为一条直线上任意一点到另一条直线的距离都是两条平行直线间的距离，所以在一条直线上找到一个已知点，求这点到另一条直线的距离即可.
3.使用点到直线的距离公式的前提是直线方程为一般式.
4.因为两条平行线间的距离处处相等，所以可以转化为点到直线的距离求解，也可以利用两条平行直线间的距离公式，即两条平行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0(A，B不全为0，且C1≠C2)之间的距离d=.
自学检测
1.(1)×　(2)√　(3)√
2.AD　【解析】对于A，由点到直线的距离公式得d==，故A正确；对于B，由点到直线的距离公式得d==，故B错误；对于C，由点到直线的距离公式得d=|2-7|=5，故C错误；对于D，由点到直线的距离公式得d==，故D正确.
3.B　【解析】由题意知l1∥l2，则l1，l2之间的距离为=.
4.-4　【解析】由=，得m=-4或m=0，
∵点P在第二象限，∴m<0，故m=-4.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：过饭馆作公路的垂线，沿着这条垂线铺路可以使这条连接公路的道路最短.
问题2：能，如图.
在直线l上取一点M，设向量n为与直线l垂直的单位向量，向量在向量n上的投影向量就是，所以||=||·|cos|=|n·|.
问题3：能，距离d=.
问题4：直线方程要为一般式，且A，B不全为0.
问题5：公式成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解.
新知运用
例1　【解析】(1)将直线方程y=x+化为一般式，得3x-4y+1=0，由点到直线的距离公式可得d==.
(2)因为直线y=6与y轴垂直，所以点P到直线y=6的距离d=|-2-6|=8.
(3)因为直线x=4与x轴垂直，所以点P到直线x=4的距离d=|3-4|=1.
例2　【解析】(1)=4 |3a-26|=20 a=2或a=.
(2)设AB边上的高为h，则S△ABC=|AB|·h.
|AB|==2，
AB边上的高h就是点C到直线AB的距离.
AB边所在直线的方程为=，即x+y-4=0.
点C到直线x+y-4=0的距离h==，因此，S△ABC=×2×=5.
巩固训练1　B　【解析】因为向量m=(，-1)，
所以直线l的斜率k=-，
又因为l过点P(-3，-1)，
所以直线l的方程为y+1=-(x+3)，即x+y+3+=0.
因为A(3，-1)，
所以d==，故选B.
巩固训练2　【解析】(1)联立直线l1与l2的方程，得方程组解得所以交点为(2，1).
因为直线l与直线x-3y+2=0垂直，
所以可设直线l的方程为3x+y+m=0，代入(2，1)，可得6+1+m=0，解得m=-7，
所以直线l的方程为3x+y-7=0.
(2)由已知可得，点A(-1，4)到直线l1：2x-y=3，即直线2x-y-3=0的距离d1==，
点A(-1，4)到直线l2：4x-3y-5=0的距离d2==.
探究2　情境设置
问题1：因为两电线杆是平行的，而夹在两条平行直线间的公垂线段的长度相等，所以求一根电线杆上的一点到另一根杆上的距离即可.
问题2：点A，B，C到直线l2的距离分别为，，.规律是当两条直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等.
问题3：两条平行直线的方程都是一般式，且x，y对应的系数应分别相等.
新知运用
例3　　【解析】将直线方程3x+y-3=0化为6x+2y-6=0，
由两平行线间的距离公式得d===.
巩固训练　D　【解析】∵直线AB的方程为=，即x-2y-1=0，则l∥AB，
∴△ABC的边AB上的高为两平行线之间的距离d，且d==.
又∵|AB|==，
∴S△ABC=|AB|·d=.故选D.
探究3
例4　【解析】设点C的坐标为(x，y)，根据中点坐标公式，得解得即C(5，4).
例5　B　【解析】设对称点Q的坐标为(a，b)，得解得即Q(-2，5)，故选B.
例6　D　【解析】由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x+3y-6=0平行，
则可设所求直线方程为2x+3y+C=0.
在直线2x+3y-6=0上任取一点(3，0)，该点关于点(1，-1)对称的点为(-1，-2)，
∴点(-1，-2)必在所求直线上，
∴2×(-1)+3×(-2)+C=0，解得C=8，
∴所求直线方程为2x+3y+8=0.故选D.
例7　【解析】在直线m上取一点M(2，0)，
则点M(2，0)关于直线l的对称点M'必在直线m'上.
设M'(a，b)，
则
解得M'，.
设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4，3).
又∵直线m'经过点N(4，3)，
∴由两点式得直线m'的方程为9x-46y+102=0.
巩固训练　(1)B　(2)A　(3)(-2，7)　7x+y+22=0
【解析】(1)设B(a，b)，由题意知，线段AB的中点为(2，1)，则解得所以点B的坐标为(0，2).
(2)因为l和l'关于点P对称，所以两直线平行，可设l'：2x-y+b=0(b≠3)，由点P到两直线的距离相等，得=，解得b=-5或b=3(舍去)，所以直线l'的方程是2x-y-5=0.
(3)设点P关于直线l的对称点为P'(x'，y')，则点P，P'连线的中点M在直线l上，且直线PP'垂直于直线l，即
解得所以点P'的坐标为(-2，7).
由得交点为-，-，取直线x-y-2=0上一点A(0，-2)，设点A关于直线l：3x-y+3=0的对称点为A'(x0，y0)，
则解得
故所求直线过点-，-与(-3，-1).
所以所求直线方程为y+1=-7(x+3)，即7x+y+22=0.
随堂检测·精评价
1.A　【解析】直线x+2=0，即直线x=-2平行于y轴，所以点(5，-3)到直线x=-2的距离d=|5-(-2)|=7.
2.D　【解析】直线方程3x+2y-3=0可以化为6x+4y-6=0，由两条平行直线间的距离公式得d==.
3.x+y+1=0或x=-2　【解析】当直线l的斜率不存在时，直线为x=-2，此时M，N到直线l的距离都为1，故满足题意；
当直线l的斜率存在时，设斜率为k，得直线方程为kx-y+2k+1=0，
由M，N两点到直线l的距离相等，得=，解得k=-1，所以直线方程为x+y+1=0.
综上所述，直线l的方程为x+y+1=0或x=-2.
4.3x-2y+11=0或3x-2y-5=0　【解析】设直线l的方程为3x-2y+c=0(c≠-1，且c≠-13)，由平行线间的距离公式可得2|c+1|=|c+13|，
∴c=11或c=-5，
∴直线l的方程为3x-2y+11=0或3x-2y-5=0.
5.【解析】(1)因为l1∥l2，所以(2a+1)·(-2)-(a+2)(a-1)=0，
整理得a2+5a=a(a+5)=0，解得a=0或a=-5.
当a=0时，l1：x+2y+3=0，l2：-x-2y+2=0，符合题意；
当a=-5时，l1：-9x-3y+3=0，l2：-6x-2y+2=0，l1与l2重合，不满足题意.
综上，a=0.
(2)由(1)得l1：x+2y+3=0，l2：x+2y-2=0，所以两直线之间的距离d==，因为|AB|=，所以直线l与l1，l2均垂直.因为=-，所以kl=2.
又因为直线l过点P(0，1)，所以直线l的方程为y=2x+1.1.1 课时6 两条直线的平行与垂直
【学习目标】
1.理解两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.(直观想象)
2.能根据已知条件判断两条直线的平行与垂直.(逻辑推理)
3.能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题.(数学运算)
【自主预习】
1.我们知道，平面中的两条直线有两种位置关系：相交、平行.当两条直线平行时，它们的斜率一定相等吗
2.当两条直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交.在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形，当直线l1，l2垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若不重合的两条直线的斜率相等，则这两条直线平行. (　　)
(2)若l1∥l2，则k1=k2. (　　)
(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直. (　　)
(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行. (　　)
2.已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率kl=(　　).
A.-3
B.3
C.-
D.
3.若直线l1，l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根，则l1与l2的位置关系是(　　).
A.平行
B.重合
C.相交但不垂直
D.垂直
4.(改编)(多选题)关于过A(m，1)，B(-1，m)两点的直线与过P(1，2)，Q(-5，0)两点的直线，下列说法正确的是(　　).
A.若AB∥PQ，则m=-
B.若AB∥PQ，则m=
C.若AB⊥PQ，则m=-2
D.若AB⊥PQ，则m=2
【合作探究】
探究1　两条直线平行的判定
　　在生活中，我们常看到许多拉直的电线，如图所示.
问题1：图中的电线是什么位置关系
问题2：若把它们放在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角吗 方向相同的直线的倾斜角是否相同
问题3：如果两条不重合的直线的斜率相等，那么这两条直线一定平行吗
　　两直线平行与斜率的关系
(1)对于两条不重合的直线l1：y=k1x+b1和l2：y=k2x+b2(其中b1≠b2)，l1∥l2 k1=k2.
(2)若直线l1与直线l2的斜率都不存在，则它们都是倾斜角为的直线，从而它们互相平行或重合.
拓展：直线l1：A1x+B1y+C1=0，直线l2：A2x+B2y+C2=0，
l1∥l2 A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0).
例1　根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行：
(1)l1经过点A(2，1)，B(-3，5)，l2经过点C(3，-3)，D(8，-7)；
(2)l1经过点E(0，1)，F(-2，-1)，l2经过点G(3，4)，H(2，3)；
(3)l1：3x+5y-6=0，l2：6x+10y+3=0；
(4)l1：x=2，l2：x=4.
【方法总结】
(1)判断两条直线是否平行，首先应看两条直线的斜率是否存在，教材中的平行条件只有在斜率都存在的情况下才可使用.
(2)判断斜率是否相等实际是看倾斜角是否相等，归根结底是充分利用两条直线平行的条件：同位角相等，则两条直线平行.
(3)在两条直线斜率都存在且相等的情况下，应注意两条直线是否重合.
(多选题)满足下列条件的直线l1与l2一定平行的是(　　).
A.l1经过点A(-1，-2)，B(2，1)，l2经过点M(3，4)，N(-1，-1)
B.l1的斜率为1，l2经过点A(1，1)，B(2，2)
C.l1经过点A(0，1)，B(1，0)，l2经过点M(-1，3)，N(2，0)
D.l1经过点A(-3，2)，B(-3，10)，l2经过点M(5，-2)，N(5，5)
探究2　两条直线垂直的判定
问题1：如果两条相交线段所在的直线是垂直的，即倾斜角的差为90°，那么它们的斜率如何
问题2：如果两条直线垂直，那么它们的斜率的积一定等于-1吗
1.对于两条不重合的直线l1：y=k1x+b1和l2：y=k2x+b2，l1⊥l2 k1·k2=-1.
2.特殊地，当l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，说明斜率不存在的直线与x轴垂直，因此，若l1⊥l2，且其中一条直线的斜率不存在，则另一条直线与x轴平行或重合，即另一条直线的斜率为0.
拓展：直线l1：A1x+B1y+C1=0，直线l2：A2x+B2y+C2=0，l1⊥l2 A1A2+B1B2=0.
一、垂直的判断
例2　根据下列给定的条件，判断直线l1与l2是否垂直.
(1)l1经过点A(-1，-2)，B(1，2)，l2经过点M(-2，-1)，N(2，1)；
(2)l1的斜率为-10，l2经过点A(10，2)，B(20，3)；
(3)l1：3x-6y+14=0，l2：2x+y-2=0；
(4)l1：y=-3，l2：x=1.
【方法总结】判定两条直线是否垂直的两种方法：
(1)若两条直线的方程是一般式的形式，则可利用A1A2+B1B2=0判定.
(2)若两条直线的方程不是一般式的形式，可先求出斜率，利用k1·k2=-1判定较简单，但应注意数形结合.
注意公式k1·k2=-1成立的条件，特殊情形要数形结合，做出判断.
二、利用平行、垂直求参数
例3　已知直线l1：(m+2)x+(m2-3m)y+4=0，l2：2x+4(m-3)y-1=0，如果l1∥l2，求m的值.
【方法总结】利用两条直线平行求参数时，要注意直线的斜率不存在的情况是否符合题意，否则会漏解.求出参数值后，一定要验证直线是否有重合的情况.
三、利用平行、垂直的关系求直线方程
例4　已知点A(2，2)和直线l：3x+4y-20=0.求：
(1)过点A且与直线l平行的直线方程；
(2)过点A且与直线l垂直的直线方程.
【方法总结】与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0(C≠C1)，与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0.
已知△ABC的顶点分别为A(1，2)，B(-1，1)，C(0，2)，求BC边上的高所在直线的斜率与倾斜角.
已知直线l1：ax-y+2a=0与l2：(2a-1)x+ay+a=0互相垂直，求a的值.
已知直线l的方程为3x-2y-12=0，分别求满足下列条件的直线l'的方程.
(1)过点(-1，3)，且与l平行；
(2)过点(-1，3)，且与l垂直.
【随堂检测】
1.若经过点P(-2，m)和Q(m，4)的直线平行于斜率等于1的直线，则m的值是(　　).
A.4
B.1
C.1或3
D.1或4
2.过点(0，1)且与直线2x-y+1=0垂直的直线方程是(　　).
A.x+2y-1=0
B.x+2y-2=0
C.2x-y-1=0
D.2x-y-2=0
3.若直线l1：y=-x+2a与直线l2：y=(a2-2)x+2平行，则a=________.
4.已知直线l1：ax+2y-3=0，l2：3x+(a+1)y-a=0，求满足下列条件的实数a的值.
(1)l1∥l2；
(2)l1⊥l2.
参考答案
1.1 课时6 两条直线的平行与垂直
自主预习·悟新知
预学忆思
1.不一定，当两条直线平行，且它们的倾斜角不等于90°时，它们的斜率相等；当两条直线平行，且它们的倾斜角等于90°时，它们的斜率均不存在.
2.若斜率存在，则k1k2=-1，若有一条直线的斜率为0，则另一条直线的斜率不存在.
自学检测
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2.B　【解析】由题意知kAB==3，∵l∥AB，∴kl=3.
3.D　【解析】设l1，l2的斜率分别为k1，k2，由题意知k1·k2=-1，所以l1⊥l2.故选D.
4.BC　【解析】因为P(1，2)，Q(-5，0)，所以kPQ==.
若AB∥PQ，则kAB==kPQ=，解得m=，A错误，B正确；
若AB⊥PQ，则kAB·kPQ=×=-1，解得m=-2，C正确，D错误.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：它们彼此平行.
问题2：每一条直线都有倾斜角.方向相同的直线的倾斜角相同.
问题3：一定.
新知运用
例1　【解析】(1)由题意知，直线l1的斜率k1==-，直线l2的斜率k2==-，所以直线l1与直线l2平行或重合，又kBC==-≠-，所以l1∥l2.
(2)由题意知，直线l1的斜率k1==1，直线l2的斜率k2==1，所以直线l1与直线l2平行或重合，又kFG==1，所以直线l1与直线l2重合.
(3)将两条直线方程分别化为斜截式，得l1：y=-x+，l2：y=-x-，则l1的斜率k1=-，l1在y轴上的截距b1=，l2的斜率k2=-，l2在y轴上的截距b2=-.
因为k1=k2，b1≠b2，所以l1∥l2.
(4)由方程知l1⊥x轴，l2⊥x轴，且两条直线在x轴上的截距不相等，所以l1∥l2.
巩固训练　CD　【解析】设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2.
对于A，k1==1，k2==，k1≠k2，故l1与l2不平行.
对于B，k1=1，k2==1，k1=k2，故l1∥l2或l1与l2重合.
对于C，k1==-1，k2==-1，则k1=k2.又kAM==-2≠-1，所以A，B，M三点不共线.故l1∥l2.
对于D，由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故l1∥l2.
故选CD.
探究2　情境设置
问题1：不妨设直线l1，l2(斜率存在)所对应的倾斜角分别为α1，α2，对应的斜率分别为k1，k2.因为两条直线互相垂直，不妨设α1-α2=90°.根据倾斜角与斜率的关系，我们知道当倾斜角不是直角时，斜率存在，从而有k1=tan α1，k2=tan α2，
于是根据诱导公式有k1=tan α1=tan(90°+α2)=-=-，即k1k2=-1.
问题2：不一定.若两条直线的斜率都存在，则它们垂直时斜率的积是-1；若两条直线垂直，且它们的斜率一个是0，另一个不存在，则它们的斜率的积不等于-1.
新知运用
例2　【解析】(1)直线l1的斜率k1==2，直线l2的斜率k2==，
因为k1k2=1，所以l1与l2不垂直.
(2)直线l1的斜率k1=-10，直线l2的斜率k2==，
因为k1k2=-1，所以l1⊥l2.
(3)将两条直线的方程化为斜截式，得l1：y=x+，l2：y=-2x+2，则l1的斜率k1=，l2的斜率k2=-2.因为k1k2=-1，所以l1⊥l2.
(4)由直线l1和l2的方程知l1⊥y轴，l2⊥x轴，所以l1⊥l2.
例3　【解析】因为l1∥l2，所以
解得m=3或m=-4.
例4　【解析】(1)(法一)利用直线方程的点斜式求解.
由l：3x+4y-20=0，得k=-.
设过点A且平行于l的直线为l1，
则直线l1的斜率k1=k=-，
所以l1的方程为y-2=-(x-2)，即3x+4y-14=0.
(法二)利用直线系方程求解.
设过点A且平行于直线l的直线l1的方程为3x+4y+m=0.
由点A(2，2)在直线l1上，
得3×2+4×2+m=0，解得m=-14.
故直线l1的方程为3x+4y-14=0.
(2)(法一)设过点A且与l垂直的直线为l2，l2的斜率为k2.
因为kk2=-1，所以k2=，
故直线l2的方程为y-2=(x-2)，即4x-3y-2=0.
(法二)利用直线系方程求解.
设过点A且垂直直线l的直线l2的方程为4x-3y+n=0.
因为l2经过点A(2，2)，
所以4×2-3×2+n=0，解得n=-2.
故l2的方程为4x-3y-2=0.
巩固训练1　【解析】设BC边上的高所在直线的斜率为k，则k·kBC=-1.
∵kBC==1，∴k=-1，
∴BC边上的高所在直线的斜率为-1，倾斜角为135°.
巩固训练2　【解析】当a≠0时，l1的斜率k1=a，l2的斜率k2=-，∵l1⊥l2，∴a·-=-1，解得a=1.
当a=0时，直线l1的斜率为0，l2的斜率不存在，两条直线垂直.
综上所述，a=0或a=1.
巩固训练3　【解析】(1)由l'与l平行，可设l'的方程为3x-2y+m=0.
将(-1，3)代入上式，得m=9，
∴所求直线l'的方程为3x-2y+9=0.
(2)由l'与l垂直，可设其方程为2x+3y+n=0.
将(-1，3)代入上式，得n=-7，
∴所求直线l'的方程为2x+3y-7=0.
随堂检测·精评价
1.B　【解析】由题意知，=1，解得m=1.
2.B　【解析】因为过点(0，1)的直线与直线2x-y+1=0垂直，
所以过点(0，1)的直线的斜率k=-，
所以所求直线的方程为y-1=-(x-0)，即x+2y-2=0.
3.-1　【解析】因为l1∥l2，所以a2-2=-1，且2a≠2，
解得a=-1.
4.【解析】(1)∵l1∥l2，
∴解得a=2.
(2)由l1⊥l2得a·3+2·(a+1)=0，解得a=-.1.1 课时2 直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系
【学习目标】
1.掌握直线的斜率与倾斜角的关系.(逻辑推理)
2.理解直线的方向向量的概念.(数学抽象)
3.通过对直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系的学习，培养学生直观想象、数学运算等核心素养.
【自主预习】
　　直线的倾斜角和斜率都是描述直线的倾斜程度的，倾斜角是一个几何图形，斜率是倾斜程度的代数表示，为我们用代数方法研究直线提供了一种工具.
阅读教材，回答下列问题：
1.倾斜角α与斜率k之间有什么关系
2.直线的方向向量是怎么定义的
3.若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率是多少
1.(多选题)下列说法错误的是(　　).
A.若直线的斜率存在，则必有一个倾斜角与之对应
B.每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应
C.直线的方向向量是唯一的
D.若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α
2.已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为(　　).
A.
B.
C.1
D.
3.已知经过点P(3，m)和点Q(m，-2)的直线的一个方向向量为(1，2)，则实数m的值为(　　).
A.-1
B.1
C.2
D.
4.若直线l经过A(2，1)，B(1，-m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是________.
【合作探究】
探究1　直线的倾斜角与斜率的关系
问题1：画出正切函数y=tan x，x∈[0，π)的图象.
问题2：直线的斜率k随倾斜角α的增大而增大吗
问题3：斜率的正负与倾斜角范围有什么联系
1.直线的倾斜角与斜率的关系
k=tan α其中α≠.
2.直线的倾斜角与斜率的变化关系
(1)当α∈0，时，斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而增大；
(2)当α∈，π时，斜率k<0，且k随倾斜角α的增大而增大；
(3)当α=时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在.
例1　已知直线l过M(m+1，m-1)，N(2m，1)两点.
(1)若直线l的倾斜角是45°，求直线l的斜率和m的值.
(2)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°
(3)试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围.
【方法总结】直线的倾斜角和斜率的关系
(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率.当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合).(2)当0°≤α<90°时，斜率为非负数；当90°<α<180°时，斜率为负数.
若过M(3，y)，N(0，)两点的直线的倾斜角为150°，则y的值为(　　).
A.
B.0
C.-
D.3
已知两点A(-1，2)，B(m，3).
(1)求直线AB的斜率k；
(2)若实数m∈--1，-1，求直线AB的倾斜角α的取值范围.
探究2　直线的方向向量
　　一种卫星天线接收信号的方式如图所示.
问题1：图中向量与是否共线 向量能作为直线P1P2的方向向量吗
问题2：将上图放在平面直角坐标系中，若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，你能写出的坐标表示吗 能用表示吗
1.直线的方向向量
直线l上的向量以及与它平行的向量都是直线l的方向向量.设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线l的方向向量的坐标为(x2-x1，y2-y1).
2.直线的斜率与方向向量的坐标之间的关系
若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则k=.
例2　已知直线l的倾斜角的取值范围为，，直线l的方向向量为(1，m)，求实数m的取值范围.
【方法总结】已知倾斜角的取值范围，求该角正切值的取值范围，可以结合正切函数的图象求解.
已知过点M(-2，m)，N(m，4)的直线的一个方向向量的坐标为(-2，1)，则实数m的值为________.
【随堂检测】
1.若直线l的斜率为，则l的倾斜角为(　　).
A.
B.
C.
D.
2.已知经过A(0，2)，B(-，3)两点的直线的一个方向向量为(1，k)，则k的值为(　　).
A.
B.
C.-
D.-
3.已知过A(4，y)，B(2，-3)两点的直线的倾斜角为135°，则y=________.
4.已知交于点M(8，6)的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，且直线l2过点N(5，3)，求这四条直线的倾斜角.
参考答案
1.1 课时2 直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系
自主预习·悟新知
预学忆思
1.k=tan α其中α≠.
2.若k是直线l的斜率，则v=(1，k)是它的一个方向向量.
3.它的斜率k=.
自学检测
1.CD　【解析】由直线的倾斜角与斜率的概念，知A，B均正确；因为直线的方向向量有无数个，所以不唯一，所以C错误；因为倾斜角是90°的直线没有斜率，所以D错误.
2.A　【解析】由题意可知，直线l的斜率k=tan 30°=.
3.D　【解析】由已知得k==2，解得m=.
4.≤α<　【解析】因为直线l经过A(2，1)，B(1，-m2)(m∈R)两点，
所以kl=tan α==1+m2≥1.
因为0≤α<π，所以≤α<.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：
问题2：不是，在0，内，k随α的增大而增大，在，π内，k也是随α的增大而增大的.
问题3：当k=tan α<0时，倾斜角α是钝角；
当k=tan α>0时，倾斜角α是锐角；
当k=tan α=0时，倾斜角α是零角.
新知运用
例1　【解析】(1)由已知得k=tan α=tan 45°=1，
所以kMN==1，解得m=.
故直线l的斜率是1，m的值为.
(2)因为l的倾斜角为90°，即l平行于y轴，所以m+1=2m，得m=1.
(3)由题意知解得1巩固训练1　B　【解析】由斜率公式知=tan 150°，即=-，∴y=0.
巩固训练2　【解析】(1)当m=-1时，直线AB的斜率不存在；
当m≠-1时，直线AB的斜率k==.
(2)当m=-1时，α=，
当m≠-1时，k=.
因为m∈--1，-1，且m≠-1，
所以-≤m+1≤，且m+1≠0，
所以 ≤-或≥，即tan α≤-或tan α≥，
所以α∈，∪，.
综上，直线AB的倾斜角α的取值范围是，.
探究2　情境设置
问题1：向量与共线；能.
问题2：能，=(x2-x1，y2-y1)；能，=λ(λ<0).
新知运用
例2　【解析】因为tan =，tan =-1，由正切函数的图象可得，当θ∈，时，tan θ∈(-∞，-1]∪[，+∞).因为k==m，所以实数m的取值范围为(-∞，-1]∪[，+∞).
巩固训练　10　【解析】由题意得直线的斜率k=-，因为直线过点M(-2，m)，N(m，4)，所以k==-，解得m=10.
随堂检测·精评价
1.C　【解析】设直线l的倾斜角为α，则tan α=.
又∵α∈[0，π)，∴α=.故选C.
2.D　【解析】由题意得=，解得k=-.
3.-5　【解析】直线AB的斜率k=tan 135°=-1，又k=，所以=-1，解得y=-5.
4.【解析】∵l2的斜率为=1，∴l2的倾斜角为45°.
由题意可得，l1的倾斜角为22.5°，l3的倾斜角为67.5°，l4的倾斜角为90°.1.1 课时3 直线方程的点斜式
【学习目标】
1.了解直线方程的点斜式的推导过程.(直观想象)
2.掌握直线方程的点斜式并会应用.(数学运算)
3.掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念.(逻辑推理)
4.通过对直线方程的点斜式的学习，培养学生逻辑推理、数学运算等核心素养.
【自主预习】
1.已知直线上一点P0(x0，y0)与它的斜率k，我们能否将直线上所有点的坐标P(x，y)满足的关系表示出来
2.确定一条直线的几何要素是什么
3.直线方程的点斜式y=kx+b的几何意义是什么
4.k=与y-y1=k(x-x1)表示同一直线吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线y-3=m(x+1)恒过定点(-1，3). (　　)
(2)直线y=2x+3在y轴上的截距为3. (　　)
(3)直线的点斜式方程也可写成=k. (　　)
(4)斜率不存在的直线的方程为x-x0=0. (　　)
2.已知直线的方程为y+3=-(x-1)，则(　　).
A.该直线过点(-1，-3)，斜率为-1
B.该直线过点(-1，-3)，斜率为1
C.该直线过点(1，-3)，斜率为-1
D.该直线过点(1，-3)，斜率为1
3.(改编)(多选题)已知A(3，-1)，B(-，2)，C(0，3)，D(-4，-2)，则(　　).
A.过点A且斜率为的直线的方程为y+1=(x-3)
B.过点B且倾斜角是30°的直线的方程为y-2=(x+)
C.过点C且倾斜角是0°的直线的方程为y-3=0
D.过点D且倾斜角是的直线的方程为y+2=-(x+4)
4.已知直线l的倾斜角为45°，且过点(1，2)，则在直线l上的点是(　　).
A.(0，1)
B.(-2，3)　
C.(3，3)
D.(3，2)
【合作探究】
探究1　直线方程的点斜式
　　斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线为x轴，索塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则斜拉索可看成过索塔上同一点的直线.
问题1：已知某一斜拉索过索塔上一点B，那么该斜拉索位置是确定的吗
问题2：若某条斜拉索过点B(0，b)，斜率为k，则该斜拉索所在直线上的点P(x，y)满足什么条件 该直线的方程是什么
问题3：直线的点斜式方程的前提条件是什么
问题4：当k取任意实数时，方程y-y0=k(x-x0)表示的直线有何特征
问题5：如果直线l过点P(x0，y0)，且平行于坐标轴，此时的直线方程是什么
1.点斜式：方程y-y0=k(x-x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫作直线的点斜式方程，简称点斜式.
2.特殊的直线方程
直线l过定点P(x0，y0)，
(1)当直线l的倾斜角为0°时，直线l与x轴平行或重合，方程为y-y0=0，即y=y0；
(2)当直线l的倾斜角为90°时，l没有点斜式，l与y轴平行或重合，方程为x-x0=0，即x=x0.
3.经过点P(x0，y0)的直线有无数条，可以分为两类：
(1)斜率存在的直线，方程为y-y0=k(x-x0)；
(2)斜率不存在的直线，方程为x-x0=0，即x=x0.
例1　求满足下列条件的直线的点斜式方程：
(1)过点P(-4，3)，斜率k=-3；
(2)过点P(3，-4)，且与x轴平行；
(3)过P(-2，3)，Q(5，-4)两点.
【方法总结】求直线方程的点斜式的步骤
若直线l过点(2，1)，分别求出满足下列条件的直线l的方程：
(1)倾斜角为150°；
(2)平行于x轴；
(3)平行于y轴；
(4)过原点.
探究2　直线方程的斜截式
问题1：方程y=kx+b的特点是什么
问题2：直线方程的斜截式是由什么推导而来的
问题3：斜截式中的“纵截距”是恒为正数吗
1.k，b的几何意义
k为直线l的斜率，b为直线l在y轴上的截距.
2.直线方程的斜截式
y=kx+b为直线方程的斜截式.
特别提醒：(1)倾斜角是________的直线没有斜截式.
(2)斜截式应用的前提是直线的斜率存在.
(3)纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零.
例2　根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是-2.
【方法总结】
(1)直线方程的斜截式是点斜式的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示.
(2)直线方程的斜截式y=kx+b中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需知道参数k，b的值即可.
求倾斜角是直线y=-x+1的倾斜角的，且在y轴上的截距是-5的直线的方程.
探究3　直线过定点问题
　　下面是一个风车示意图，无论怎么转动，风扇都不会离开轴.
问题1：若把风车放到下图的平面直角坐标系中，图中直线恒过哪个定点
问题2：若将图中直线抽象成y=kx-2k+2，则该直线恒过哪个定点
　　判断直线过定点的方法
(1)分离参数法：当k取任意实数时，方程y-y0=k(x-x0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线.
(2)赋值法：令参数为两个合适的常数，得到两个关于x，y的方程，联立方程组求解，把方程组的解代入直线方程进行检验，满足直线方程则说明该方程组的解就是定点的坐标.
例3　无论a取何值，直线y=3a(x-1)+4+a恒过点________.
【方法总结】求直线过定点的依据是点斜式，可以写成点斜式的形式求解，也可以根据等式恒成立赋值，建立方程组求解.
已知直线l：y=kx+2k+1.
(1)求证：直线l恒过一个定点.
(2)当-3【随堂检测】
1.方程y-y0=k(x-x0)(　　).
A.可以表示任何直线
B.不能表示过原点的直线
C.不能表示与y轴垂直的直线
D.不能表示与x轴垂直的直线
2.直线y+2=k(x+1)恒过点(　　).
A.(2，1)
B.(-2，-1)
C.(-1，-2)
D.(1，2)
3.过点(1，1)且以 v=(1，-2)为方向向量的直线的方程是________.
4.已知直线y=-x+5的倾斜角是直线l的倾斜角的5倍，分别求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过点P(3，-4)；
(2)与x轴的交点为(-2，0)；
(3)在y轴上的截距为3.
参考答案
1.1 课时3 直线方程的点斜式
自主预习·悟新知
预学忆思
1.能，由斜率公式得=k，即y-y0=k(x-x0).
2.①已知一点和斜率；②已知两点.
3.k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距.
4.方程k=表示的直线缺少一个点P1(x1，y1)，而方程y-y1=k(x-x1)表示的是整条直线.
自学检测
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2.C　【解析】因为直线方程为y+3=-(x-1)，所以直线的斜率为-1，且当x=1时，y=-3，故直线过点(1，-3).
3.ACD　【解析】对于A，直线经过点A(3，-1)，斜率是，所以直线的点斜式方程为y+1=(x-3)，A正确；对于B，因为直线的倾斜角是30°，所以斜率为，又直线经过点B(-，2)，所以直线的点斜式方程为y-2=(x+)，B错误；对于C，因为直线的倾斜角是0°，所以斜率为0，又直线经过点C(0，3)，所以直线的点斜式方程为y-3=0，C正确；对于D，因为直线的倾斜角是，所以k=-，又直线经过点D(-4，-2)，所以直线的点斜式方程为y+2=-(x+4)，D正确.
4.A　【解析】直线的斜率k=tan 45°=1，且过点(1，2)，则直线方程为y-2=x-1，即y=x+1，将A，B，C，D中的坐标代入，可知A正确.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：不确定，从一点可引出多条斜拉索.
问题2：满足=k.该直线方程为y=kx+b.
问题3：直线过一点P(x0，y0)和斜率存在.只有这两个条件都具备，才可以写出直线的点斜式方程.
问题4：方程y-y0=k(x-x0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线.
问题5：当l与x轴平行(或与x轴重合)时，这时倾斜角为0°，tan 0°=0，即k=0，由点斜式得y=y0，如图①所示.
当l与y轴平行(或与y轴重合)时，它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时直线方程表示为x=x0，如图②所示.
新知运用
例1　【解析】(1)∵直线过点P(-4，3)，斜率k=-3，
∴该直线方程的点斜式为y-3=-3(x+4).
(2)与x轴平行的直线的斜率k=0，故该直线方程的点斜式为y-(-4)=0×(x-3)，即y+4=0.
(3)过P(-2，3)，Q(5，-4)两点的直线的斜率kPQ===-1.
又∵直线过点P(-2，3)，∴该直线方程的点斜式为y-3=-(x+2)(或又∵直线过点Q(5，-4)，∴该直线方程的点斜式为y+4=-(x-5).
巩固训练　【解析】(1)因为直线l的斜率k=tan 150°=-，
所以直线l的方程的点斜式为y-1=-(x-2).
(2)平行于x轴的直线的斜率k=0，故所求直线l的方程为y=1.
(3)过点(2，1)且平行于y轴的直线l的方程为x=2.
(4)过点(2，1)与点(0，0)的直线l的斜率k=，
故所求的直线l的方程为y=x.
探究2　情境设置
问题1：左端y的系数恒为1，右端x的系数为k，常数项为b.
问题2：是由点斜式推导而来的.
问题3：不一定，截距是坐标值，它可能是正数，也可能是负数，还可能为0，不能将其理解为“距离”就恒为正.
新知生成
2.(1)直角
新知运用
例2　【解析】(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的方程为y=2x+5.
(2)因为直线的倾斜角α=150°，所以其斜率k=tan 150°=-，故该直线方程的斜截式为y=-x-2.
巩固训练　【解析】∵直线y=-x+1的斜率k=-，∴其倾斜角α=120°.由题意得所求直线的倾斜角α1=α=30°，故所求直线的斜率k1=tan 30°=.
∵所求直线的斜率是，在y轴上的截距为-5，
∴所求直线的方程为y=x-5.
探究3　情境设置
问题1：图中直线恒过定点A.
问题2：将直线方程化成y-2=k(x-2)，故该直线恒过定点(2，2).
新知运用
例3　，4　【解析】(法一)将直线方程变形为y=a(3x-2)+4，则当3x-2=0时，y=4，所以即直线过定点，4.
(法二)当a=0时，y=4；当a=1时，y=3x+2.
由得　①
将①式代入直线方程中检验，知点，4在此直线上，因此，直线过定点，4.
巩固训练　【解析】(1)由y=kx+2k+1，得y-1=k(x+2).
由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(-2，1).
(2)设函数f(x)=kx+2k+1，显然其图象是一条直线(如图所示)，若当-3直线l上的点都在x轴上方，则需满足
即解得-≤k≤1，所以实数k的取值范围是-，1.
随堂检测·精评价
1.D　【解析】直线方程的点斜式不能表示斜率不存在的直线，即不能表示与x轴垂直的直线.
2.C　【解析】因为直线y+2=k(x+1)，所以由直线的点斜式方程可得直线恒过点(-1，-2).
3.y=-2x+3　【解析】∵直线的一个方向向量为 v=(1，-2)，∴直线的斜率k=-2，
∵直线过点(1，1)，∴直线的方程为y-1=-2(x-1)，即y=-2x+3.
4.【解析】直线y=-x+5的斜率k=tan α=-，∴α=150°，故直线l的倾斜角为30°，其斜率k'=.
(1)由直线l过点P(3，-4)及直线方程的点斜式得直线l的方程为y+4=(x-3)，即y=x--4.
(2)直线l过点(-2，0)，由直线方程的点斜式得直线l的方程为y-0=(x+2)，即y=x+.
(3)∵直线l在y轴上的截距为3，∴该直线方程的斜截式为y=x+3.

展开更多......

收起↑