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1.2 课时4 圆与圆的位置关系
【学习目标】
1.理解圆与圆的几种位置关系的性质及判定.(直观想象)
2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.在之前，我们有研究过直线与直线的位置关系、直线与圆的位置关系，那么圆与圆的位置关系又有几种呢
2.如何判断出两圆的位置关系
3.已知两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，那么两圆外切. (　　)
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，那么两圆相交. (　　)
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程. (　　)
(4)过圆O：x2+y2=r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2. (　　)
2.圆O1：x2+y2-2x=0和圆O2：x2+y2-4y=0的位置关系为(　　).
A.相离
B.相交
C.外切
D.内切
3.已知两圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________.
4.已知圆x2+y2=1与圆x2-6x+y2-8y+m+6=0相外切，求实数m的值.
【合作探究】
探究1　判断圆与圆的位置关系
　　如图，这是在某地12月24日拍到的日环食的全过程.
可以用两个圆来表示上述变化过程.
根据上图，结合平面几何，判断圆与圆的位置关系.能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系
问题1：将两个相交圆的方程x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0(i=1，2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性呢
问题2：判断两圆的位置关系有什么方法
1.圆与圆的位置关系
圆与圆之间存在以下三种位置关系：
(1)两圆相交，有两个公共点；
(2)两圆相切，包括内切与外切，只有一个公共点；
(3)两圆相离，包括外离与内含，没有公共点.
2.圆与圆位置关系的判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判定方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r2的 关系 ________ ________ ________ ________ ________
　(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.
一元二次方程
例1　已知圆C1：x2+y2-4x-6y+9=0与圆C2：(x+1)2+(y+1)2=9，则圆C1与圆C2的位置关系为(　　).
A.相交
B.外切
C.外离
D.内含
【方法总结】判断圆与圆的位置关系的一般步骤：(1)将两圆的方程化为标准方程(若圆的方程已是标准形式，此步骤不需要)；(2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r1，r2；(3)求两圆的圆心距d；(4)比较d与|r1-r2|，r1+r2的大小关系；(5)根据大小关系确定位置关系.
圆C1：x2+y2-2x-3=0和圆C2：x2+y2-4x+2y+3=0的位置关系是(　　).
A.外离
B.相切
C.相交
D.内含
探究2　两圆位置关系的应用
　　已知圆C1：x2+y2-2x-3=0和圆C2：x2+y2-6x+2y+1=0.
问题1：你能判断出两圆的位置关系吗
问题2：若将两个圆的方程相减，你发现了什么 所得方程具有什么特性
1.将两个相交圆的方程x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0(i=1，2)相减，可得一直线方程，该直线经过两圆的公共点.经过两个相交圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线.
2.两圆公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.
例2　已知圆C1：x2+y2-2x-6y-1=0和圆C2：x2+y2-10x-12y+45=0.
(1)求证：圆C1和圆C2相交.
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
【方法总结】处理与圆有关的问题，利用圆的几何性质往往比较简单，要注意体会和应用.
已知圆C1：x2+y2+2y-3=0和圆C2：x2+y2-4x-2y+1=0.
(1)判断两圆的位置关系；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程及公共弦长.
【随堂检测】
1.圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+(y-3)2=1的公切线有且仅有(　　).
A.1条　　　
B.2条
C.3条　　　
D.4条
2.若圆C1：(x-m)2+(y+2)2=9与圆C2：(x+1)2+(y-m)2=4外切，则实数m的值为________.
3.已知圆x2+y2+2x-4y-5=0与圆x2+y2+2x-1=0相交于A，B两点，则公共弦AB的长度是________.
4.已知以C(4，-3)为圆心的圆与圆O：x2+y2=1相切，求圆C的方程.
参考答案
1.2 课时4 圆与圆的位置关系
自主预习·悟新知
预学忆思
1.按交点个数可分为三种位置关系.
2.通过两圆的交点个数或圆心距与两圆半径的大小关系.具体如下：
设两圆的圆心距为l，圆C1的半径为r1，圆C2的半径为r2，则判断圆C1与圆C2的位置关系的依据有以下几点：
①当l>r1+r2时，圆C1与圆C2外离；
②当l=r1+r2时，圆C1与圆C2外切；
③当|r1-r2|④当l=|r1-r2|时，圆C1与圆C2内切；
⑤当l<|r1-r2|时，圆C1与圆C2内含.
3.联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，当Δ>0时，两圆相交，当Δ=0时，两圆外切或内切，当Δ<0时，两圆外离或内含.
自学检测
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.B　【解析】由题意得圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径r1=1；圆O2的圆心坐标为(0，2)，半径r2=2.因为1=r2-r1<|O1O2|=3.x+3y=0　【解析】(x-1)2+(y-3)2=20化为一般式为x2+y2-2x-6y-10=0，　①
又圆x2+y2=10，即x2+y2-10=0，　②
①-②得x+3y=0，即为直线AB的方程.
4.【解析】由x2-6x+y2-8y+m+6=0可得(x-3)2+(y-4)2=19-m，
因为19-m>0，所以m<19，
所以圆x2-6x+y2-8y+m+6=0的圆心坐标为(3，4)，半径为.
又圆x2+y2=1的圆心坐标为(0，0)，半径为1，圆x2+y2=1与圆x2-6x+y2-8y+m+6=0相外切，所以=1+，解得m=3.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：两圆相减得到一直线方程，它经过两圆的公共点.经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线.
问题2：判断两圆的位置关系，我们可以类比直线与圆的位置关系的判定，目前我们只有初中学过的几何法，利用圆心距与两圆半径的和与差的绝对值之间的关系判断.
新知生成
2.(1)d>r1+r2　d=r1+r2　|r1-r2|外离或内含
新知运用
例1　B　【解析】圆C1：x2+y2-4x-6y+9=0化成标准方程为(x-2)2+(y-3)2=4，圆心为C1(2，3)，半径r1=2.
圆C2：(x+1)2+(y+1)2=9，圆心为C2(-1，-1)，半径r2=3.
所以|C1C2|==5=r1+r2，故圆C1与圆C2的位置关系为外切.
巩固训练　C　【解析】(法一：几何法)把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x-1)2+y2=4，(x-2)2+(y+1)2=2，所以两圆的圆心分别为C1(1，0)，C2(2，-1)，半径分别为r1=2，r2=，则|C1C2|==，r1+r2=2+，r1-r2=2-，故r1-r2<|C1C2|(法二：代数法)由解得即方程组有2组解，也就是说两圆的交点个数为2，故可判断两圆相交.
探究2　情境设置
问题1：圆C1的圆心为(1，0)，半径为2；圆C2的圆心为(3，-1)，半径为3.
两圆的圆心距d==.
因为1<<5，所以两圆相交.
问题2：若将两个圆的方程相减，得到y=2x-2，所得方程是直线方程.特性是它过两圆的交点，是两个相交圆的公共弦的方程.
新知运用
例2　【解析】(1)圆C1的圆心为C1(1，3)，半径为r1=，
圆C2的圆心为C2(5，6)，半径为r2=4，
两圆的圆心距d=|C1C2|=5，r1+r2=+4，|r1-r2|=4-，
所以|r1-r2|(2)将圆C1和圆C2的方程相减，得4x+3y-23=0，
所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y-23=0.
圆心C2(5，6)到直线4x+3y-23=0的距离为=3，
故公共弦长为2=2.
巩固训练　【解析】(1)由
得x2-2x=0，　①
因为Δ=(-2)2-4×1×0=4>0，
所以两圆相交.
(2)两圆作差得x+y-1=0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为x+y-1=0.
由①得x1=0，x2=2，代入上式得y1=1，y2=-1，
所以两圆交点的坐标为(0，1)，(2，-1).
由两点间的距离公式得=2，
所以所求弦长为2.
随堂检测·精评价
1.D　【解析】因为两圆的圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，所以公切线的条数为4.
2.2或-5　【解析】圆C1的圆心为C1(m，-2)，半径r1=3，圆C2的圆心为C2(-1，m)，半径r2=2，由题意得|C1C2|=5，即(m+1)2+(m+2)2=25，解得m=2或m=-5.
3.2　【解析】由题意知，AB所在直线的方程为(x2+y2+2x-4y-5)-(x2+y2+2x-1)=0，即y=-1.
因为圆x2+y2+2x-1=0的圆心为P(-1，0)，半径r=，
所以圆心P(-1，0)到直线y=-1的距离为1，
所以|AB|=2=2.
4.【解析】设圆C的半径为r，
圆心距d==5.
当圆C与圆O外切时，r+1=5，即r=4；
当圆C与圆O内切时，r-1=5，即r=6.
故圆C的方程为(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36.1.2 课时1 圆的标准方程
【学习目标】
1.理解圆的定义，体会推导圆的标准方程的过程.(逻辑推理)
2.利用待定系数法、几何性质法求圆的标准方程.(数学运算)
3.结合圆的标准方程，体会判断点与圆的位置关系的两种方法.(直观想象)
【自主预习】
1.圆的定义是什么
2.确定圆的基本要素是什么
3.已知圆的圆心为A(a，b)，半径为r，你能写出圆的标准方程吗
4.点与圆的位置关系有几种
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆. (　　)
(2)若圆的标准方程为(x+m)2+(y+n)2=a2(a≠0)，则此圆的半径一定是a. (　　)
(3)圆的标准方程由圆心和半径确定. (　　)
(4)若某点正好是圆的圆心，则该点是圆上的点. (　　)
2.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心和半径分别是(　　).
A.(-2，3)，1
B.(2，-3)，3
C.(-2，3)，
D.(2，-3)，
3.(改编)已知△AOB的三个顶点分别为A(4，0)，O(0，0)，B(0，2)，则△AOB外接圆的标准方程为________.
4.已知点(1，1)在圆(x+2)2+y2=m上，求圆的标准方程.
【合作探究】
探究1　圆的标准方程
　　“南昌之星”摩天轮于2006年建成，位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南昌市标志性建筑之一.该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米.
问题1：游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗
问题2：若以摩天轮的中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，则游客在任一点(x，y)的坐标满足什么关系
问题3：以(1，2)为圆心，3为半径的圆上任一点的坐标(x，y)满足什么关系
问题4：确定圆的标准方程需具备哪些条件
　　圆的标准方程
(1)圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点的集合(或轨迹)，其中定点是圆心，定长是半径.
(2)圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2.　①
平面内圆C上的点P的坐标(x，y)满足方程①，反之，以满足方程①的(x，y)为坐标的点P一定在圆C上.因此，方程①是以点C(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程，称此方程为圆的标准方程.
例1　求过点A(1，-1)，B(-1，1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程.
【方法总结】求圆的标准方程的主要方法
(1)几何法：利用圆的几何性质，直接求出圆心和半径，代入圆的标准方程.
(2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，其步骤为设方程、列式、求解.
(2022年全国甲卷)设点M在直线2x+y-1=0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为________.
探究2　点与圆的位置关系
　　爱好运动的李峰、张强、刁鹏三人相邀进行掷飞镖比赛，他们把靶子钉在土墙上，规定谁的飞镖离靶心O最近，谁获胜.如图，A，B，C分别是他们掷一轮飞镖的落点.
问题1：点与圆的位置关系有哪几种
问题2：如何判断他们的胜负
　　设点P到圆心的距离为d，半径为r.
d与r的大小 点与圆的位置关系
dd=r 点P在圆上
d>r 点P在圆外
例2　(1)写出圆心为A(2，-3)，半径等于5的圆的方程，并判断点M1(5，-7)，M2(-，-1)是否在这个圆上.
(2)已知点M(5+1，)在圆(x-1)2+y2=26的内部，求实数a的取值范围.
【方法总结】(1)判断点与圆的位置关系的方法：①只需计算该点与圆心的距离，与半径作比较即可；②把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并做出判断.
(2)若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数的取值范围.
已知点(1，1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的外部，则实数a的取值范围为________.
【随堂检测】
1.经过坐标原点，且圆心坐标为(-1，1)的圆的标准方程是(　　).
A.(x-1)2+(y-1)2=2
B.(x-1)2+(y+1)2=2
C.(x+1)2+(y-1)2=2
D.(x+1)2+(y+1)2=2
2.已知点P(a，10)与圆(x-1)2+(y-1)2=2，则点P与圆的位置关系是(　　).
A.在圆内
B.在圆上
C.在圆外
D.不确定
3.圆心为直线x-y+2=0与直线2x+y-8=0的交点，且过原点的圆的标准方程是________.
4.已知△ABC的三个顶点为A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，求△ABC的外接圆的方程.
参考答案
1.2 课时1 圆的标准方程
自主预习·悟新知
预学忆思
1.平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆.
2.确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示.
3.能，圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.
4.在圆内、在圆上、在圆外，共三种.
自学检测
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.D　【解析】由圆的标准方程可得圆心为(2，-3)，半径为.
3.(x-2)2+(y-1)2=5　【解析】依题意可知OA⊥OB，所以AB是外接圆的直径，所以圆心为(2，1)，半径为=，
所以△AOB外接圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
4.【解析】∵点(1，1)在圆(x+2)2+y2=m上，∴(1+2)2+12=m，∴m=10.故圆的标准方程为(x+2)2+y2=10.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：一样.圆上的点到圆心的距离都是相等的，都等于圆的半径.
问题2：=.
问题3：=3.
问题4：圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中有三个参数，要确定圆的标准方程需要确定这三个参数，其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径r是圆的定量条件.
新知运用
例1　【解析】(法一)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，
由已知条件知
解得
故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
(法二)设点C为圆心，∵点C在直线x+y-2=0上，
∴可设点C的坐标为(a，2-a).
又∵该圆经过A，B两点，
∴|CA|=|CB|，
∴=，
解得a=1，
∴圆心坐标为C(1，1)，半径r=|CA|=2，
故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
(法三)由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)，
kAB==-1，
∴弦AB的垂直平分线的斜率k=1，
∴AB的垂直平分线的方程为y-0=1·(x-0)，即y=x，
则圆心是直线y=x与x+y-2=0的交点.
由得
即圆心为(1，1)，圆的半径为=2，
故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
巩固训练　(x-1)2+(y+1)2=5　【解析】∵点M在直线2x+y-1=0上，
∴设点M为(a，1-2a)，又点(3，0)和(0，1)均在☉M上，
∴点M到这两点的距离相等且为半径R，
∴==R，
a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2，解得a=1，
∴M(1，-1)，R=，
故☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
探究2　情境设置
问题1：点在圆外、圆上、圆内，共三种.
问题2：利用点与圆心的距离判断.
新知运用
例2　【解析】(1)圆心为A(2，-3)，半径等于5的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25，
把点M1(5，-7)，M2(-，-1)的坐标分别代入方程(x-2)2+(y+3)2=25，
可得点M1的坐标满足方程，点M1在圆上；点M2的坐标不满足方程，点M2不在圆上.
(2)由题意知
即解得0≤a<1.
巩固训练　(-∞，-1)∪(1，+∞)　【解析】由题意知，(1-a)2+(1+a)2>4，则2a2-2>0，即a<-1或a>1.
随堂检测·精评价
1.C　【解析】根据题意知，圆的圆心为(-1，1)，且过原点，则其半径r==，故其标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2.
2.C　【解析】∵(a-1)2+(10-1)2=81+(a-1)2>2，∴点P在圆外.
3.(x-2)2+(y-4)2=20　【解析】由可得即圆心为(2，4)，从而r==2，故圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=20.
4.【解析】易知△ABC是直角三角形，∠B=90°，
所以圆心是斜边AC的中点(2，2)，半径是斜边长的一半，即r=，所以外接圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=5.1.2 课时2 圆的一般方程
【学习目标】
1.正确理解圆的一般方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.(逻辑推理)
2.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.(数学运算)
3.明确求动点的轨迹及轨迹方程的步骤，弄清楚轨迹与轨迹方程的区别.(数学抽象)
【自主预习】
1.方程x2+y2-2x+4y+1=0表示什么图形 x2+y2-2x+4y+6=0表示什么图形
2.把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后，将得到怎样的方程 这个方程是不是表示圆
3.所有形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程都表示圆吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)方程x2+y2+x+1=0表示圆. (　　)
(2)方程2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0)表示圆. (　　)
(3)圆的一般方程可以化为圆的标准方程. (　　)
2.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是(　　).
A.(2，3)
B.(-2，3)
C.(-2，-3)
D.(2，-3)
3.若方程x2+y2-x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为(　　).
A.k≤
B.k=
C.k≥
D.k<
4.若圆x2+y2+2x-4y+m=0的直径为3，则m的值为________.
【合作探究】
探究1　圆的一般方程
　　已知圆心为(2，3)，半径为2，则圆的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=4.
问题1：上述方程能否化为二元二次方程的形式
问题2：方程x2+y2-4x-6y+13=0是否表示圆
问题3：怎样理解圆的一般方程
1.圆的一般方程的概念：
当________时，二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫作圆的一般方程.
2.圆的一般方程对应的圆心和半径：
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的圆的圆心坐标为-，-，半径长为________.
3.当D2+E2-4F=0时，x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点-，-.
4.当D2+E2-4F<0时，方程不表示任何图形.
例1　(1)若x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆，则实数k的取值范围是(　　).
A.R
B.(-∞，1)
C.(-∞，1]
D.[1，+∞)
(2)已知a∈R，方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________.
【方法总结】形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可用如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义令D2+E2-4F>0，成立则表示圆，否则不表示圆.(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.
应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.
已知方程x2+y2+2mx+4y+2m2-3m=0表示一个圆.
(1)求实数m的取值范围；
(2)求圆的周长的最大值.
探究2　待定系数法
问题1：什么是待定系数法
问题2：圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0含有几个参数 已知三点求圆的方程，用什么方法
　　求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤如下：
(1)根据题意选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；
(3)解出a，b，r或D，E，F，得到圆的标准方程或一般方程.
例2　(2022年全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(-1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为________.
【方法总结】待定系数法求圆的方程的解题策略：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径，或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般设出圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般设出圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(-2，3)，C(4，-5)，求△ABC的外接圆的标准方程.
探究3　求轨迹方程
　　这是运用连拍摄影技术拍出的自行车一秒的运动轨迹.
问题1：把平面上所有单位向量的起点放到坐标原点，终点的轨迹是什么图形 能写出轨迹方程吗
问题2：轨迹与轨迹方程是一个概念吗
1.求动点的轨迹方程的方法
求动点的轨迹方程，就是根据题意建立动点的坐标(x，y)所满足的关系式，并把这个方程化成最简形式，如果题目中没有坐标系，那么就要先建立适当的平面直角坐标系.
2.求轨迹方程的常用方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.步骤如下：
(2)代入法(也称相关点法)：若动点P(x，y)跟随某条曲线(直线)C上的一个动点Q(x0，y0)的运动而运动，则找到所求动点与已知动点的关系，代入已知动点所在的方程.具体步骤如下：
①设所求轨迹上任意一点P(x，y)，与点P相关的动点Q(x0，y0)；
②根据条件列出x，y与x0，y0的关系式，求得x0，y0(即用x，y表示出来)；
③将x0，y0代入已知曲线的方程，从而得到点D(x，y)满足的关系式，此即为所求的轨迹方程.
(3)定义法：动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.
例3　已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，-2)，且圆心C在直线l：x-y+1=0上.
(1)求圆C的方程；
(2)线段PQ的端点P的坐标是(5，0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程.
【方法总结】一般地，求轨迹方程就是求等式，就是找等量关系，把等量关系用数学语言表达出来，再进行变形、化简，就会得到相应的轨迹方程，所以找等量关系是解决问题的关键.
已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹.
【随堂检测】
1.圆x2+y2-2x+6y+8=0的半径为(　　).
A.2
B.
C.
D.1
2.圆x2+y2+2x-6y+8=0的圆心是(　　).
A.(-1，3)
B.(-1，-3)
C.(1，-3)
D.(1，3)
3.若点(1，-1)在圆x2+y2-x+y+m=0外，则实数m的取值范围是________.
4.已知△ABC的三个顶点分别是A(-1，0)，B(2，0)，C(1，2).
(1)求边AB上的中线所在直线的方程；
(2)求△ABC的外接圆的方程.
参考答案
1.2 课时2 圆的一般方程
自主预习·悟新知
预学忆思
1.对方程x2+y2-2x+4y+1=0配方，得(x-1)2+(y+2)2=4，它表示圆心为(1，-2)，半径为2的圆；对方程x2+y2-2x+4y+6=0配方，得(x-1)2+(y+2)2=-1，因为不存在点(x，y)满足这个方程，所以它不表示任何图形.
2.得到的方程为x+2+y+2=.
当D2+E2-4F>0时，该方程表示以-，-为圆心，为半径的圆；
当D2+E2-4F=0时，方程只有实数解x=-，y=-，即只表示一个点-，-；
当D2+E2-4F<0时，方程没有实数解，因此它不表示任何图形.
3.不是，只有当D2+E2-4F>0时才表示圆.
自学检测
1.(1)×　(2)√　(3)√
2.D　【解析】∵-=2，-=-3，∴所求的圆心坐标是(2，-3).
3.D　【解析】方程表示圆 1+1-4k>0 k<.
4.　【解析】∵(x+1)2+(y-2)2=5-m，∴r==，∴m=.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：可以，x2+y2-4x-6y+9=0.
问题2：配方得(x-2)2+(y-3)2=0，方程不表示圆.
问题3：圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：x2，y2的系数相等且不为0；没有xy项.对方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，只有当D2+E2-4F>0时才表示圆.
新知生成
1.D2+E2-4F>0
2.
新知运用
例1　(1)B　(2)(-2，-4)　5　【解析】(1)由方程x2+y2-4x+2y+5k=0可得(x-2)2+(y+1)2=5-5k，此方程表示圆，则5-5k>0，解得k<1.故实数k的取值范围是(-∞，1).故选B.
(2)由题可得a2=a+2，解得a=-1或a=2.
当a=-1时，方程为x2+y2+4x+8y-5=0，表示圆，故圆心坐标为(-2，-4)，半径为5.当a=2时，方程不表示圆.
巩固训练　【解析】(1)原方程可化为(x+m)2+(y+2)2=-m2+3m+4，
若该方程表示一个圆，则-m2+3m+4>0，解得-1即实数m的取值范围是(-1，4).
(2)圆的半径r==≤，当且仅当m=时，半径r取得最大值，最大值为，所以圆的周长的最大值为5π.
探究2　情境设置
问题1：待定系数法是一种求未知数的方法.将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式.然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫作待定系数法.
问题2：圆的一般方程含有三个参数.已知三点求圆的方程，常用待定系数法.
新知运用
例2　(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或x-2+y-2=或x-2+(y-1)2=　【解析】依题意，设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
若圆过点(0，0)，(4，0)，(-1，1)，则解得
所以圆的方程为x2+y2-4x-6y=0，即(x-2)2+(y-3)2=13.
若圆过点(0，0)，(4，0)，(4，2)，则解得
所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0，即(x-2)2+(y-1)2=5.
若圆过点(0，0)，(4，2)，(-1，1)，则解得
所以圆的方程为x2+y2-x-y=0，即x-2+y-2=.
若圆过点(-1，1)，(4，0)，(4，2)，则解得
所以圆的方程为x2+y2-x-2y-=0，即x-2+(y-1)2=.
巩固训练　【解析】(法一)设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
∵点A，B，C在圆上，
∴∴
∴△ABC的外接圆方程为x2+y2-2x+2y-23=0，
即外接圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=25.
(法二)∵kAB==，kAC==-3，
∴kAB·kAC=-1，∴AB⊥AC，
∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，
∴外心是线段BC的中点，其坐标为(1，-1)，圆的半径r=|BC|=5，
∴外接圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=25.
探究3　情境设置
问题1：终点的轨迹是圆，轨迹方程是x2+y2=1.
问题2：不是一个概念，点的轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式.
新知运用
例3　【解析】(1)设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则D，-.
因为kAB=-3，所以km=，
所以直线m的方程为x-3y-3=0.
由得圆心C(-3，-2)，
则半径r=|CA|==5，
所以圆C的方程为(x+3)2+(y+2)2=25.
(2)设点M(x，y)，Q(x0，y0).
因为点P的坐标为(5，0)，
所以即
又点Q(x0，y0)在圆C：(x+3)2+(y+2)2=25上运动，
所以(x0+3)2+(y0+2)2=25，
即(2x-5+3)2+(2y+2)2=25.
整理得(x-1)2+(y+1)2=.
故所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(x-1)2+(y+1)2=.
巩固训练　【解析】设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，
因为点B的坐标是(4，3)，且M是线段AB的中点，
所以x=，y=，
于是有x0=2x-4，y0=2y-3.　①
因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，所以点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4，即(x0+1)2+=4，　②
把①代入②，得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4，
整理得x-2+y-2=1，
所以点M的轨迹是以，为圆心，1为半径的圆.
随堂检测·精评价
1.C　【解析】将x2+y2-2x+6y+8=0化成标准方程，得(x-1)2+(y+3)2=2，故半径为.
2.A　【解析】因为x2+y2+2x-6y+8=0可化为(x+1)2+(y-3)2=2，所以圆心是(-1，3).
3.0，　【解析】由已知条件可得
解得04.【解析】(1)由题意知，线段AB的中点为M，0，kCM==4，
所以边AB上的中线所在直线的方程为y=4x-，即4x-y-2=0.
(2)设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，D2+E2-4F>0，
则解得
故△ABC的外接圆的方程为x2+y2-x-y-2=0.
即x-2+y-2=.1.2 课时3 直线与圆的位置关系
【学习目标】
1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.(直观想象)
2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.(逻辑推理)
3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.(数学建模)
【自主预习】
1.我们已经学习了直线与圆的位置关系，怎样用几何法判断直线与圆的位置关系
2.如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系
3.用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果直线与圆组成的方程组有解，那么直线与圆相交或相切. (　　)
(2)直线x+2y-1=0与圆2x2+2y2-4x-2y+1=0的位置关系是相交. (　　)
(3)过圆内一点一定能作圆的两条切线. (　　)
(4)若一条直线与圆相交，所得的弦长是圆的弦中最长的，则这条直线一定过圆心. (　　)
2.直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是(　　).
A.相交
B.相切
C.相离 D.无法判断
3.圆x2+y2-4x+4y+6=0截直线l：x-y-5=0所得的弦长等于(　　).
A.
B.
C.1
D.5
4.过点P(4，1)作圆C：(x-2)2+(y+3)2=4的切线，则切线方程为(　　).
A.3x-4y-8=0
B.3x-4y-8=0或x=4
C.3x+4y-8=0
D.3x+4y-8=0或x=4
【合作探究】
探究1　直线与圆的位置关系
　　“海上生明月，天涯共此时”表达了诗人望月怀人的深厚情谊.在海天交于一线的天际，一轮明月慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着迷人的风采.
问题1：在这个过程中，将月亮看作一个圆，海天交线看作一条直线，则月出的过程中体现了直线与圆的几种位置关系
问题2：直线与圆相交有几个交点 圆心到直线的距离比半径大还是小
1.直线与圆的三种位置关系
位置关系 交点个数
相交 有________公共点
相切 只有________公共点
相离 ________公共点
2.判断直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系
位置关系 相交 相切 相离
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d= d____r d____r d____r
代数法：直线与圆的方程联立，消元得到一元二次方程的根的判别式Δ Δ____0 Δ____0 Δ____0
例1　已知直线：mx-y-m-1=0，圆：x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点
(2)只有一个公共点
(3)没有公共点
【方法总结】判断直线与圆位置关系的两种方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断.
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断.
(多选题)已知直线l：kx-y+(2-k)=0，圆C：(x+2)2+(y-1)2=1，则下列说法正确的是(　　).
A.l与圆C不一定存在公共点
B.圆心C到l的最大距离为
C.若l与圆C相交，则-D.当k=-1时，圆C上仅有一个点到l的距离为2-1
探究2　求弦长
　　我们知道直线与圆有三种位置关系，其中相交是常考的一种，如图所示.
问题1：如何求图中AB的长度
问题2：除了解直角三角形，还有其他求弦长的方法吗
　　求弦长常用的三种方法：
(1)利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系l2+d2=r2解题；
(2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长；
(3)利用弦长公式，设直线l：y=kx+b与圆的两交点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l=|x1-x2|==·.
例2　求直线l：3x+y-6=0被圆C：x2+y2-2y-4=0截得的弦长.
【方法总结】求弦长常用的三种方法：(1)利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系解题；(2)先求交点坐标，再直接用两点间距离公式计算弦长；(3)利用弦长公式求解.
在平面直角坐标系内，已知A(3，0)，B(-1，0)，C为动点，若·=5.
(1)求点C的轨迹E的方程；
(2)已知直线l过点(1，2)，求曲线E截直线l所得的弦长的最小值.
探究3　圆的切线问题
问题1：过平面一点P可作几条圆的切线
问题2：设切线方程要注意什么
　　求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法
(1)几何法：设切线方程为y-y0=k(x-x0)，即kx-y-kx0+y0=0，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得k，切线方程即可求出.
(2)代数法：设切线方程为y-y0=k(x-x0)，即y=kx-kx0+y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ=0，求得k，切线方程即可求出.
(3)图象法：数形结合分析，是否有斜率不存在的切线.
例3　已知圆C的圆心为(-1，2)，且该圆截直线l：2x-y-1=0所得的弦长为4.
(1)求该圆的方程；
(2)求过点P(-4，-2)的该圆的切线方程.
【方法总结】过圆外一点的切线必有两条，当几何法或代数法求得的k值只有一个时，另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出.
已知点M(3，1)，直线ax-y+4=0及圆C：(x-1)2+(y-2)2=4.
(1)若直线ax-y+4=0与圆C相切，求实数a的值；
(2)求过点M的圆C的切线方程.
【随堂检测】
1.直线3x+4y-15=0与圆x2+y2=4的位置关系是(　　).
A.相交
B.相切
C.相离
D.无法判断
2.已知点M在圆x2+y2=2上，点N在直线l：y=x-3上，则|MN|的最小值是(　　).
A.
B.
C.
D.1
3.从圆(x-1)2+(y-1)2=1外一点P(2，3)向圆引切线，则切线长为________.
4.在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.
①过点(-1，2)；②与直线3x-4y+2=0平行；③与直线4x+3y-1=0垂直.
问题：已知直线l过点M(3，5)，且________.
(1)求l的方程；
(2)若l与圆x2+y2-4x-6y+9=0相交于点A，B，求弦AB的长.
参考答案
1.2 课时3 直线与圆的位置关系
自主预习·悟新知
预学忆思
1.利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断它们之间的位置关系.若d>r，则直线与圆相离；若d=r，则直线与圆相切；若d2.①如果直线l和圆C的方程分别为Ax+By+C=0，(x-a)2+(y-b)2=r2，那么可以用圆心C(a，b)到直线的距离d=与圆C的半径r的大小关系来判断直线与圆的位置关系.②把直线与圆的交点个数问题转化为直线与圆的对应方程组成的方程组的解的个数问题，这样当方程组无解时，直线与圆相离；当方程组有一组解时，直线与圆相切；当方程组有两组解时，直线与圆相交.
3.“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系是从不同的方面，不同的思路来判断的.“几何法”侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”.
自学检测
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2.B　【解析】由题意得圆心(0，0)到直线3x+4y-5=0的距离d==1.∵d=r，∴直线与圆相切.
3.A　【解析】(法一)圆的方程可化为(x-2)2+(y+2)2=2，
则圆的半径r=，所以圆心(2，-2)到直线l的距离d==，
所以直线l被圆截得的弦长为2=2=.
(法二)设直线l与圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2).
由得2x2-10x+11=0，
则x1+x2=5，x1x2=，
所以|AB|=×=.
4.B　【解析】若切线的斜率不存在，则过点P的直线方程为x=4，
此时圆心C(2，-3)到此直线的距离为2，即为圆的半径，故直线x=4为圆的切线.
若切线的斜率存在，设切线方程为y=k(x-4)+1，即kx-y+1-4k=0，
则2=，解得k=，
故此时的切线方程为3x-4y-8=0.
综上，切线方程为x=4或3x-4y-8=0.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：三种，分别是相交、相切和相离.
问题2：有两个交点，比半径小.
新知生成
1.两个　一个　没有
2.<　=　>　>　=　<
新知运用
例1　【解析】(法一)将直线方程mx-y-m-1=0代入圆的方程，化简整理得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0，
则Δ=4m(3m+4).
(1)当Δ>0，即m>0或m<-时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点.
(2)当Δ=0，即m=0或m=-时，直线与圆相切，
即直线与圆只有一个公共点.
(3)当Δ<0，即-即直线与圆没有公共点.
(法二)圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4，
则圆心为C(2，1)，半径r=2.
圆心C(2，1)到直线mx-y-m-1=0的距离d==.
(1)当d<2，即m>0或m<-时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点.
(2)当d=2，即m=0或m=-时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点.
(3)当d>2，即-巩固训练　ABD　【解析】l：kx-y+(2-k)=0，即k(x-1)-(y-2)=0，所以直线l过定点A(1，2)，圆C的圆心为C(-2，1)，半径为1，如图所示.
根据图象易得l与圆C不一定存在公共点，A正确；当直线l变化时，圆心C到l的最大距离为|AC|，且|AC|==，B正确；若l与圆C相交，则有<1，解得0探究2　情境设置
问题1：如图，过圆心作OC⊥AB，C为垂足，则AB=2.
问题2：有，求出交点A，B的坐标，利用两点间距离公式求解.
新知运用
例2　【解析】(法一)圆C的方程x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5，
其圆心坐标为(0，1)，半径r=.
圆心到直线l的距离d==，
则l=2=，所以截得的弦长为.
(法二)设直线l与圆C交于A，B两点.
由得交点A(1，3)，B(2，0)，
所以|AB|==.
(法三)设直线l与圆C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点.
由消去x，得y2-3y=0，所以y1+y2=3，y1y2=0，
所以|AB|=·
=×3=.
巩固训练　【解析】(1)设点C的坐标为(x，y)，=(x-3，y)，=(x+1，y)，
∴·=(x-3)(x+1)+y2=5，∴点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=9.
(2)∵(1-1)2+22=4<9，∴点(1，2)在圆内.
当直线l垂直于点(1，2)与圆心的连线时，截得的弦长|CD|最短，|CD|min=2=2.
故曲线E截直线l所得的弦长的最小值为2.
探究3　情境设置
问题1：当点P在圆内时，切线不存在；当点P在圆上时，只能作一条圆的切线；当点P在圆外时，可作两条圆的切线.
问题2：设切线方程时要注意斜率是否存在，切记切线的斜率不存在的情况，不要漏解.
新知运用
例3　【解析】(1)设圆C的方程是(x+1)2+(y-2)2=r2(r>0)，d为圆心到直线2x-y-1=0的距离，
则d==，
∴弦长为2=4，∴r2=9，∴圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=9.
(2)当切线的斜率存在时，设切线方程为y+2=k(x+4)，即kx-y+4k-2=0，
由=3，得k=，
∴切线方程为7x-24y-20=0，
当切线的斜率不存在时，切线方程为x=-4.
故圆的切线方程为7x-24y-20=0或x=-4.
巩固训练　【解析】由题意知，圆心C的坐标为(1，2)，r=2.
(1)由题意得=2，解得a=0或a=.
(2)过点M且斜率不存在的直线为x=3，与圆C相切.
过点M且斜率存在的直线，设其方程为y-1=k(x-3)，即kx-y-3k+1=0，
则=2，解得k=，
故所求切线的方程为x-y-=0，即3x-4y-5=0.
综上，所求切线的方程为x=3或3x-4y-5=0.
随堂检测·精评价
1.C　【解析】圆心(0，0)到直线3x+4y-15=0的距离d==3.∵d>r，∴直线与圆相离.
2.B　【解析】由题意可知，圆心坐标为(0，0)，
圆心(0，0)到直线l：y=x-3的距离为=，所以|MN|的最小值为-r=-=.
3.2　【解析】点P(2，3)到圆心(1，1)的距离为=，
则切线长为=2.
4.【解析】(1)选条件①：∵直线l过点(3，5)及(-1，2)，∴直线l的斜率k=，
依题意，直线l的方程为y-5=(x-3)，即3x-4y+11=0.
选条件②：∵直线3x-4y+2=0的斜率为，直线l与直线3x-4y+2=0平行，
∴直线l的斜率为，依题意，直线l的方程为y-5=(x-3)，即3x-4y+11=0.
选条件③：∵直线4x+3y-1=0的斜率为-，
又直线l与直线4x+3y-1=0垂直，∴直线l的斜率为，
依题意，直线l的方程为y-5=(x-3)，即3x-4y+11=0.
(2)圆的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=4，∴圆心坐标为(2，3)，半径为2，
∴圆心到直线3x-4y+11=0的距离d==1，∴|AB|=2=2.

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