资源简介

第1章 章末小结
【知识导图】
【题型突破】
直线的倾斜角与斜率
例1　直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________.
【变式设问1】若将题中P(1，0)改为P(-1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.
【变式设问2】若将题中条件改为“经过P(0，-1)作直线l，若直线l与连接A(1，-2)，B(2，1)的线段总有公共点”，求直线l的倾斜角α的取值范围.
　求直线的倾斜角与斜率的注意事项：(1)求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的取值范围.(2)当直线的倾斜角α∈[0°，90°)时，随着α的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角α∈(90°，180°)时，随着α的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大.
直线的方程
例2　已知△ABC的顶点A(1，2)，B(-3，2)，直线BC的斜率为.
(1)求过点A且在两坐标轴上的截距相等的直线方程；
(2)求角B的平分线所在直线的方程.
　求直线方程的两种方法
(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论.
(2)待定系数法：设定含有参数的直线方程，再由条件求出参数.
距离问题
例3　已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点.
(1)若点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；
(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值.
　(1)求两条平行线间的距离，利用距离公式将其转化为点到直线的距离.(2)已知距离求参数值，列方程求出参数.(3)求距离的最值，可利用距离公式得出距离关于某个点的函数，利用函数知识求最值.
对称问题
例4　若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m+n=________.
　(1)点A(a，b)关于直线Ax+By+C=0(AB≠0)的对称点为A'(m，n)，则有
(2)直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
求圆的方程
例5　已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程.
　求圆的方程的方法：求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题.
直线与圆的位置关系
例6　(多选题)已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0，则下列命题正确的有(　　).
A.直线l恒过点(3，1)
B.y轴被圆C截得的弦长为4
C.直线l与圆C恒相离
D.当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为2x-y-5=0
　直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断点、直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程.本题渗透了逻辑推理、数学运算的素养.
圆与圆的位置关系
例7　(2022年新高考全国Ⅰ卷)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程：________.
　判断两圆位置关系的两种比较方法
(1)几何法是利用两圆半径的和或差的绝对值与圆心距作比较，得到两圆的位置关系.
(2)代数法是把两圆位置关系的判断问题转化为方程组解的个数问题，从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系，但这种方法只能判断出相离、相交和相切三种位置关系，而不能像几何法一样，能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系.
弦长问题
例8　(2023年新高考全国Ⅱ卷)已知直线l：x-my+1=0与☉C：(x-1)2+y2=4交于A，B两点，则满足“△ABC的面积为”的m的一个值是________.
　直线与圆相交时求弦长的常用的方法是解弦心距为d，圆的半径为r，半弦长构成的直角三角形.本题渗透了直观想象、逻辑推理、数学运算的素养.
【拓展延伸】
阿波罗尼斯圆及其应用
阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.
在近几年的高考中，以阿波罗尼斯圆为背景的考题备受命题者的青睐，出现频率较大.下面我们通过两道例题来讲解如何运用阿波罗尼斯圆，进一步加强对与此圆有关试题的认识.
例1　如图，A，B为两定点，动点P满足|PA|=λ|PB|，求证：当λ=1时，动点P的轨迹为直线；当λ≠1时，动点P的轨迹为圆.
解析 设P(x，y)，|AB|=2m(m>0)，以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(-m，0)，B(m，0).
由|PA|=λ|PB|得=λ，
两边平方并化简整理得(λ2-1)x2-2m(λ2+1)x+(λ2-1)y2=m2(1-λ2)，
当λ=1时，x=0，点P的轨迹为线段AB的垂直平分线；
当λ≠1且λ>0时，x-m2+y2=，点P的轨迹为以点m，0为圆心，以长为半径的圆.
例2　在△ABC中，若|AB|=2，|AC|=|BC|，则S△ABC的最大值为________.
答案 2
解析 (法一：利用余弦定理和函数的最值处理)
设|AC|=|BC|=x，所以cos C=，则sin C==，
所以S=|AC||BC|sin C==，
故当x2=12时，S△ABC取得最大值，最大值为2.
(法二：建立平面直角坐标系处理最值问题)
以AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，如图，则A(-1，0)，B(1，0)，设C(x，y)，由|AC|=|BC|得=·，
整理得y2=-x2+6x-1=-(x-3)2+8≤8，
所以|y|≤2，
则S△ABC=×2|y|≤2，
所以S△ABC的最大值是2.
(法三：利用阿波罗尼斯圆求解)
显然这是一例阿波罗尼斯圆，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(-1，0)，B(1，0)，
因为=，得点C的轨迹是一个阿波罗尼斯圆(除与x轴的两个交点外)，计算得点C的轨迹方程为(x-3)2+y2=8(y≠0)，
设圆心为M，显然当CM⊥x轴时，△ABC的面积最大，此时|CM|=2，
所以(S△ABC)max=×2×2=2.
(法四：利用阿波罗尼斯圆及内外角平分线求解)
既然△ABC存在，说明点C的轨迹不包括其与x轴的两个交点P，Q，现在问：P，Q这两点究竟有什么性质 因为点C的轨迹方程为(x-3)2+y2=8(y≠0)，所以点P(3-2，0)，点Q(3+2，0)，所以|PA|=4-2，|PB|=2-2，所以==，所以CP为△ABC的内角平分线；同理==，所以CQ为△ABC的外角平分线.
　　这就是说，P，Q分别是线段AB的内分点和外分点，而PQ正是阿波罗尼斯圆的直径，于是阿波罗尼斯圆在我国又被称为“内外圆”.因此该题又有如下的简洁解法：
因为动点C 到定点A(-1，0)，B(1，0)距离之比为，所以 |x+1|=|x-1|，解得x1=3+2或x2=3-2，
则x1=3-2为内分点，x2=3+2为外分点，
圆半径r=(x2-x1)=2，即三角形高的最大值，
故△ABC的面积的最大值是×2×2=2.
　　阿波罗尼斯圆是一个重要的题根，备受许多命题者青睐.我们在学习过程中应该加强对这一知识点的整理.如果掌握这一知识背景，可以主动引导求解的方向，降低求解的难度.但在有些问题中，阿波罗尼斯圆并不那么明显，需要对图形分析后才能找到对应的动点具有阿波罗尼斯圆的特点.
参考答案
第1章 章末小结
题型突破·知方法
例1　(-∞，-]∪[1，+∞)　【解析】如图，
∵kAP==1，kBP==-，∴k∈(-∞，-]∪[1，+∞).
变式设问1　【解析】易知kAP==，kBP==.
如图，可知直线l斜率的取值范围为，.
变式设问2　【解析】如图所示，
kPA==-1，kPB==1，由图可观察出，直线l的倾斜角α的取值范围是0，∪，π.
例2　【解析】(1)①当所求直线过原点时，设直线方程为y=kx，且直线过点A(1，2)，则k=2，故方程为2x-y=0；
②当所求直线不过原点时，因为所求直线在两坐标轴上的截距相等，所以设所求的直线方程为+=1.
因为直线过点A，所以+=1，解得a=3，
所以所求直线的方程为x+y-3=0.
综上，满足条件的直线方程为2x-y=0或x+y-3=0.
(2)由题意知，直线AB的方程为y=2，直线BC的倾斜角为60°.
①当点C位于直线AB的下方时，∠ABC=120°，设此时其角平分线为BD，
则角平分线BD的倾斜角为120°，其斜率为-，
所以直线BD的方程为y-2=-(x+3)，即x+y+3-2=0；
②当点C位于直线AB的上方时，∠ABC=60°，
设此时其角平分线为BE，则角平分线BE的倾斜角为30°，其斜率为，
所以直线BE的方程为y-2=(x+3)，即x-y+3+2=0.
综上，角B的平分线所在直线的方程为x+y+3-2=0或x-y+3+2=0.
例3　【解析】(1)经过两已知直线交点的直线系方程为2x+y-5+λ(x-2y)=0，即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0，所以=3，
即2λ2-5λ+2=0，所以λ=或λ=2.
所以l的方程为x=2或4x-3y-5=0.
(2)由解得交点P(2，1)，过点P作任一直线l(图略)，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时，等号成立)，所以dmax=|PA|=.
例4　　【解析】由题可知纸的折痕应是点(0，2)与点(4，0)连线的中垂线，即直线y=2x-3，它也是点(7，3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得故m+n=.
例5　【解析】(法一)如图，由题意知|AC|=r=5，|AB|=8，∴|AO|=4.
在Rt△AOC中，|OC|===3.
设点C的坐标为(a，0)，则|OC|=|a|=3，∴a=±3，
∴所求圆的标准方程为(x+3)2+y2=25或(x-3)2+y2=25.
(法二)由题意设所求圆的方程为(x-a)2+y2=25.
∵圆截y轴所得线段长为8，∴圆过点(0，4)，
将其代入方程得a2+16=25，∴a=±3，
∴所求圆的标准方程为(x+3)2+y2=25或(x-3)2+y2=25.
例6　AD　【解析】将直线l的方程整理为(x+y-4)+m(2x+y-7)=0，
由解得则无论m为何值，直线l都过定点D(3，1)，故A正确；
令x=0，则(y-2)2=24，解得y=2±2，故y轴被圆C截得的弦长为4，故B不正确；
因为(3-1)2+(1-2)2=5<25，所以点D在圆C的内部，直线l与圆C恒相交，故C不正确；
圆心为C(1，2)，半径为5，|CD|=，当截得的弦长最短时，l⊥CD，kCD==-，
则直线l的斜率为2，此时直线l的方程为y-1=2(x-3)，即2x-y-5=0，故D正确.
例7　3x+4y-5=0或x=-1或7x-24y-25=0　【解析】由两圆方程可得，两圆圆心距d==5，两圆半径分别为r1=1，r2=4，∵r1+r2=5=d，∴两圆外切，∴两圆有三条公切线，如图所示.
∵kOC=，∴=-，设直线l1：y=-x+b，即3x+4y-4b=0，由=1，得b=(负值已舍去)，
∴直线l1的方程为3x+4y-5=0.
由图可知，l2：x=-1，且l2与l3关于直线y=x对称，
由解得
即直线l2与l3的一个交点为-1，-，
在l2上取一点(-1，0)，设该点关于直线y=x的对称点为(x0，y0)，则解得
∴==，
∴直线l3的方程为y=(x+1)-，即7x-24y-25=0.
故与两圆都相切的一条直线方程是3x+4y-5=0或x=-1或7x-24y-25=0.
例8　2或-2，，-其中的一个　【解析】由条件知，☉C的圆心为C(1，0)，半径R=2，点C到直线l的距离d=，|AB|=2=2=.由S△ABC=，得××=，整理得2m2-5|m|+2=0，解得m=±2或m=±.

展开更多......

收起↑