资源简介

☆ 问题解决策略：逐步确定
1.理解“逐步确定”策略的核心思想，掌握通过逐步满足问题中的多个条件来解决问题的方法.
2.熟练应用该策略解决同余类问题（如《孙子算经》问题），并迁移至几何、数论等题型.
3.经历分析问题、分解条件、有序验证的完整过程，培养逻辑思维能力.
重点：掌握“逐步确定”策略的步骤，能有序解决多条件约束的问题.
难点：将策略迁移至几何问题（如全等三角形、尺规作图）的分析中.
同学们，听说过千年谜题“物不知数”吗？战国时期古人用智慧破解余数奥秘，今天我们将化身数学考古学家，用代数钥匙打开《孙子算经》的密码箱！通过探究同余规律，揭开“中国剩余定理”的神秘面纱，感受东方数学的璀璨智慧.准备好破解这道穿越时空的数学谜题了吗？
创设情境——见配套课件
探究点一：与计算有关的逐步确定
我国南宋数学家杨辉在其《续古摘奇算法》上记载了这样一个问题：“二数余一，五数余二，七数余三，九数余四，问本数.”用现代语言表述就是“有一个数用2除余1，用5除余2，用7除余3，用9除余4，问这个数是多少？”请求出满足条件的最小自然数.
解：先考虑从较大的除数开始：被9除余4的数：4，13，22，31，40，49，58，67，76，85，94，103，112，121，130，139，148，157，166，
除2余1，排除偶数；除5余2，尾数必须是7，所以先看67，用7除不余3，再看157，用2除余1，用5除余2，用7除余3，用9除余4，满足题意.所以最小的自然数是157.
答：满足条件的最小自然数是157.
归纳总结：按顺序逐个满足条件，缩小解的范围，最终确定问题的解.例如，物不知数问题满足：①除以3余2；②除以5余3；③除以7余2.
策略实施：步骤1：列出满足条件①的数（如2，5，8，11，14，…）；步骤2：在步骤1的结果中筛选同时满足条件②的数（如8，23，38，…）；步骤3：进一步筛选满足条件③的数；得到最小解23.
探究点二：与操作有关的逐步确定
如图，已知线段a，b，h（h＜b）.用尺规作△ABC，使BC＝a，AB＝b，BC边上的高AD＝h.（要求：写出作法，并保留作图痕迹）
解：①作直线PQ，在直线PQ上任取一点D，作DM⊥PQ；②在DM上截取线段DA＝h；③以A为圆心，b为半径画弧交射线DP于B；④以B为圆心，a为半径画弧，分别交射线BP和射线BQ于C1和C2；⑤连接AC1，AC2，则△ABC1（或△ABC2）即为所求.
归纳总结：已知三条线段，若以两条为边，第三条作为其中一边上的高，则该高须小于等于另一边的长度，否则无法构成三角形，在解答过程中还要斟酌条件分类讨论谨防漏解.
1.如图，已知线段a，h，作等腰三角形ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h.王秀同学的作法是：①作线段BC＝a；②作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；③在直线MN上截取线段h；④连接AB，AC.△ABC即为所求作的三角形.上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是（　C　）
A.① B.② C.③ D.④
解析：在直线MN上截取线段h，说法错误，应该是：在直线MN上截取线段AD＝h.故选C.
2.在3□2□的方格中填入适当的数字，使组成的四位数是能被15整除的数中最大的一个，这个数是　3825　.
解析：能被15整除就是同时能被3和5整除，所以个位是0或5.设百位是x，则当个位是0时，3＋x＋2＋0能被3整除，此时x最大为7，此时这个数为3720；当个位为5时，3＋x＋2＋5能被3整除，此时x最大为8，此时这个数为3825.因为3825＞3720，所以这个四位数最大为3825.故答案为3825.
3.有三个连续的自然数，它们都小于2000，其中最小的能被13整除，中间的能被15整除，最大的能被17整除.那么这三个自然数中最小的一个是多少？
解：因为15，17和13的最小公倍数是15×17×13＝3315，所以3315＋13＝3328能被13整除，3315＋15＝3330能被15整除，3315＋17＝3332能被17整除，所以3328，3330，3332分别能被13，15，17整除.所以这三个数都是偶数，且都相差2，把这三个数分别除以2，得到1664，1665，1666，它们也一定能分别被13，15，17整除.
答：这三个自然数中最小的一个是1664.
4.你们听说过“韩信点兵——多多益善”这句歇后语吗？其实在数学中也有“韩信点兵”这一说法，它指代的是一种类型的数学问题，下面我们就来试着解答吧.
韩信带领1500名士兵去打仗，战死了四五百人.还未来得及清点人数，敌军已经追来，韩信急速点兵迎敌.他命令士兵3人一排，多出2人；5人一排，多出4人；7人一排，多出6人.韩信马上向将士们宣布：我军还有1049名勇士.
同学们，你知道韩信是怎么算出来的吗？尝试说一说.
解：3×5×7＝105，105×10＝1050（人），1050－1＝1049（人），所以还有1049名勇士.
问题解决策略第5章 二元一次方程
问题解决策略: 逐步确定
【素养目标】
1. 理解“逐步确定”策略的核心思想,掌握通过逐步满足多个条件解决问题的方法.(重点)
2. 熟练应用该策略解决同余类问题 (《孙子算经》), 并迁移至几何、代数等题型.(难点)
3. 经历分析问题、分解条件、有序验证的完整过程, 培养逻辑思维能力.
【合作探究】
探究点一: 与计算有关的逐步确定
问题: 今有物不知其数: 三三数之余二, 五五数之余三,七七数之余二,问物几何？(选自《孙子算经》) 你知道物品最少有多少个吗？
(1) 找出物品的个数应同时满足的条件。
物品的个数为正整数, 需要符合三个条件:
(2)逐步确定满足以上三个条件的最小正整数。 符合条件 ① 的正整数有:
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38,
在 (A) 中, 符合条件②的正整数有: 8, 23, 38, (B)
在 (B) 中, 符合条件③的正整数有: 23, ...
因此,同时满足三个条件的最小正整数是 23 。所以,物品最少有23个。
例1 我国南宋数学家杨辉在其《续古摘奇算法》上记载了这样一个问题:“二数余一,五数余二,七数余三, 九数余四”, 问本数.
语言表述:“有一个数用 2 除余 1 ,用 5 除余 2 , 用 7 除余 3 ,用 9 除余 4” ,问这个数是多少
物不知数问题解决流程:
满足条件: ① 除以3余2；② 除以5余3；③ 除以7余2.
步骤1:列出满足条件 ① 的数 ( 2，5，8，11，14，···).
步骤2: 在步骤1的结果中筛选同时满足条件 ② 的数( 8，23，38，··· ).
步骤3:进一步筛选满足条件 ③ 的数,得到最小解 23.
例2 如图所示,已知线段 . 用尺规作 ,使 边上的高 . (要求:写出作法,并保留作图痕迹)
【练一练】1. 如图,在梯形 中, , 。梯形内有一点 ,使得 。试描述点 的位置,并说明理由。
2. 若四位数: 能被 15 整除,则这个数最小是多少
3. 大年三十彩灯悬,彩灯齐明光灿灿,三三数时能数尽,五五数时剩一盖,七七数时刚刚好,八八数时还缺三。你知道这些彩灯最少有多少盏吗？
当堂反馈
1. 如图,已知线段 ,作等腰三角形 ,使 ,且 边上的高 . 王秀同学的作法是: ① 作线段 ; ② 作线段 的垂直平分线 与 相交于点 ；③ 在直线 上截取线段 ；④ 连接 即为所求作的三角形. 上述作法的四个步骤中,你认为有错误的一步是 ( )
A.① B. ② C. ③ D. ④
2. 在3□2□的方格中填入适当的数字,使组成的四位数是能被 15 整除的数中最大的一个, 这个数是_______ .
3. 有三个连续的自然数,它们都小于 2000 ,其中最小的能被 13 整除,中间的能被 15 整除,最大的能被 17 整除. 那么这三个自然数中最小的一个是多少
4. 你们听说过“韩信点兵——多多益善”这句歇后语吗？ 其实在数学中也有 “韩信点兵” 这一说法, 它指代的是一种类型的数学问题,下面我们就来试着解答吧,韩信带领 1500 名士兵去打仗,战死了四五百人.还未来得及清点人数,敌军已经追来,韩信急速点兵迎敌. 他命令士兵 3 人一排,多出 2 人；5 人一排,多出 4 人；7 人一排,多出 6 人.韩信马上向将士们宣布:我军还有 1049 名勇士. 同学们,你知道韩信是怎么算出来的吗？尝试说一说.
参考答案
探究点一: 与计算有关的逐步确定
问题: (1) ① 除以 3 余 2 , ② 除以 5 余 3 , ③ 除以 7 余 2 。
例1 解: 先考虑从较大的除数开始:被 9 除余 4 的数:
43, 22, 31, 40, 42, 58, 67, 76, 85, 94, 103,
除 2 余 1 ,排除偶数;除 5 余 2 ,尾数必须是 7 ,
所以先看 67 ,用 7 除不余 3 ,再看 157 ,用 2 除余 1 ,用 5 除余 2 ,用 7 除余 3 , 用 9 除余 4 ,满足题意。 所以最小的自然数是 157 。
例2 解: ①作直线 ,在直线 上任取一点 ,作 ;
②在 上截取线段 ；
③以 为圆心, 为半径画弧交射线 于 ；
④以 为圆心, 为半径画弧, 分别交射线 和射线 于 和 ; ⑤连接 、 , 则 或 即为所求.
【练一练】1. 解: 点 在 的垂直平分线上, ,则有: 点既在 的垂直平分线上,又在 的垂直平分线, 梯形 为等腰梯形, 和 的垂直平分线重合。 因此点 在 的垂直平分线上。
2. 解: 能被 15 整除,所以 能同时被 3 和 5 整除, 能被 5 整除,所以 只能为 0 或 5, ① 当 时, 还需要满足整除 3 ,故 需要被 3 整除,因此最小值为 9180 。 ② 当 时, 还需要满足整除 3 ,故 9+a+8+5 需要被 3 整除,因此最小值为 9285 。 综上所述,这个数最小是 9180 .
3. 解: 3 和 7 互质, 同时整除 3 和 7 ,因此这个数是 的倍数。
满足这样的数有:21, 42, 63, 84, 105, 126,151, ...
除以 5 余 1 ,说明这个数个位为 1 或者 6 ,除以 8 余 3 ,符合的最小值为 21 。
当堂反馈
1. C
2. 解析:能被 15 整除就是同时能被 3 和 5 整除,所以个位是 0 或 5 . 设百位是 ,则当个位是 0 时, 0 能被 3 整除,此时 最大为 7,此时这个数为 3720； 当个位为 5 时, 能被 3 整除,此时 最大为 8 ,此时这个数为 3825 .因为 3825>3720,所以这个四位数最大为 3825 .故答案为 3825 .
3. 解: 因为 15,17 和 13 的最小公倍数是 , 所以 3315+13=3328 能被 13 整除,3315+15 =3330 能被 15 整除,3315+17=3332 能被 17 整除,所以 3328,3330, 3332 分别能被 13, 15, 17 整除. 所以这三个数都是偶数, 且都相差2,把这三个数分别除以 2 ,得到 1664 , 1665 , 1666,它们也一定能分别被 13 , 15 , 17 整除. 答: 这三个自然数中最小的一个是1664.
4.解: (人),1050 -1=1049 (人),
所以还有 1049 名勇士.(共19张PPT)
问题解决策略：逐步确定
1. 理解“逐步确定”策略的核心思想，掌握通过逐步满足多个条件解决问题的方法.(重点)
2. 熟练应用该策略解决同余类问题 (《孙子算经》)，并迁移至几何、代数等题型.(难点)
3. 经历分析问题、分解条件、有序验证的完整过程，培养逻辑思维能力.
问题：今有物不知其数：三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？ (选自《孙子算经》)
你知道物品最少有多少个吗
探究点一: 与计算有关的逐步确定
(1) 找出物品的个数应同时满足的条件。物品的个数为正整数，需要符合三个条件：
① 除以 3 余 2 ，
② 除以 5 余 3 ，
③ 除以 7 余 2 。
(2) 逐步确定满足以上三个条件的最小正整数。
符合条件 ① 的正整数有：
在 (A) 中，符合条件 ② 的正整数有：8，23，38，···( B )
在 (B) 中，符合条件 ③ 的正整数有：23，···
2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38， ···(A)
因此，同时满足三个条件的最小正整数是 23 。
所以，物品最少有23个。
探究点一: 与计算有关的逐步确定
例1 我国南宋数学家杨辉在其《续古摘奇算法》上记载了这样一个问题：“二数余一，五数余二，七数余三，九数余四，问本数．”
语言表述：“有一个数用 2 除余 1 ，用 5 除余 2 ，用 7 除余 3 ，用 9 除余 4 ，问这个数是多少
分析：根据需要满足的具体情况逐步确定最小值。
探究点一: 与计算有关的逐步确定
被 9 除余 4 的数：
4，13，22，31，40，49，58，67，76，85，94，103，112，121，130，139，148，157，166 ，···
解：先考虑从较大的除数开始：
除 2 余 1 ，排除偶数；
除 5 余 2 ，尾数必须是 7 ，
所以先看 67 ，用 7 除不余 3 ，
再看 157 ，用 2 除余 1 ，用 5 除余 2 ，用 7 除余 3，用 9 除余 4 ，满足题意。
所以最小的自然数是 157。
探究点一: 与计算有关的逐步确定
物不知数问题解决流程：
步骤3：进一步筛选满足条件 ③ 的数，得到最小解 23.
步骤1：列出满足条件 ① 的数 ( 2，5，8，11，14，···).
步骤2：在步骤 1 的结果中筛选同时满足条件 ② 的数
( 8，23，38，··· ).
满足条件：① 除以3余2；② 除以5余3；③ 除以7余2.
探究点一: 与计算有关的逐步确定
探究点二：与操作有关的逐步确定
例2 如图所示，已知线段 a，b，h（h＜b），用尺规作△ABC，使 BC＝a，AB＝b，BC 边上的高 AD = h ．
(要求：写出作法，并保留作图痕迹)
a
b
h
解：①作直线 PQ ，在直线 PQ 上任取一点 D ，作DM⊥PQ ；
②在 DM 上截取线段 DA ＝ h；
③以 A 为圆心，b 为半径画弧交射线 DP 于 B ；
④以 B 为圆心，a 为半径画弧，
分别交射线 BP 和射线 BQ 于 C1 和C2；
⑤连接 AC1，AC2，
则 △ABC1 或(ABC2) 即为所求．
P
C1
Q
C2
B
D
M
A
【练一练】1.如图，在梯形 ABCD 中，AB = CD，AD = 10，BC = 30。梯形内有一点 P ，使得 △APB ≌△DPC，S△APD = S△BPC。试描述点 P 的位置，并说明理由。
解：点 P 在 BC 的垂直平分线上，理由：
∵△APB ≌△DPC ，
∴ PA = PD，PB = PC.
∴点 P 既在 BC 的垂直平分线上，又在 AD 的垂直平分线上，
∵梯形 ABCD 中， BC 和 AD 的垂直平分线重合，
∴点 P 在 BC 的垂直平分线上.
2. 若四位数: 9a8b 能被 15 整除，则这个数最小是多少
9a8b 能被 15 整除，所以 9a8b 能同时被 3 和 5 整除，
9a8b 能被 5 整除，所以 b 只能为 0 或 5 ，
① 当 b = 0 时，9a8b 还需要满足整除 3 ，故9+a+8+0 需要被 3 整除，因此最小值为 9180 。
② 当 b = 5 时，9a8b 还需要满足整除 3 ，故9+a+8+5 需要被 3 整除，因此最小值为 9285 。
综上所述，这个数最小是 9180 .
解：
3. 大年三十彩灯悬，彩灯齐明光灿灿，三三数时能数尽，五五数时剩一盏，七七数时刚刚好，八八数时还缺三。你知道这些彩灯最少有多少盏吗
解：3 和 7 互质 ，同时整除 3和 7 ，
因此这个数是 3×7 = 21 的倍数。
满足这样的数有：21，42，63，84 ，105，126，
147，···
除以 5 余 1，说明这个数个位为 1 或者 6 ，
除以 8 缺 3，故符合的最小值为 21 。
问题解决策略：逐步确定
步骤：分解条件→
有序筛选→验证整合
关键：顺序优化，避免遗漏
应用：代数推理、几何问题、生活问题
1.如图，已知线段 a，h ，作等腰三角形 ABC ，使 AB = AC ，且 BC = a ，BC 边上的高 AD = h .王秀同学的作法是：① 作线段 BC = a ；② 作线段 BC 的垂直平分线 MN，MN 与 BC 相交于点 D ；③ 在直线 MN 上截取线段 h ；④ 连接 AB，AC. △ABC 即为所求作的三角形.上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是 ( )
C
A.① B. ② C.③ D.④
解析：在直线 MN 上截取线段 h ，说法错误，应该是：在直线 MN 上截取线段 AD = h. 故选 C .
M
N
D
2. 在3□2□的方格中填入适当的数字，使组成的四位数是能被 15 整除的数中最大的一个，这个数是______.
解析：能被 15 整除就是同时能被 3 和 5 整除，所以个位是 0 或 5 .设百位是 x ，则当个位是 0 时，3 + x + 2 + 0 能被 3 整除，此时 x 最大为 7 ，此时这个数为 3720；当个位为 5 时，3 + x + 2 + 5 能被 3 整除，此时 x 最大为 8 ，此时这个数为 3825 .因为 3825>3720，所以这个四位数最大为 3825 .故答案为 3825 .
3825
3.有三个连续的自然数，它们都小于 2000 ，其中最小的能被 13 整除，中间的能被 15 整除，最大的能被 17 整除.那么这三个自然数中最小的一个是多少
解：因为 15，17 和 13 的最小公倍数是15×17×13 =3315，所以 3315+13=3328 能被 13 整除，3315+15 =3330 能被 15 整除，3315+17=3332 能被 17 整除，所以 3328，3330，3332 分别能被 13，15，17 整除.这三个数都是偶数，且都相差2，把这三个数分别除以 2，得到 1664，1665，1666，它们也一定能分别被13，15，17整除.
答：这三个自然数中最小的一个是1664.
4.你们听说过“韩信点兵——多多益善”这句歇后语吗？其实在数学中也有“韩信点兵”这一说法，它指代的是一种类型的数学问题，下面我们就来试着解答吧，韩信带领 1500 名士兵去打仗，战死了四五百人.还未来得及清点人数，敌军已经追来，韩信急速点兵迎敌.他命令士兵 3 人一排，多出 2 人；5 人一排，多出 4 人；7 人一排，多出 6 人.韩信马上向将士们宣布：我军还有 1049 名勇士.同学们，你知道韩信是怎么算出来的吗 尝试说一说.
解：3×5×7 = 105 ，105×10 = 1050 (人) ，
1050 -1=1049 (人)，
所以还有 1049 名勇士.

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