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2025-2026学年山西省朔州市怀仁一中高二（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知那么的最小值是( )
A. B. C. D.
3.下列说法中正确的是( )
A. 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
B. 在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性
C. 随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率
D. 在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于
4.已知，，若，则实数的值是( )
A. B. C. D. 或
5.在中，内角，，所对的边分别为，，，且：：：：，则( )
A. B. C. D.
6.设，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，给出四个命题( )
若，，则； 若，，则；
若，，则； 若，，则．
其中正确命题的个数是( )
A. B. C. D.
7.一个圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，在该圆锥内有一个体积为的球，则该球的体积的最大值为( )
A. B. C. D.
8.在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数满足，是的共轭复数，则下列说法正确的是( )
A. 的虚部为 B. 复数在复平面中对应的点在第三象限
C. D.
10.一只不透明的口袋内装有张相同的卡片，上面分别标有这个数字每张卡片上标个数，“从中任意抽取张卡片，卡片上的数字为或或”记为事件，“从中任意抽取张卡片，卡片上的数字不超过”记为事件，“从中任意抽取张卡片，卡片上的数字大于等于”记为事件则下列说法正确的是( )
A. 事件与事件是互斥事件 B. 事件与事件是对立事件
C. 事件与事件相互独立 D.
11.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 函数的解析式
B. 直线是函数图象的一条对称轴
C. 在区间上单调递增
D. 不等式的解集为，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某高中共有学生人，其中高一和高二各有人，现采用分层抽样的方法抽取容量为的样本，那么高二抽取的人数为______．
13. ______．
14.在三棱锥中，平面，，，，点是空间内的一个点，且，则点到平面的距离的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，若．
求角；
若，，求的面积．
16.本小题分
已知幂函数在区间上单调递减．
求的值；
求不等式的解集．
17.本小题分
已知向量，满足，，．
求向量，的夹角；
若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围．
18.本小题分
某大学随机统计了名学生的一个学期自习时间单位：小时，所得数据都在内，将所得的数据分成组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
求的值以及自习时间在内的学生人数；
估计该校每个学生一个学期自均时间同一组中的数据用该组区间的中点值代表；
从和用分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这名学生恰有名一个学期自习时间落在内的概率．
19.本小题分
如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，分别是线段，上的动点，且．
若二面角的大小为，求的长；
当三棱锥的体积为时，求与平面所成角的正弦值的取值范围．
参考答案
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14.
15.解：因为，
所以由正弦定理可得：，
因为、，所以，
所以，即，所以；
因为，，，
所以由余弦定理：，
得，
解得：，
所以．
16.解：由题意知，，解得，，
所以，
所以．
不等式，即为，
等价于，
即，
解得且．
所以不等式的解集为且
17.已知向量，满足，，．
设向量的夹角为，
由，
得，
即，
由，
得，
即，
则有，
又，
解得，，
因此，
所以向量的夹角为．
由知，
由向量与的夹角是钝角，
得且向量与不共线，
又，
因此，
解得且，
所以实数的取值范围为．
18.由频率分布直方图可知：，解得，
一个学期自习时间在内的学生人数为；
该校学生一个学期自习平均时间
，
即估计该校每个学生一个学期自习平均时间为小时；
已知从和用分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生调查他们的学习成绩，
一个学期自习时间落在的抽取人数为，
这人分别记为，，，，
一个学期自习时间落在的抽取人数为，
这人分别记为，，
再从这名学生中随机抽取名学生的样本空间为：
，，，，，
，，，，
，，，，，，共有个样本点，
其中恰有名一个学期自习时间落在内的样本点，，，，，
，，，共个样本点，
所以抽到这名学生恰有名一个学期自习时间落在内的概率．
19.解：取中点，过点作，交于点，连接，
由直四棱柱，可得平面，
而平面，所以，即，
又因为，所以，
因为底面是边长为的菱形，，
所以为等边三角形，则，
又因为，，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
即为二面角的平面角，所以，
在平面中，由，可得，
在中，，，
则，解得；
因为平面，
所以，
．
因为三棱锥的体积为，
所以，解得，
因为平面，
所以，
在中，，
，
所以，
设到平面的距离为，
在中，，，
所以，
所以，
因为，
所以，
解得．
在中，由余弦定理得，
所以．
设与平面所成的角为，
所以，
令，则，代入上式，
所以，
则，
因为，所以，
所以，
所以，
所以与平面所成角的正弦值的取值范围是．
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