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2025-2026学年河南省信阳高级中学新校贤岭校区高二（上）开学
数学试卷（理科）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.有位同学一次数学测试的分数分别是：，，，，，，，，则这组数据的百分位数是( )
A. B. C. D.
3.若，为虚数单位，是的共轭复数，则( )
A. B. C. D.
4.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面向上”，事件“第二枚反面向上”，则事件与的关系是( )
A. B. C. 相互独立 D. 互斥
5.关于函数描述正确的是( )
A. 最小正周期是 B. 最大值是 C. 一条对称轴是 D. 一个对称中心是
6.已知，为两条直线，，为两个平面，且满足，，，，则“与异面”是“直线与相交”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数，若正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.由瑞士著名建筑大师马里奥博塔设计的清华大学艺术博物馆整体为长方体造型，长方体是该建筑的直观图，当身高为人忽略眼睛到头顶的距离站在点处的延长线上时可以估测点、点的仰角，现测得楼宽长为，此人估测得点的仰角为，点的仰角为，则估测教学楼的高为单位：
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则( )
A. 该校高一学生总数为
B. 该校高一学生中选考物化政组合的人数为
C. 该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多
D. 用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取人，则生史地组合抽取人
10.已知向量，则下列结论正确的是( )
A. 若向量同向，则
B. 若向量反向，则
C. 若，则
D. 若，则
11.如图，在正方形中，点，分别是线段，上的动点不含端点，且，与交于点现将四边形沿直线折起，使平面平面，则( )
A.
B. 与所成角为定值
C. 为定值
D. 存在点、，使得直线与平面所成角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线的倾斜角的取值范围是______．
13.已知函数不是单调函数，则实数的取值范围是______．
14.在直三棱柱中，且，已知该三棱柱的体积为，且该三棱柱的外接球表面积为，若将此三棱柱掏空保留表面，不计厚度后放入一个球，则该球最大半径为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
汽车智能化无人驾驶汽车成为汽车行业发展趋势某汽车研发部门为了解客户对无人驾驶汽车的性能满意情况，随机抽取名客户对无人驾驶汽车的性能进行打分，发现打分均在内，将这些数据分成组：，，，，，，并绘制出样本的频率分布直方图，因不慎，使得图形残缺，如图所示．
求样本中打分在内的客户人数并估计样本的中位数；
已知打分在内的样本数据的平均值为，方差为，打分在内的样本数据的平均值为，方差为，求打分在内的样本数据的平均值与方差．
16.本小题分
如图，已知、均是边长为的等边三角形，且平面平面，为的中点，且．
证明：；
若，，求平面与平面夹角的大小．
17.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
若，求；
求的最小值．
18.本小题分
在平面直角坐标系中点，，直线：，：，圆经过，两点，且圆心在直线上
求圆的方程；
当直线与圆相切时，求实数的值．
若直线与圆相交于，两点，当变化时，是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出一个的坐标；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数．
求不等式的解集；
设、均为实数，当时，的最大值为，且满足此条件的任意实数及的值，使得关于的不等式恒成立，求的取值范围；
设为实数，若关于的方程恰有两个不相等的实数根、且，试将表示为关于的函数，并写出此函数的定义域．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.根据频率分布直方图可知，打分在内的频率为：
，
所以样本中打分在内的客户人数为人．
由图可知，打分在内的频率为，在内的频率为，
设样本的中位数为，则，
则，解得，
故样本的中位数为；
由题可知，打分在，内的频数分别为，，
所以打分在内的样本数据的平均值为．
打分在内的样本数据的方差为：
，
综上所述打分在内的样本数据的平均值与方差分别为，．
16.证明：因为、均是边长为的等边三角形，且是的中点，
所以，，
又，、平面，
所以平面，
所以，
又，，、平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
解：因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
又，
故，，两两垂直，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
所以，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，
则，，
所以，
故平面与平面夹角的大小为．
17.解：，，
化为：，
，
，，
，
，．
由可得：，，，
为钝角，，都为锐角，．
，
，当且仅当时取等号．
的最小值为．
18.解：点，，直线：，圆经过，两点，且圆心在直线上．设圆心坐标为 ，
圆心在直线：上，
则，
，
两边平方后得，
整理得，又，解得，，圆心为，
圆的半径，
圆的标准方程为；
：，
由题意可得 的距离为，
，
两边平方，化简得，解得或；
直线的方程为，
即，
由，解得，，直线经过定点，
又，点在圆外，
设过的直线与圆的切点为，
则有，又，
，
当为定点时，为定值．
19.等价为或，
即 或 ，
即为 或，
则不等式的解集为；
当时，的最大值为，故．
要使不等式 恒成立，
需要，
即对任意恒成立，
因为，所以，
令，
则，
又因为 ，当且仅当，即时，取等号，
所以，
故的取值范围是；
作出函数的图象，如图所示：
当时，，；
当时，，；
当时，，．
所以，
若，则方程 ，即为，
即，且；
若，则方程，即为，
即，且．
于是，分别是方程，的根，
且，，
，
此函数的定义域为．
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