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2025-2026学年辽宁省名校联盟高二上学期 9月份联合考试数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { | 2 < < 3}， = {0,1,2,3}，则 ∩ =( )
A. {1,2} B. {0,1,2} C. {0,1,2,3} D. { 1,0,1,2}
2 = |3 4 |.若 2 ，则 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知 = (6, 8)， = ( , )，若 // ，| | = 5，则 + =( )
A. 1 B. 2 C. 1 或 1 D. 2 或 2
4.已知直线 和四个不重合的平面 ， ， ， ，则下列结论正确的是( )
A.若 // ， // ，则 // B.若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
C.若 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥ D.若 ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ，则 ⊥
5.已知圆锥的侧面展开图是半径为 2 3的半圆，则该圆锥的体积为( )
A. 3 B. 3 C. 4 D. 8
6.已知函数 ( )满足 2 ( ) + ( ) = ，若2 = log2 = ，则( )
A. ( ) < ( ) < ( ) B. ( ) < ( ) < ( )
C. ( ) < ( ) < ( ) D. ( ) < ( ) < ( )
tan ( +
)
7 ∈ (0, ) 4 = 2 sin(2 + .已知 2 ， ，则 )的值为( )tan 3 2
A. 45 B.
3
5 C.
4 D. 35 5
8.若函数 ( )是定义在 上的偶函数，对任意 ∈ ，都有 ( 1) = ( + 1)，且当 ∈ [0,1]时， ( ) = 3 1，
若函数 ( ) = ( ) log ( + 2)( > 1)在区间( 1,5)内恰有 5 个不同的零点，则实数 的取值范围是( )
A. (1, 5) B. ( 5, 7) C. ( 5, 7] D. (1, 7]
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合 = { ∈ | 2 + + = 0}，则下列 ， ， 可以使 = 的是( )
A. ≠ 0， 2 4 < 0 B. ≠ 0， 2 4 ≥ 0
C. = 0， = 0， ≠ 0 D. = 0， ≠ 0， ≠ 0
10.已知函数 ( ) = sin( 3 2 )，则下列说法正确的是( )
A.函数 ( ) 的图象向右平移3个单位，横坐标变为原来的 2 倍得到函数 = sin 的图象
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B.函数 ( ) 的图象向左平移6个单位，横坐标变为原来的 2 倍得到函数 = sin 的图象
C.函数 ( ) 的图象横坐标变为原来的 2 倍，再向右平移6个单位得到函数 = cos 的图象
D.函数 ( ) 1 的图象的横坐标变为原来的2，再向右平移6个单位得到函数 = cos 的图象
11.已知正方体 1 1 1 1的棱长为 1， ， 分别为棱 1 1和面对角线 1 上的动点(含端点)，则( )
A.若 ， ， 1， 四点不共面，则四面体 1 的体积为定值
B. 1若 ， ， ， 四面不共面，则四面体 体积的最大值为3
C.若 ， ， 1， 四点不共面，则四面体 体积的最大值为3
D. 1若 ， ， ， 四点不共面，则四面体 体积的最大值为6
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知正数 ， 满足log3 = log5 = log15225，则 = ;若满足log3 = log5 = log152025，则
= ．
13.在△ 中， = 4， = 60 ， = ，若满足要求的三角形有且只有一个，则 的取值范围为 ．
14.如图，水平的广场上有一盏路灯挂在高 9 的电线杆顶上，记电线杆
的底部为点 .把路灯看作一个点光源，身高 1.5 的女孩站在离点 5
的点 处，若女孩沿 方向前行 5 到达点 ，此时 为 的中点，然后
从点 出发沿着以 为对角线的正方形走一圈，则女孩走一圈时头顶影
子的轨迹围成图形的面积为 2．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在高中学段学生综合素质评价平台上对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取 名学生
作为样本，得到这 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图．
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分组 频数 频率
[10,15) 10 0.25
[15,20) 24
[20,25)
[25,30] 2 0.05
合计 1
(1)求出表中 ， 及图中 的值;
(2)若该校高三年级学生有 840 人，试估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数;
(3)估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数. (结果精确到 0.01)
16.(本小题 15 分)
交通部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量 (千辆/时)与汽车的平均速度 (千
144 , ∈ [0,30],
米/时)之间的函数关系为 = 379 144
2 58 +1225 , ∈ (30, + ∞).
(1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大 最大车流量是多少
(2)若要求在该时段内车流量超过 9 千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围 (结果精确到个位)
17.(本小题 15 分)
如图，三棱柱 1 1 1的各条棱长均为 4，且 1 ⊥平面 ， 为 1的中点， ， 分别在线段 1
和线段 1上，且 1 = 3 ， = 3 1 .
(1)证明：平面 ⊥平面 1 1 ;
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(2)求几何体 的体积．
18.(本小题 17 分)
已知向量 = ( 3sin , cos )， = (cos , cos )( > 0, ∈ )， ( ) = 12，且 ( )的图象上

相邻两条对称轴之间的距离为2．
(1)求函数 ( )的解析式;
(2)若 > 0，且函数 ( )在区间( , 2 )上单调，求 的取值范围;
(3)当 ∈ [ 6 , ]时，关于 的方程[ ( )]
2 (2 + 1) ( ) + 2 + = 0 恰有三个不同的实数根，求 的取值
范围．
19.(本小题 17 分)
函数 ( ) = sin( + ) + ( , , > 0, | | < )的图象如图所示，图象最高点、最低点处分别记为 ， ，
在 轴射影分别为 1， 1.已知图象过点 (0,0)， (4,0)， (6,0)，沿 轴将坐标平面折叠，使平面 ⊥平面
，此时 = 19．
(1)求 ( )的解析式;
(2)求四面体 外接球的表面积;
(3)若 ( , )为已知图象上一点，且 ∈ [1,3]，设四面体 外接球的半径为 ，求证： > 2．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.225；2025
13.{2 3} ∪ [4, + ∞)
14.18
15.解：(1)由频率分布表可得 = 10 ÷ 0.25 = 40， = 24 ÷ 40 = 0.6，
所以 = 1 0.25 0.6 0.05 = 0.1， = 0.6 ÷ 5 = 0.12．
(2)因为该校高三年级学生有 840 人，在[10,15)上的频率是 0.25，
所以估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在此区间上的人数为 840 × 0.25 = 210；
(3) 24因为 = 40 = 0.6，又 0.25 < 0.5 且 0.25 + 0.6 > 0.5，
所以中位数在区间 15,20 上．
因为中位数及前面的数的频率之和为 0.5，设样本中位数为 ，
则 0.25 + ( 15) × 0.12 = 0.5，解得 ≈ 17.08．
估计这次学生参加社区服务次数的中位数是 17.08．
144 , ∈ [0,30].
16.解：(1)因为 = 379 144 ．
2 58 +1225 , ∈ (30, + ∞)
当 ∈ [0,30]时， ∈ [0, 4320379 ]，
当 ∈ (30, + ∞) 144 144 144时， = 2 58 +1225 = 1225 ≤ = 12， + 58 2 1225 58
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当且仅当 = 1225 即 = 35 时等号成立，
4320
因为 379 ≈ 11 < 12，
所以当次车的平均速度为 35 千米/时时，车就量最大，量大车流量是 12 千辆/时．
(2) ∈ [0,30] 144 > 9. > 9×379当 时，由379 解得 144 = 23.6875 ≈ 24，当 = 24 时，满足题意，即 24 ≤ 30;
当 ∈ (30, + ∞) = 144 时，由 2 58 +1225 > 9，
∵ 2 58 + 1225 = ( 29)2 + 384 > 0，
可得 144 > 9( 2 58 + 1225)，解得 25 < < 49，则 30 < < 49．
故汽车的平均迷度应在[24,49)范围内．
17.解：(1)证明：取线段 的中点 ，线段 的中点 ，连接 ， ， ．
1
由题意可得， = 2 ( + ) =
1
2 1．
因为 为 11的中点，所以 = 2 1，
因为 1// 1， 1 = 1，
所以 // ， = ，
所以四边形 为平行四边形，
则 // ．
因为点 为 的中点，所以 ⊥ ，
因为 1 ⊥平面 ，所以 1 ⊥ ，则 ⊥ 1．
因为 ∩ 1 = ，所以 ⊥平面 1 1 ，
则 ⊥平面 1 1C.
因为 平面 ，
所以平面 ⊥平面 1 1C.
(2)解法一：因为三棱柱 1 1 1的各条棱长均为 4，且 1 ⊥平面 ，
所以 三棱柱 1 =
3
1 1 ，4 × 16 × 4 = 16 3
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1 1四棱锥 = 3 × 2 × (1 + 2) × 4 × 2 3 = 4 3，1 1 1
因为 1 = 3 ， 1 = 4，所以 1 = 3，
所以△ 1
1 1
的面积 = 2 1 1 1 = 2 × 3 × 4 = 6．
由(1)可得 = = 42 22 = 2 3，
1 1
故三棱锥 1 的体积 三棱锥 = 三棱锥 = 3 = 3 × 6 × 2 3 = 4 3，1 1
所以几何体 的体积为 16 3 4 3 4 3 = 8 3．
解法二：如图，连接 ，
1三棱锥 = 3 △ =
1 × 1 × 2 3 × 4 × 2 = 8 3，3 2 3
1 1四棱锥 = 3 × 2 × (1 + 3) × 4 × 2 3 =
16 3
，
3
所以几何体 的体积为8 3 + 16 3 = 8 3．3 3
18.解：(1)由向量 = ( 3sin , cos ), = (cos , cos )，
则 ( ) = 12 = 3sin cos
2 12
= 32 sin 2
1
2 cos 2 1 = sin (2

6 ) 1，
因为 的图象上相邻两条对称轴之间的距离为2，可得 = ，
2 = 2 所以 = 2，所以 ( ) = sin 2

6 1．
(2)由(1)知 ( ) = sin 2 6 1，
因为 ∈ ( , 2 )，则 2 6 ∈ 2

6 , 4 6 ，
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又因为 2 2，可得 ∈ (0, 2 ],
2 所以 6 ∈ (

6 ,
5
6 ], 4

6 ∈ (
, 11 6 6 ]，
2 , 4 , 2 , 4 3 则 6 6 2 2 或 6 6 2 , 2 ，
5
解得 ∈ 0, 6 或 ∈ 3 , 12 ，
所以 的取值范围 0, 5 6 ∪ 3 , 12 ．
(3)[ ( )]2 (2 + 1) ( ) + 2 + = 0 等价于[ ( ) ( + 1)][ ( ) ] = 0，
解得 ( ) = + 1 或 ( ) = ，
∈ [ , ] 2 ∈ [ 11 因为 6 ，所以 6 6 , 6 ]， ( ) ∈ [ 2,0]，
当 2 6 ∈ [

6 ,

2 ]时， ( )是增函数， ( ) ∈ [
1
2 , 0]，

当 2 6 ∈ [

2 ,
3
2 ]时， ( )是减函数， ( ) ∈ [ 2,0]，
当 2 3 11 36 ∈ [ 2 , 6 ]时， ( )是增函数， ( ) ∈ [ 2, 2 ]，
方程[ ( )]2 (2 + 1) ( ) + 2 + = 0 有三个不同的实数根等价于 ( ) = + 1 有一个实数解且
( ) = 有两个不同的实数解或 ( ) = + 1 有两个不同的实数解且 ( ) = 有一个实数解．
①当 < 2 或 > 1 时，不符合题意;
②当 = 2 时，则 + 1 = 1， ( ) = 有一个实数解， ( ) = + 1 有一个实数解，不符合题意;
③当 2 < < 3 12时，则 1 < + 1 < 2， ( ) = 有两个不同的实数解， ( ) = + 1 有一个实数解，
符合题意;
④当 = 3 12时，则 + 1 = 2， ( ) = 有两个不同的实数解， ( ) = + 1 有两个不同的实数解，
不符合题意;
3⑤当 2 < < 1
1
时， 2 < + 1 < 0， ( ) = 有一个实数解， ( ) = + 1 有两个不同的实数解，
符合题意;
⑥当 = 1 时， + 1 = 0， ( ) = 有一个实数解， ( ) = + 1 有一个实数解，不符合题意;
综上， 3 3的取值范围为( 2, 2 ) ∪ ( 2 , 1)．
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19.解：(1) 2 由题得 = 6 = ，所以 = 3，
由图象过点(0,0)，(4,0)，得 sin + = 0 sin( 4 ①， 3 + ) + = 0 ②
4
由 ① ②可得 = 3 + ( ) +
4
舍 或 3 + =

所以 = 6，
代入 ①解得 = 2 ，又 = 19，即( 19)2 = ( + )2 + 9 + ( )2，
即 2 + 2 = 5，解得 = 2 = 2，
所以 ( ) = 2sin( 3

6 ) + 1．
(2)在△ 中， = 5， = 2， = 13，
22 2cos∠ = +5 13 4所以 2×2×5 = 5，sin∠ =
3
5，
设△ 13 5 13外接圆半径为 ，则 2 = 3 ，所以 = 6 ，
5
又平面 ⊥平面 ， ⊥ ， 是截面圆的直径，
平面 5 13所在截面圆半径就是外接球半径所以四面体 外接球的半径为 6
5 13 325
所求外接球表面积为 = 4 2 = 4 × ( 6 )
2 = 9 ．
(3)证明：由题得 = (4 , )， = (6 , )，
设< ， >= ，
(4 )(6 )+ 2
cos =
(4 )2 + 2 (6 )2 + 2
(4 )2(6 )2 +2(4 )(6 ) 2 + 4
= (4 )2(6 )2 + [(4 )2 + (6 )2] 2 + 4
(4 )2(6 )2 [(4 )2 + (6 )2] 2 + [(4 )2 + (6 )2] 2 +2(4 )(6 ) 2 + 4
= (4 )2(6 )2 + [(4 )2 + (6 )2] 2 + 4
[(4 )2 + (6 )2] 2 2(4 )(6 ) 2
= 1 (4 )2(6 )2 + [(4 )2 + (6 )2] 2 + 4
[(4 ) (6 )]2 2
== 1 (4 )2(6 )2 + [(4 )2 + (6 )2] 2 + 4
4 2
= 1 (4 )2(6 )2 + [(4 )2 + (6 )2] 2 + 4
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4
= 1 (4 )2(6 )2
2 + (4 )
2 + (6 )2 + 2
4
≥ 1 2(4 )(6 )+ (4 )2 + (6 )2 ③
4
= 1 (10 2 )2
= 1 1(5 )2，
∈ [1,3] 1 1 ∈ [ 3 , 15因为 ，所以 (5 )2 2 4 ]，
cos ≥ 3即 2 ，所以 sin ≤
1
2，
2 = 2又 sin = sin ≥ 4( 为△ 外接圆半径)，
当且仅当 = 3 时等号成立，此时 (3,2)，
(4 )
2(6 )2
③中不满足 2 2 = ，即等号取不到，
所以 > 2，由(2)知 > 2．
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