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2025-2026学年张家口市NT20名校联合体高二上学期入学摸底考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数( )
A. B. C. D.
2.某学校有高中学生人，初中学生人学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查已知在初中学生中随机抽取了人，则在高中学生中抽取了( )
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
3.在中，满足，则( )
A. B. 或 C. D. 或
4.已知向量，满足，，，则( )
A. B. C. D.
5.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，设“出现的点数为偶数”为事件，“出现的点数大于”为事件，则下述正确的是( )
A. 与对立 B. 与互斥
C. 与相互独立 D.
6.已知函数的周期为，且在上单调递增，则可以是( )
A. B. C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.如图，在长方体中，，，点分别为，的中点，点为长方形内一动点含边界，若直线平面，则点的轨迹长度为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则的值为
B. 若，则的值为
C. 若，则与的夹角为锐角
D. 若，则
10.如图，圆锥的底面半径为，高为，过靠近的四等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是( )
A. 挖去圆柱的体积为
B. 圆锥的侧面积为
C. 剩下几何体的表面积为
D. 圆锥母线与底面所成的角的余弦值为
11.已知，，分别为内角，，的对边，下面四个结论正确的是( )
A. 若，，且有两解，则的取值范围是
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，两个事件相互独立，且，，则 ．
13.某中学举行数学解题比赛，其中人的比赛成绩分别为：，则这人成绩的分位数与极差之和是 ．
14.如图，在中，已知，，是线段与的交点，若，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某市环保部门为了监测某条河流的水质情况，连续天测量了河流的值，整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图．
求的值，并估计这天河流值的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值为代表；
若值低于的称为“酸性超标日”，其中值在的称为“轻度超标日”，值在的称为“重度超标日”环保部门决定采用分层抽样的方法从“酸性超标日”中抽取天，并从这天中随机选择天进行水质复检，求这天都是“轻度超标日”的概率．
16.本小题分
如图，正三棱柱中，，点是的中点．
求证：平面；
若三棱锥的体积为，求这个三棱柱的侧棱长．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，且．
求角的大小；
若，且，求的面积．
18.本小题分
在中，角、、所对的边分别为已知，，，且．
求的值；
求的值；
求的值．
19.本小题分
如图，三棱柱中，，且，延长到，使，连接，，．
证明：；
求四棱锥的体积；
求直线与平面所成的角的正弦值．
参考答案
1.
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13.
14.
15.因为，所以．
平均值：
抽取的天中，“轻度超标日”有天，记为，，“重度超标日”有天，记为，
样本空间，
设事件为这天都是“轻度超标日”，则．
因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型．
所以．

16.连接，交于点，连接，
因为四边形为矩形，所以为的中点，
又点是的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
因为为等边三角形，是的中点，所以，
又，故，
因为平面，
设，则，
所以，即，解得，
故这个三棱柱的侧棱长为．

17.因为，
由正弦定理得，
又因为，则，
可得，
因为，则，
可得，
显然，则，所以．
因为，且且，
可得，即
又因为，可得
联立可得，解得或负根舍去，
所以的面积为．

18.因为，即，
解得或，因为，所以．
因为，由得，且，
因为，所以．
由正弦定理，所以，
因为，所以，，．
由得，，
故．

19.连接，因为，，所以．
同理，取中点，连接，，
由等腰三角形三线合一，得，．
又，平面，平面，
所以平面，平面，所以．
因为，所以．
如图，过作于点，过作于点，连接．
由已证得平面，且平面，所以平面平面，
又因为两平面交线为，且，所以平面，所以，
又因为，，所以平面，所以．
因为，，所以，，所以．
所以．
法一：依题意，可知点在以为直径的圆上，所以．
由，，所以，
又，平面，平面，
所以平面，为平面的一个法向量．
直线与平面所成的角即直线与直线所成角的余角．
因为由知，，所以为正三角形，故．
故直线与平面所成的角为．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
法二：依题意，可知点在以为直径的圆上，所以．
由，，所以，
又，平面，平面，所以平面．
又，平面，平面，所以平面，
点到平面的距离等于点到平面的距离，也就是点到平面的距离的，
因为，所以点到平面的距离为．
由知为正三角形，，直线与平面所成角的正弦值是．

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