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2024-2025学年上学期山东省烟台市莱山区九年级期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的
1．（3分）某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图1所示．该浮漂的俯视图是图2，那么它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）二次函数y＝x2+2的顶点是（　　）
A．（0，2） B．（2，0） C．（1，3） D．（﹣1，3）
3．（3分）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（　　）
A．asinθ千米 B．千米 C．acosθ千米 D．千米
4．（3分）某几何体是由完全相同的小正方体组合而成，如图是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
5．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是AO的中点．过点C作CE⊥AO交于点E，过点E作ED⊥OB，垂足为点D．在扇形内随机选取一点P，则点P落在阴影部分的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）函数与的图象如图所示．若y1，y2均随着x的增大而减小，则x的取值范围是（　　）
A．﹣1＜x＜0 B．x＜﹣1 C．0＜x＜2 D．x＞1
7．（3分）如图，△BCD内接于⊙O，点B是的中点，CD是⊙O的直径，若∠ABC＝30°，AC＝3，则BC的长为（　　）
A．4 B． C． D．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，E，F是边BC上两点，且BE＝EF＝FC，连接DE，AF，DE与AF相交于点G，连接BG，若AB＝8，BC＝12，则cos∠GBF的值为（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2．下列说法：①abc＜0；②c﹣3a＞0；③当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；④4a2﹣2ab≥a2t2+abt（t为任意实数）．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）如图，半径为5的⊙M圆心M的坐标为（9，12），点P是⊙M上任意一点，PA，PB与x轴分别交于A，B两点，且PA⊥PB，若点A，点B关于原点O对称，则AB的最大值为（　　）
A．60 B．40 C．34 D．20
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）将﹣（﹣2），，π，0，，3.14这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为无理数的概率是　 　 ．
12．（3分）如图，在⊙O中，若，∠1＝40°，则∠2的度数为　 　 ．
13．（3分）如图，在边长为1的菱形网格中，每个菱形的一个内角为60°，点A，B，C均在格点上，连接AB，BC，则tan∠ABC的值为 　 　 ．
14．（3分）如图，有一长为4，宽为3的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上的顶点A的位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使∠A1CA2＝60°，则点A翻滚到A2位置时，共走过的路径长为　 　 ．
15．（3分）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面30m的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37°，再将无人机沿教学楼方向水平飞行28.3m至点Q处．测得教学楼顶端点B的俯角为45°，则教学楼AB的高度约为　 　 m．（精确到1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为2的⊙P的圆心P从点A（8，m）（点A在直线y＝x﹣4上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线AC运动，设点P运动的时间为t秒，则当t＝　 　 时，⊙P与坐标轴相切．
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）
17．（5分）计算：．
18．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：
①作∠CAB的平分线AD交BC于点D；
②以点D为圆心，DC长为半径作⊙D．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用证明：
在（1）的条件下，求证：AB与⊙D相切．
19．（8分）为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．
【收集数据】
八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．
八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．
【描述数据】
八年级（1）班20名学生成绩统计表
分数 80 85 90 95 100
人数 3 3 a b 3
【分析数据】
八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表
统计量班级 平均数 中位数 众数 方差
八年级（1）班 m n 95 41.5
八年级（3）班 91 90 P 26.5
【应用数据】
根据以上信息，回答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）填空：m＝　 　 ，n＝　 　 ，P＝　 　 ；
（3）请通过数据说明哪个班级的成绩更好一些；
（4）从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率．
20．（9分）某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的半径为2．请求出该几何体的体积和表面积．
21．（9分）图，图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图，已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l．若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，求点C到水平线l的距离CF的长．
22．（11分）【阅读定义】
由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．
【理解概念】
（1）抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线是否可以围成“月牙线”？请说明理由；
【尝试应用】
（2）抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与x轴有相同的交点M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B．
①求a：b：c的值；
②已知点P（x0，m）和点Q（x0，n）在“月牙线”上，且m＞n，若m﹣n的最大值为2，求m﹣n取得最大值时AB的长．
23．（11分）如图，AB与⊙O相切于点A，半径OC∥AB，BC与⊙O相交于点D，连接AD．
（1）求证：∠OCA＝∠ADC；
（2）若AD＝4，，求OC的长．
24．（13分）如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点（﹣1，6），与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接AC，BC，OC＝4OB．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是射线CA上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交AC于点D，点M是线段DE上一动点，MN⊥y轴，垂足为N，点F为线段BC的中点，连接AM，NF，当线段PD长度取得最大值时，求AM+MN+NF的最小值；
（3）将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段PD长度取得最大值时的点D，且与直线AC相交于另一点K，点Q为新抛物线上的一个动点，当∠QDK＝∠ACB时，直接写出新抛物线表达式及所有符合条件的点Q的坐标．
2024-2025学年上学期山东省烟台市莱山区九年级期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A A B D C B C B
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的
1．（3分）某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图1所示．该浮漂的俯视图是图2，那么它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据物体及其俯视图即可求解．
【解答】解：由图形可得，它的主视图如图所示：
，
故选：D．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体，简单几何体的三视图，掌握三视图的画法是解题的关键．
2．（3分）二次函数y＝x2+2的顶点是（　　）
A．（0，2） B．（2，0） C．（1，3） D．（﹣1，3）
【分析】依据题意，根据二次函数的顶点式即可判断得解．
【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝x2+2，
∴其顶点为（0，2）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
3．（3分）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（　　）
A．asinθ千米 B．千米 C．acosθ千米 D．千米
【分析】根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：在Rt△ALR中，AR＝a，∠ARL＝θ，
∴sinθ＝，
∴AL＝AR sinθ＝asinθ（千米）．
答：火箭距海平面的高度AL为asinθ千米，
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握三角函数的定义是解题的关键．
4．（3分）某几何体是由完全相同的小正方体组合而成，如图是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有2层3列，故可得出该几何体的小正方体的个数．
【解答】解：综合三视图，我们可得出，这个几何体的底层应该有3个小正方体，第二层应该有2个小正方体，
因此搭成这个几何体的小正方体的个数为3+2＝5．
故选：A．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体，掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”是关键．
5．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是AO的中点．过点C作CE⊥AO交于点E，过点E作ED⊥OB，垂足为点D．在扇形内随机选取一点P，则点P落在阴影部分的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】设⊙O的半径为r，先利用余弦的定义求出∠COE＝60°，则∠BOE＝30°，再证明四边形OCED为矩形得到S△OCE＝S△ODE，所以阴影部分的面积＝S扇形BOE＝，然后根据几何概率的求法得到点P落在阴影部分的概率＝．
【解答】解：设⊙O的半径为r，
∵CE⊥AO，
∴∠OCE＝90°，
∵点C是AO的中点，
∴OC＝OA＝OE，
在Rt△OCE中，∵cos∠COE＝＝，
∴∠COE＝60°，
∴∠BOE＝∠AOB﹣∠COE＝30°，
∵ED⊥OB，
∴∠ODE＝90°，
∵∠COD＝∠OCE＝90°，
∴四边形OCED为矩形，
∴S△OCE＝S△ODE，
∴阴影部分的面积＝S扇形BOE＝，
∴点P落在阴影部分的概率＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了几何概率：某事件的概率＝该事件所占有的面积与总面积之比．利用面积和差用扇形的面积表示阴影部分的面积是解决问题的关键．
6．（3分）函数与的图象如图所示．若y1，y2均随着x的增大而减小，则x的取值范围是（　　）
A．﹣1＜x＜0 B．x＜﹣1 C．0＜x＜2 D．x＞1
【分析】利用图象法即可求解．
【解答】解：观察图象可知，当y1，y2均随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围是x＞1．
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，解题的关键是学会利用图象法解决问题．
7．（3分）如图，△BCD内接于⊙O，点B是的中点，CD是⊙O的直径，若∠ABC＝30°，AC＝3，则BC的长为（　　）
A．4 B． C． D．
【分析】连接AD，则∠ADC＝∠ABC＝30°，由CD是⊙O的直径，得∠CAD＝∠CBD＝90°，而AC＝3，则CD＝2AC＝6，由点B是的中点，得＝，则BC＝BD，由CD＝＝BC＝6，求得BC＝3，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接AD，则∠ADC＝∠ABC＝30°，
∵CD是⊙O的直径，AC＝3，
∴∠CAD＝∠CBD＝90°，
∴CD＝2AC＝6，
∵点B是的中点，
∴＝，
∴BC＝BD，
∵CD＝＝BC＝6，
∴BC＝3，
故选：C．
【点评】此题重点考查圆周角定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，E，F是边BC上两点，且BE＝EF＝FC，连接DE，AF，DE与AF相交于点G，连接BG，若AB＝8，BC＝12，则cos∠GBF的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据矩形的性质可证△EFG∽△DAG，过点G作GH⊥BC于点H，可证△EHG∽△ECD，得出比例式，进而解答即可．
【解答】解：由题意可得：AB＝CD＝8，AD＝BC＝12，AD∥BC，
∴，
∴△EFG∽△DAG，
∴，
∴，
过点G作GH⊥BC于点H，
∴GH∥CD，EC＝EF+FC＝8，
∴△EHG∽△ECD，
∴，
∴，
∴BH＝BE+EH＝4+2＝6，且∠EHG＝90°，
∴，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的余弦值，掌握相似三角形的判定和性质，三角函数的计算方法是解题的关键．
9．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2．下列说法：①abc＜0；②c﹣3a＞0；③当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；④4a2﹣2ab≥a2t2+abt（t为任意实数）．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①分别判断a、b、c的符号，再判断abc的符号；
②由对称轴为直线x＝﹣2，可知a与b的数量关系，消去b可得仅含a、c的解析式，找特定点可判断c﹣3a的符号；
③利用二次函数的性质即可判断；
④用a与b的数量关系，可将原式化简得到关于t的不等式，再用函数的性质（t为全体实数）判断．
【解答】解：①因图象开口向下，可知：a＜0；
又∵对称轴为直线x＝﹣2，
∴﹣＝﹣2，整理得：b＝4a，即a、b同号．
由图象可知，当x＝4时，y＜0，
又∵对称轴为直线x＝﹣2，可知：当x＝0时，y＜0；
即c＜0；
∴abc＜0，故①正确．
②由①得：b＝4a．
代入原解析式得：y＝ax2+4ax+c；
a （﹣1）2+4a （﹣1）+c＞0，
∴c﹣3a＞0，故②正确．
③∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，
∴当x＞﹣2时，y随x的增大而减小．
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，故③正确．
④设4a2﹣2ab≥a2t2+abt＝at（at+b），则at t﹣bt≥4a﹣2b，
∴两边+c得到4a﹣2b+c≤at t﹣bt+c，
∴左侧为x＝﹣2时的函数值为最大值，右侧为x＝t时的函数值，则不成立，故④错误．
综上，①②③正确，共3个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数字母系数与图象的关系、二次函数与一元二次方程的关系等知识．需综合利用二次函数的性质，不等式的性质解题．
10．（3分）如图，半径为5的⊙M圆心M的坐标为（9，12），点P是⊙M上任意一点，PA，PB与x轴分别交于A，B两点，且PA⊥PB，若点A，点B关于原点O对称，则AB的最大值为（　　）
A．60 B．40 C．34 D．20
【分析】连接OP，由直角三角形斜边中线的性质推出AB＝2PO，当P在OM的延长线时，PO最大，此时AB最大，由勾股定理求出OM＝15，得到PO＝OM+PM＝20，即可求出AB的最大值．
【解答】解：连接OP，
∵AO＝BO，∠APB＝90°，
∴AB＝2PO，
∴当PO取最大值时，AB的值最大，当P在OM的延长线时，PO最大，
∵M的坐标是（9，12），
∴OM＝＝15，
∵圆的半径是5，
∴PM＝5，
∴PO＝OM+PM＝15+5＝20，
∴AB＝2PO＝40，
∴AB的最大值是40．
故选：B．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，直角三角形斜边的中线，关键是由直角三角形斜边中线的性质得到AB＝2PO．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）将﹣（﹣2），，π，0，，3.14这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为无理数的概率是　　 ．
【分析】根据概率公式列式计算即可．
【解答】解：在﹣（﹣2），，π，0，，3.14这6个数中，无理数有π和两个，
∵抽到每个数的可能性相同，
∴从中随机抽取1张，卡片上的数为无理数的概率是＝；
故答案为：．
【点评】本题考查概率公式的应用，解题的关键是理解概率的意义．
12．（3分）如图，在⊙O中，若，∠1＝40°，则∠2的度数为　40°　 ．
【分析】圆心角、弧、弦的关系定理推出∠2＝∠1＝40°．
【解答】解：∵，
∴＝，
∴∠2＝∠1＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的圆心角也相等．
13．（3分）如图，在边长为1的菱形网格中，每个菱形的一个内角为60°，点A，B，C均在格点上，连接AB，BC，则tan∠ABC的值为 　　 ．
【分析】由等边三角形的性质和直角三角形的性质分别求出AF，BF的长，即可求解．
【解答】解：如图，连接AE，交BC于F，
∵每个菱形的一个内角为60°，AD＝DE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD＝DE＝3，∠AED＝60°，
∵BE＝EC，∠AEB＝∠AEC＝60°，
∴AE⊥BC，∠EBC＝30°，
∴EF＝BE＝1，BF＝EF＝，
∴AF＝2，
∴tan∠ABC＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，添加恰当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
14．（3分）如图，有一长为4，宽为3的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上的顶点A的位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使∠A1CA2＝60°，则点A翻滚到A2位置时，共走过的路径长为　π　 ．
【分析】分别根据第一次是以B为旋转中心，BA长5为半径旋转90°；第二次是以C为旋转中心，3为半径旋转60°；求出共走过的路径即可．
【解答】解：第一次是以B为旋转中心，BA长5为半径旋转90°，
此次点A走过的路径是2π 5＝π．
第二次是以C为旋转中心，3为半径旋转60°，
此次走过的路径是 2π 3＝π，
故点A两次共走过的路径是π．
故答案为：π．
【点评】此题主要考查了弧长公式的应用，根据已知得出A点运动的路线是解题关键．
15．（3分）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面30m的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37°，再将无人机沿教学楼方向水平飞行28.3m至点Q处．测得教学楼顶端点B的俯角为45°，则教学楼AB的高度约为　18　 m．（精确到1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【分析】先在Rt△PAM中利用直角三角形的边角间关系求出BM，再利用线段的和差关系得结论．
【解答】解：由题意可知，BM⊥PM．
∵无人机垂直上升距地面30m的点P处，
∴AM＝30m．
在Rt△QMB中，
∵∠MQB＝45°，
∴MBQ＝45°．
∴MQ＝MB．
在Rt△PAM中，
∵tan∠MPA＝，
∴AM≈0.75 PM，即30＝0.75（28.3+BM）．
∴BM＝11.7m．
∴AB＝AM﹣BM＝30﹣11.7＝18.3≈18（m）．
故答案为：18．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及线段的和差关系是解决本题的关键．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为2的⊙P的圆心P从点A（8，m）（点A在直线y＝x﹣4上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线AC运动，设点P运动的时间为t秒，则当t＝　2或6或10　 时，⊙P与坐标轴相切．
【分析】设⊙P与坐标轴的切点为D，根据已知条件得到A（8，4），B（4，0），C（0，﹣4），推出△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°，①当⊙P与x轴相切时，②如图，⊙P与x轴和y轴都相切时，③当点P只与y轴相切时，根据等腰直角三角形的性质得到结论．
【解答】解：设⊙P与坐标轴的切点为D，
∵直线y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于点B、C，点A（8，m），
∴x＝0时，y＝﹣4，y＝0时，x＝4，x＝8时，y＝4，
∴A（8，4），B（4，0），C（0，﹣4），
∴AB＝4，AC＝8，OB＝OC＝4，
∴△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°，
①当⊙P与x轴相切时，
∵点D是切点，⊙P的半径是2，
∴PD⊥x轴，PD＝2，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∴BD＝PD＝2，PB＝2，
∴AP＝AB﹣PB＝2，
∵点P的速度为每秒个单位长度，
∴t＝2；
②如图，⊙P与x轴和y轴都相切时，
∵PB＝2，
∴AP＝AB+PB＝6，
∵点P的速度为每秒个单位长度，
∴t＝6；
③当点P只与y轴相切时，
∵PC＝2，
∴AP＝AC+PC＝10，
∵点P的速度为每秒个单位长度，
∴t＝10．
综上所述，则当t＝2或6或10秒时，⊙P与坐标轴相切，
故答案为：2或6或10．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）
17．（5分）计算：．
【分析】先将各项化简，再算乘法，最后从左往右计算即可得
【解答】解：原式＝
＝
＝4．
【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂．熟练掌握以上知识点是关键．
18．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：
①作∠CAB的平分线AD交BC于点D；
②以点D为圆心，DC长为半径作⊙D．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用证明：
在（1）的条件下，求证：AB与⊙D相切．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）过点D作DE⊥AB于点E．证明DE＝DC＝半径即可．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：过点D作DE⊥AB于点E．
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝半径，
∴AB与⊙D相切．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，切线的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
19．（8分）为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．
【收集数据】
八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．
八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．
【描述数据】
八年级（1）班20名学生成绩统计表
分数 80 85 90 95 100
人数 3 3 a b 3
【分析数据】
八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表
统计量班级 平均数 中位数 众数 方差
八年级（1）班 m n 95 41.5
八年级（3）班 91 90 P 26.5
【应用数据】
根据以上信息，回答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）填空：m＝　91　 ，n＝　92.5　 ，P＝　90　 ；
（3）请通过数据说明哪个班级的成绩更好一些；
（4）从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率．
【分析】（1）由八年级（3）班20名学生成绩统计可得90分学生有7人，95分学生有6人，补全条形统即可；
（2）由八年级（1）班20名学生成绩统计可得a＝4，b＝7，根据平均数和中位数的定义进行计算即可；
（3）从平均数，中位数和众数综合分析得八年级（1）班成绩较好；
（4）设八年级（1）班的三名100分的学生用A、B、C表示，八年级（3）班的两名100分的学生用X、Y表示，用列表法表示出所有可能结果，再从中找出2名学生恰好在同一个班级的结果数，再根据概率的计算公式进行计算即可．
【解答】解：（1）由八年级（3）班20名学生成绩统计可得：90分学生有7人，95分学生有6人，
补全条形统计图，如图即为所求；
故答案为：91，92.5，90；
（2）由八年级（1）班20名学生成绩统计可得a＝4，b＝7，
∴，
一共20名学生，中位数应该为第10名与第11名的平均数，
，
∵90分的人数最多，
∴P＝90，
故答案为：91，92.5，90；
（3）八年级（1）班和八年级（3）班的平均成绩相同，但八年级（1）班的中位数和众数都比八年级（3）班高，即八年级（1）班高分段人数较多．因此八年级（1）班成绩较好；
（4）设八年级（1）班的三名100分的学生用A、B、C表示．八年级（3）班的两名100分的学生用X、Y表示，从5名得100分的学生中随机抽取2名学生参加市级知识竞赛，列表如下：
（1）班 （3）班 A B C X Y
A ﹣ AB AC AX AY
B BA ﹣ BC BX BY
C CA CB ﹣ CX CY
X XA XB XC ﹣ XY
Y YA YB YC YX ﹣
一共有20种情况．其中两名同学在同一个班级的有AB、AC、BA、BC、CA、CB、XY、YX共8种，
∴所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率为：．
【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，条形统计图，中位数，众数，方差，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法．
20．（9分）某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的半径为2．请求出该几何体的体积和表面积．
【分析】由三视图可知：该几何体是一个长、宽、高分别为6、8、4的长方体在上底面中间挖去一个直径为4的半圆柱，据此可计算出其表面积与体积．
【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个长、宽、高分别为6、8、4的长方体在上底面中间挖去一个直径为4的半圆柱，
S表面积＝6×4×2+6×8+6×2×2+（8×4﹣π×22）×2+π×4××6＝48+48+24+64﹣4π+12π＝184+8π，
V＝8×6×4﹣π×22×6＝192﹣12π．
【点评】此题考查由三视图判断几何体和几何体的表面积及体积，由三视图判断几何体的形状是解题的关键．
21．（9分）图，图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图，已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l．若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，求点C到水平线l的距离CF的长．
【分析】延长DC交l于点H，连接OC，根据题意及解三角形确定，，再由等面积法即可求解．
【解答】解：延长DC交l于点H，连接OC，
在Rt△OBH中，∠BOH＝90°﹣60°＝30°，OB＝12dm，
∴（dm），（dm），
∵S△OBH＝S△OCH+S△OBC，
∴，
∴，
∴（dm），
答：点C到水平线l的距离CF的长为dm．
【点评】本题考查了勾股定理，解三角形及利用三角形等面积法求解，作出辅助线是解题关键．
22．（11分）【阅读定义】
由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．
【理解概念】
（1）抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线是否可以围成“月牙线”？请说明理由；
【尝试应用】
（2）抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与x轴有相同的交点M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B．
①求a：b：c的值；
②已知点P（x0，m）和点Q（x0，n）在“月牙线”上，且m＞n，若m﹣n的最大值为2，求m﹣n取得最大值时AB的长．
【分析】（1）求出抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与x轴的交点为（1，0）和（2，0）；抛物线与x轴交点为（1，0）和（2，0），又抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线开口方向相同，即可知抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线围成“月牙线”；
（2）①求出抛物线与x轴交点为（3，0）和（﹣1，0），代入得：，解得，故a：b：c＝a：（﹣2a）：（﹣3a）＝1：（﹣2）：（﹣3）；
②由①知，，可得抛物线的顶点为（1，﹣4a），而抛物线的顶点为（1，﹣2），，可知抛物线在抛物线上方；即可得，结合m﹣n的最大值为2，从而计算可以得解．
【解答】解：（1）抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线围成“月牙线”；
理由如下：在y1＝2（x﹣1）（x﹣2）中，令y＝0得x＝1或x＝2，
∴抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与x轴的交点为（1，0）和（2，0）；
在中，令y＝0得x＝1或x＝2，
∴抛物线与x轴交点为（1，0）和（2，0），
∴抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线与x轴有相同的交点，
又抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2与抛物线开口方向相同，
∴抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线围成“月牙线”；
（2）①在中，令y＝0得x＝3或x＝﹣1，
∴抛物线与x轴交点为（3，0）和（﹣1，0），
把（3，0）和（﹣1，0）代入得：，
∴，
∴a：b：c＝a：（﹣2a）：（﹣3a）＝1：（﹣2）：（﹣3）．
∴a：b：c的值为1：（﹣2）：（﹣3）．
②由①知，，
∴抛物线的顶点为（1，﹣4a），
∵抛物线的顶点为（1，﹣2），，
∴﹣4a＜﹣2，
∴抛物线在抛物线上方．
∴，n＝a﹣2ax0﹣3a，
∴．
∵m﹣n的最大值为2，
∴．
∴2a2﹣3a+1＝0．
∴a＝或a＝1．
∵，
∴a＝1．
在中，令x＝0得，
∴A．
在中，令x＝0 得y＝﹣3a，
∴B（0，﹣3a）．
∴＝．
【点评】本题主要考查了二次函数综合应用，涉及新定义，二次函数的性质等知识，解题的关键是读懂题意，理解“月牙线”的概念．
23．（11分）如图，AB与⊙O相切于点A，半径OC∥AB，BC与⊙O相交于点D，连接AD．
（1）求证：∠OCA＝∠ADC；
（2）若AD＝4，，求OC的长．
【分析】（1）连接OA，则OA＝OC，由切线的性质得AB⊥OA，因为OC∥AB，所以∠AOC＝∠OAB＝90°，则∠OCA＝∠OAC＝45°，由圆周角定理得∠ADC＝∠AOC＝45°，则∠OCA＝∠ADC．
（2）设OA交BC于点F，作AL⊥BC于点L，由∠ADC＝45°，得＝tan45°＝，而AD＝4，则AL＝AD＝2，由＝tan∠OCF＝tanB＝＝＝，求得BL＝3AL＝6，则AB＝＝4，所以AF＝AB＝，由OF＝OC，且OF＝OA﹣AF＝OC﹣，得OC﹣＝OC，求得OC＝2．
【解答】（1）证明：连接OA，则OA＝OC，
∵AB与⊙O相切于点A，
∴AB⊥OA，
∵OC∥AB，
∴∠AOC＝∠OAB＝90°，
∴∠OCA＝∠OAC＝45°，
∵∠ADC＝∠AOC＝45°，
∴∠OCA＝∠ADC．
（2）解：设OA交BC于点F，作AL⊥BC于点L，则∠ALB＝90°，
∵∠ADC＝45°，AD＝4，
∴＝tan45°＝，
∴AL＝AD＝×4＝2，
∵∠FOC＝∠FAB＝90°，∠OCF＝∠B，tanB＝，
∴＝tan∠OCF＝tanB＝＝＝，
∴BL＝3AL＝3×2＝6，
∴AB＝＝＝4，
∴AF＝AB＝×4＝，
∵OF＝OC，且OF＝OA﹣AF＝OC﹣，
∴OC﹣＝OC，
解得OC＝2．
∴OC的长是2．
【点评】此题重点考查切线的性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质、圆周角定理、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
24．（13分）如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点（﹣1，6），与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接AC，BC，OC＝4OB．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是射线CA上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交AC于点D，点M是线段DE上一动点，MN⊥y轴，垂足为N，点F为线段BC的中点，连接AM，NF，当线段PD长度取得最大值时，求AM+MN+NF的最小值；
（3）将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段PD长度取得最大值时的点D，且与直线AC相交于另一点K，点Q为新抛物线上的一个动点，当∠QDK＝∠ACB时，直接写出新抛物线表达式及所有符合条件的点Q的坐标．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）将点A向右平移2个单位得到点A′（﹣2，0），连接A′F交y轴于点N，过点N作NM⊥PE，连接AM，则此时AM+MN+NF＝A′N+MN+NF＝2+A′F最小，即可求解；
（3）∠QDK＝∠ACB，则DQ∥BC，则直线DQ的表达式为：y＝﹣4（x+2）+2，即可求解；当点Q（Q′）在AC上方时，同理可解．
【解答】解：（1）在y＝ax2+bx+4中，令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
∴OC＝4，
∵OC＝4OB，
∴OB＝1，
即点B（1，0），
由题意得，
解得，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）由抛物线的表达式知，点A、B、C的坐标分别为：（﹣4，0）、（1，0）、（0，4），则点F（，2），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝x+4，
设点P（x，﹣x2﹣3x+4），则点D（x，x+4），
则PD＝﹣x2﹣3x+4﹣x﹣4＝﹣x2﹣4x，
当x＝﹣2时，PD取得最大值，则点E（﹣2，0）、D（﹣2，2），则MN＝2，
将点A向右平移2个单位得到点A′（﹣2，0），连接A′F交y轴于点N，过点N作NM⊥PE，连接AM，
则四边形MNA′A为平行四边形，则AM＝A′N，
则此时AM+MN+NF＝A′N+MN+NF＝2+A′F＝2+＝2+为最小；
（3）将该抛物线沿射线CA方向平移，当向左平移m个单位时，则向下平移了m个单位，
则新抛物线的表达式为：y＝﹣（x+m）2﹣3（x+m）+4﹣m，
将点D（﹣2，2）的坐标代入上式得：2＝﹣（﹣2+m）2﹣3（﹣2+m）+4﹣m，
解得：m＝2，
则新抛物线的表达式为：y＝﹣（x+m）2﹣3（x+m）+4﹣m＝﹣x2﹣7x﹣8，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣4x+4，
当点Q在AC下方时，
∵∠QDK＝∠ACB，则DQ∥BC，
则直线DQ和BC表达式中的k值相同，
而DQ过点D（﹣2，2），
则直线DQ的表达式为：y＝﹣4（x+2）+2，
联立上式和新抛物线的表达式得：﹣4（x+2）+2＝﹣x2﹣7x﹣8，
解得：x＝﹣2（舍去）或﹣1，
即点Q（﹣1，﹣2）；
当点Q（Q′）在AC上方时，
同理可得，点H′（﹣4，），
由点D、H′的坐标得，直线DH′的表达式为：y＝﹣（x+2）+2，
联立上式和新抛物线的表达式得：﹣（x+2）+2+2＝﹣x2﹣7x﹣8，
解得：x＝﹣2（舍去）或﹣，
即点Q（﹣，）；
综上，点Q的坐标为：（﹣1，﹣2）或（﹣，）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，解直角三角形，平行四边形的存在性问题，二次函数与线段最值，线段和最小值问题，熟练掌握以上知识点结合转化思想综合运用是解题关键．

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