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2025-2026学年山东省夏津第一中学高二上学期开学考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，为两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是( )
A. 若，，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
2.已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
3.在直角中，斜边，直角边若以该直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
4.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
5.下列关于空间向量的说法中正确的是( )
A. 单位向量都相等
B. 若，，则
C. 若向量，满足，则
D. 若，，则
6.在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为，，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
7.已知空间向量，，若，则的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
8.如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.多选若为空间中不同的四点，则下列各式结果一定是零向量的是( )
A. B.
C. D.
10.已知向量，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11.如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱，，，是棱的中点，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在直线上，则直线的一个方向向量为 ．
13.如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 ．
14.在圆台中，圆的半径是圆半径的倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
求向量的坐标；
若，求的值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，，分别为，的中点，求证：直线平面．
17.本小题分
如图，已知正方体的棱长为，和分别是和的中点．
求的值；
求证：；
求直线和所成角的大小．
18.本小题分
如图，四棱锥中，底面，底面是边长为的菱形，，为的中点，，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
写出，两点的坐标；
求异面直线与所成角的余弦值．
19.本小题分
如图，三棱锥各棱长均为，侧棱上的，，满足，，线段上的点满足平面，点在上，．

求证：平面平面；
求证：；
若，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由，得．
由知，
所以，，
又，则，
即，
所以
则．

16.取的中点，连接．
因为为的中点，所以且，
因为底面为正方形，为中点，所以且，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以．
因为平面，平面，
所以直线平面．

17.由题易知，
所以．
证明：因为和分别是和的中点，则为的中点，
所以且，即，
所以
，
所以．
设直线和所成角为，
又
，
，则，
所以和所成的角为．

18.在菱形中，，则，
易知与为等边三角形，则，
在等边中，为的中点，则，，
在中，，
所以，．
由，，，，
则，，
所以，，，
设异面直线与的夹角为，
．

19.，平面，平面，平面．
平面，平面，，平面，平面，
平面平面．
由知：平面平面．
又平面平面，平面平面，
．
，点是的中点．
，，点是的中点，．
，且三棱锥各棱长均为，，
，，，．
点在上，，解得．
，．
，
．
由知：，，，使得，
即．
由平面向量基本定理可得，解得．
综上所述，的值为．
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