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2025年9月广州市中学生数学金秋营测试试题（一)
一试试题
(满分120分，答题时间80分钟)
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.
1.设复数z满足引z2-41=z21,则|z-2|-|z+2|的所有可能值为
2
2.已知数列a,}满足：a,=5,a,1=25a,-3a,(neN),则{a,}的通项公式
为an=
3.已知集合M={1,2,,2025},A三M满足对任意x∈A,均有4x生A,则A|的
最大值为
4.设实数a≠0,1.函数f(x)满足：f(x)=7x+7-x(0均有f(x+2)=a·f(x),若f(x)在(0，+o)上为单调函数，则a的取值范围为」
5.在十六进制下，设数码A=11,B=12,C=13,D=14,E=15,则表达式
FEDCBA987654321-1
的值为
123456789 ABCDEF+1
6.设定点M在单位圆⊙O上，A为⊙O上的动点，B为射线OM上的动点，且满
足|AB=1,|OB|>1,线段AB与⊙O交于另一点C,D为线段OB的中点，则|CD|的
取值范围为
7.口袋中有4个白球，2个黄球，一次摸2个球，摸到的白球均放回口袋，摸到的黄
球则保留（不放回），则恰好第2025次两个黄球都被摸出的概率P225=
8.已知四面体ABCD的表面积为2，且满足AB=AD,BD=1,∠ABD+∠DBC+
CBA=∠ADB+∠BDC+∠CDA=元，∠ACB+∠ACD+∠BCD=7,则四面体
ABCD的体积为
二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
9.(本小题满分16分)已知数列x,}满足x=2,为=6，且x2=十X
2
Xntl+nt
1
1
1
32024-1
(n∈N),证明：
1+x1+x21+x2+x3
1+X2024+X20252×32025
10.(本小题满分20分)已知P为△ABC内一点，若点P在△ABC三边上的射影分
别为点D,E,F,满足AP2+PD2=BP2+PE2=CP2+PF2.设IA,Ia,1c是△ABC的
三个旁心，△ABC所在平面上一点Q满足PQ=PI4+PIg+PIc,求IQ·I,Ic的值.
Ⅱ.（本小题满分20分）已知点P(-4,0),直线AB:y=x+b与椭圆r:
+y2=1交
4
于A,B两点，直线PA,PB分别与与椭圆T交于C,D两点，则直线CD是否恒过定点？2025年广州市中学生数学金秋营一试解答
1、设复数z满足22-4=2引，求2-2-2+2的所有可能值
解：设z=x+y,则已知得x2-y2=2,等价于到左右两焦点距离差为±2a=±2√2
2
2、已知数列{a,}满足a,=了1=25a,-30,.ae),求{o,}的通项公式
解：令a-号，则4-号8=46-或，个么-co随8-，则6u-说宁
8=8,8=a,油g-coha-2-}-35取%=a3→6=6oh6h9
3
23
e2”h3+eh33”+3
3”+33
-→an=
2
2
5
3、已知集合M={1,2,,2025},AM满足对任意x∈A,均有4xEA,求A的最大值
解：令x=a.4,其中a不能被4整除，定义N(a)={a,4a,42a,4a},其中4'a≤2025<4a
只委选样不相你份数牌满足委系，g-回.4e-空@
·5=1:4a>2025a≥507，且a不能被4鉴除，共有139个，故139×[引-139
·5=2:4a≤2025,42a>2025→127≤a≤506，且a不能被4整除，共285个，故
285×
2
=285
·5=3:42a≤2025,43a>2025→32≤a≤126，且a不能被4整除，共71个，故
31
71X2=142
·5=4:43a≤2025,44a>2025→8≤a≤31，且a不能被4整除，共18个，故18×
4-2
=36
·5=5:44a≤2025,43a>2025→2≤a≤7，且a不能被4整除，共5个，故5×
5-2
=15
·5=6:4a≤2025,4a>2025→a=1,故1×
6
=3
2
综上，A的最大值为1139+285+142+36+15+3=1620
4、设实数a≠0,1，函数f(x)满足：f(x)=7*+7x(0f(x+2)=a时(x),若f(x)在(0，+o)上为单调函数，求a的取值范围
解，n77-7>0.0f)=af0,由知得a>0,f2)saf0)→af@)≤af0*)→a≥7+7_1201
2
49
5、在十六进制下设数码A=10,B=1,C=12,D=13,E=14,F=15(修)，求FEDCBA4987654321-1
123456789 ABCDEF+1
解(2023复旦)：
FEDCBA987654321-12×16+3×162++15×1624M
123456789 ABCDE7+116+14×16+13×162++1×16-16+W
16M-M=15×16-2×16+160-16=M=240
15
225065-0
16W-N=-165-14×16-160-169=N_16-3616,16+7-16-16_1665-)
15
225
225
225
则，M=224=14,故所求的值为14
16+N16
6、设定点M在单位圆⊙O上，A为⊙O上的动点，B为射线OM上的动点，且满足AB=1,
|OB到>1，线段AB与⊙O交于另一点C,D为线段OB的中点，求CD的取值范围
解：取O(0,0),M(1,0),建立坐标系，4(cos6,sin),由AB=1得B(2cos日，0)，又OB>1得
2cos0>1→0e(写孕.D=(eos8,0.店=B-A=(os8,-sn6),直线A8的参数方程为
P()=A+tAB=(cos6+tcos6,sin6-tsim),当t=0时，P(0)=A;当t=1时，P()=B.
将P)代入x2+y2=1→2tcos28+t2=0→t=0,t=-2cos28→xe=cos(1-2cos2),
yc sin0(1+2cos 20),CD=4cos2 ecos220+sin2 0(1+4cos 20+4cos2 20)=
4c0s228+sin290+4c0920)=4eos220+1-cs201+4c0s20)=2c0s220+2c0s28+
2
2红<20<2又点C在线段B上，有0<。<1→-号3
[

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