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2025-2026学年湖南省长沙市第六中学高二上学期分班考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = ∈ | 1| ≤ 1 ， = {1,2,3,4}，则 ∪ =( )
A. 1,2 B. 0,1,2,3,4 C. 1,0,1,2,3,4 D. 1,2,3,4
2.已知复数 满足( + 3)i = 3 i，则 =( )
A. 4 3i B. 4 + 3i C. 4 3i D. 4 + 3i
3.某班级有男生 20 人，女生 30 人，从中抽取 10 人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了 4 名男生、6
名女生，则下列命题中正确的是( )
A.这次抽样可能采用的是简单随机抽样
B.这次抽样一定没有采用分层抽样
C.这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率
D.这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率
4.若圆锥的轴截面是等边三角形，且圆锥的母线长为 2，则该圆锥的侧面积为( )
A. 4 B. 2 C. 2 3 D. 3
ln 2 + 2
5.已知函数 ( ) = 1 为偶函数，则 =( )
A. 1 B. 12 4 C.
1
4 D.
1
2
6.已知 0 < < 1，0 < < 1，且 2log4 = log2(1 )
1 9
，则 + 的最小值是( )
A. 18 B. 16 C. 10 D. 4
7.将函数 = 3cos + sin ( ∈ )的图象向左平移 ( > 0)个单位长度后，所得到的图象关于 轴对称，
则 的最小值是( )
A. 6 B.

12 C.
D. 5 3 6
8.[ ]表示不超过实数 的最大整数，已知奇函数 ( )的定义域为 ， ( + 2)为偶函数， ( 2) = 8，对于
[0,2] , 1+4 2+4区间 上的任意 21 2都有 2
> 0，若关于 的不等式 ( ) ≥ 6 19 对任意的 ∈ 恒成立，
1
则[ ]的最大值是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.(多选题)设 , 为两个随机事件，以下命题错误的为( )
A.若 , 1是对立事件，且 ( ) = 5，则 ( ) =
4
25
B.若 , 是对立事件，则 ( ∪ ) = 1
C.若 , ( ) = 1是互斥事件， 3， ( ) =
1 1
2，则 ( ∪ ) = 6
D. , 1 1 1若 是互斥事件， ( ) = 4 , ( ) = 3，则 ( ∪ ) > 2
10 π.已知函数 ( ) = sin 2 + 6 ，则下列结论正确的是( )
A. ( ) π的图象向左平移6个单位长度后得到函数 ( ) = sin 2 +
π
3 的图象
B.直线 = π3是 ( )图象的一条对称轴
C. ( ) π π在 4 , 2 上单调递减
D. ( ) 5π的图象关于点 12 , 0 对称
11.如图，在棱长为 5 的正方体 ′ ′ ′ ′中， 是侧面 ′ ′上的一个动点，点 为线段 ′
上，且 ′ = 2，则以下命题正确的是( )
A.沿正方体的表面从点 到点 的最短距离是 3 10
B.保持 与 ′垂直时，点 的轨迹长度为 3 2
C.若保持| | = 26 4，则 的轨迹长度为3π
D.平面 ′ 被正方体 ′ ′ ′ ′截得截面为等腰梯形
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知平面向量 = sin , 1 , = 2, cos ，若 ⊥ ，则 tan = ．
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13.如图，在四棱锥 中，底面 3为矩形； 为 的中点．若 = 1， = 3， = 4，当三
棱锥 的体积取到最大值时，点 到平面 的距离为 ．
14.已知三角形的三边长，其面积是固定的，而已知平面凸四边形的四边长，其面积是不确定的．现有一平
面凸四边形 ， = 3, = 4, = 5, = 6，则其面积最大值为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 ， ， 分别为 三边 ， ， 所对的角，向量 = sin , sin ， = cos , cos ，且 = sin2 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 sin + sin = 2sin ，且 = 18，求边 的长．
16.(本小题 15 分)
2025 年 4 月 15 日 5 月 5 日春季广交会期间，出口意向成交额 249.5 亿美元.“一带一路”共建国家成交
占比过半，欧美传统市场成交实现增长.现从某出口贸易展馆随机抽取了 100 名观展人员，统计他们的观展
时间(从进入至离开该展馆的时长，单位：分钟，取整数)，将时间分成 45,55 , 55,65 , , 85,95 五组，并
绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中 的值；
(2)由频率分布直方图，试估计该样本数据的第 75 百分位数(保留一位小数)以及该样本数据的平均数(每组
数据以区间的中点值为代表)；
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(3)展馆举办方为了进一步了解所抽取的 100 名观展人员对展品的评价，现采用分层抽样的方法(样本量按
比例分配)，从参观时间在 45,55 和 85,95 内的观展人员中抽取 5 人，再从中随机挑出两人进行详细调研，
求两人分别来自于观展时间在 45,55 和 85,95 的概率．
17.(本小题 15 分)
如图， , 分别是正四棱柱上、下底面的中心， 是 的中点， = 1．
(1)求证： 1 //平面 ；
(2)当 = 2时，求直线 与平面 所成角的大小；
(3)当 取何值时， 在平面 内的射影恰好为 的重心？
18.(本小题 17 分)

已知函数 ( ) = 2 2 + ， ( ) = log
1
+ ( > 0 且 ≠ 1)，且 (0) = 0．
(1)求 的值，判断函数 ( )的奇偶性并说明理由；
(2)当 = 2 时，求不等式 ( ) > 1 的解集；
(3)若关于 的方程 ( ) 2 ( 1) ( ) 3 = 0 有两个不同的解，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
定义非零向量 = ( , )的“相伴函数”为 ( ) = sin + cos ，( ∈ )，向量 = ( , )称为函数
( ) = sin + cos ( ∈ )的“相伴向量”(其中点 为坐标原点)．
(1)设函数 ( ) = 2sin 3 cos 6 + ，求函数 ( )的“相伴向量”
的坐标；
(2)记 = (0,2)的“相伴函数”为 ( )，设函数 ( ) = ( ) + 2 3|sin | 1， ∈ [0,2 ]，若方程 ( ) =
有四个不同实数根，求实数 的取值范围；
(3)已知点 ( , ) ，( ≠ 0)满足条件： ∈ 0, 3 ，且向量
的“相伴函数” ( )在 = 0时取得最大值，
当点 运动时，求 tan2 0的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.12/0.5
13. 310/0.3
14.6 10
15.【详解】(1)由已知得 = sin cos + cos sin = sin( + )．
因为 + + = π，所以 sin( + ) = sin π = sin ，
所以 = sin ．
又 = sin2 ，所以 sin2 = 2sin cos = sin ，
∵ 0 < < π，则 sin ≠ 0
1
所以 cos = 2 .又 0 < < π，
所以 = π3；
(2)由已知 sin + sin = 2sin 及正弦定理得 2 = + ．
因为 = = 18，所以 cos = 18，所以 = 36．
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos = ( + )2 3 ，
所以 2 = 4 2 3 × 36，所以 2 = 36，
所以 = 6．
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16.【详解】(1)由题意有： 0.01 + 0.035 + 0.025 + 2 × 10 = 1，解得 = 0.015；
(2)设第 75 百分位数为 ，则 0.01 × 10 + 0.035 × 10 + 0.025 × 10 + ( 75) × 0.015 = 0.75，解得 ≈ 78.3，
由 = 50 × 0.01 × 10 + 60 × 0.035 × 10 + 70 × 0.025 × 10 + 80 × 0.015 × 10 + 90 × 0.015 × 10 = 69，
所以估计该样本数据的第 75 百分位数为 78.3，该样本数据的平均数为 69；
(3)由题意有 45,55 的人数为：100 × 0.01 × 10 = 10 人， 85,95 的人数为：100 × 0.015 × 10 = 15 人，
根据分层抽样在 45,55 5 5应抽取：10 × 25 = 2 人，在 85,95 应抽取：15 × 25 = 3 人，
设 45,55 抽取 2 人为 1, 2， 85,95 抽取 3 人为 1, 2, 3，
从 5 人中随机挑出两人进行详细调研，则有 = 1 2, 1 1, 1 2, 1 3, 2 1, 2 2, 2 3, 1 2, 1 3, 2 3 共有
10 种情况，
令事件 表示两人分别来自于观展时间在 45,55 和 85,95 ，
则 = 1 1, 1 2, 1 3, 2 1, 2 2,
6 3
2 3 共有 6 种情况，所以 ( ) = 10 = 5．
17.【详解】(1)解法 1：取 ， 分别为 1 1, 1 1的中点，连接 , ，则 过 ，
且四边形 是平行四边形.如图．
因为 , 分别为 , 1 1中点，所以 ，
又 平面 ， 1 平面 ，所以 1 //平面 ．
解法 2：以点 为原点，直线 , , 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设 = 2 2，
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则 1 2,0,
2 2
, (1,1,0), 0,0,
2 2
, (0,2,0), ( 2,0,0)．
2 2
由上得 1 = 1,1, ,
= ( 2, 2,0), = 0,2, 2 2 ．
= + 1,1, 2 2 = ( 2, 2,0) + 0,2, 2 2设 1 得 ，
解得 = 1 , = 1 1，所以 1 = + 2 2 ．
因为 ∩ = , , 平面 ， 1 平面 ，所以 1 //平面 ．
(2)解法 1：过点 作 ⊥ ，垂足为 ，连接 ．
因为 ⊥平面 1 1, 平面 1 1，所以 ⊥ , ∩ = ，
, 平面 ，所以 ⊥平面 ，
所以∠ 就是直线 与平面 所成的角．
= 2 3 6设 1 ，则 = 2 , = 3 , = 2 , sin∠ = = 3 ．
6
所以，直线 与平面 所成的角是 arcsin 3 ．
解法 2：当 = 2时，由 (0,0,2), (2,0,0)，
得 = (2,0, 2), = ( 2, 2,0), = (0,2, 2)．
设平面 的法向量为 = (1, , )，
= 0, 1 + = 0,
则由 = (1, 1, 1) 得 = 0. ． = 0,

cos , = = 6 ， 3
6
所以直线 与平面 所成角的大小为 arcsin 3 ．
(3)解法 1：连接 , , ， ⊥ ，
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因为 ⊥ , ⊥ ， ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，所以 ⊥ ，
同理 ⊥ ，所以 在平面 上的射影是 的垂心．
又 在平面 上的射影是 的重心，则 为正三角形，即 = = ，
所以 = 2．
反之，当 = 2时， = = = = ，所以三棱锥 为正三棱锥．
所以 在平面 内的射影为 的重心．
解法 2：设 的重心 ( , , )，
所以 = 2 × 1 + = 1 3 2 3 +
= 2 , 2 , 4 2 2 2 2 23 3 3 ，所以 3 , 3 , 3 ，
则 = 23 ,
2 , 2 23 3 ，

若 在平面 = 0,内的射影恰好为 的重心，则有 解得 = 2． = 0,
所以当 = 2时， 在平面 内的射影恰好为 的重心．

18. 1 【详解】(1)由 (0) = 1+ = 0 得 = 1
2 1 1
，故 ( ) = 2 +1， ( ) = log +1．
( )为奇函数，理由如下：
( ) 1定义域满足 +1 > 0，即 ∈ ( ∞, 1) ∪ (1, + ∞)，
1
( ) = log 1 = log 1 = log 1又 +1 +1 +1 = ( )，故 ( )为奇函数．
(2) = 2， ( ) = log 1 > 1 = log 2 1 +32 +1 2 ，即 +1 > 2，即 +1 < 0，解得 ∈ ( 3, 1)．
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故不等式 ( ) > 1 的解集为( 3, 1)

(3) ( ) ( ) = 2 1的定义域为 ， 2 +1 = 1
2 2
2 +1，为增函数，∵ 2
+ 1 > 1，∴ 0 < 2 +1 < 2，∴ ( ) ∈ ( 1,1)．
经检验 (0) = 0 不符合方程 ( ) 2 ( 1) ( ) 3 = 0 ( )+3，故可化为 = 2( ) ( )，
2
( ) ∈ ( 1,1) 1 = ( ) ( ) 1
2 2
又 ，可化为 ( )+3 ，令 = ( ) + 3 ∈ (2,3) ∪ (3,4)，则 =
(3 ) + 3 = 5 +6 = +
6
5．
∵关于 的方程 ( ) 2 ( 1) ( ) 3 = 0 1有两个不同的解，即等价于 = +
6
5 在 ∈ (2,3) ∪ (3,4)
1
有两个不同的解，即等价于 = 与 ( ) = +
6
5 的图象在 ∈ (2,3) ∪ (3,4)有两个交点．
∵ ( ) = + 6 5 ≥ 2
6
5 = 2 6 5，当且仅当 = 6时等号成立，且 ( )在 2, 6 单调递减，在
6, 3 、(3,4)单调递增， (2) = (3)，
1
故当 = 与 ( ) = +
6
5 的图象在 ∈ (2,3) ∪ (3,4)
1
有两个交点时， ∈ 2 6 5,0 ，即 ∈ ∞,
2 6 5 ．
故实数 的取值范围为 ∞, 2 6 5 ．
19.【详解】(1)解： ( ) = 2sin 3 cos 6 +

= 2sin 3 cos 2cos 3 sin cos 6 cos sin 6 sin
= 3cos sin 32 cos +
1
2 sin =
1
2 sin +
3
2 cos ，
所以函数 ( ) 1 3的相伴向量 = 2 , 2 ．
(2)解：由题知： ( ) = 0 sin + 2 cos = 2cos ，
所以 ( ) = ( ) + 2 3|sin | 1 = 2cos + 2 3|sin | 1．
①当 ∈ [0, ]时， ( ) = 2cos + 2 3sin 1 = 4sin + 6 1；
②当 ∈ ( , 2 ]时， ( ) = 2cos 2 3sin 1 = 4sin 6 1．
4sin + 6 1, ∈ [0, ]所以 ( ) = ,
4sin 6 1, ∈ ( , 2 ]
可求得 ( )在 0, 5 3 单调递增， 3 , 单调递减， , 3 单调递增，
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5
3 , 2 单调递减且 (0) = 1,

3 = 3, ( ) = 3,
5
3 = 3, (2 ) = 1，
∵ ( )图像与 = 有且仅有四个不同的交点，
∴ 1 ≤ < 3
所以实数 的取值范围为[1,3)
(3)解： 的“相伴函数” ( ) = sin + cos = 2 + 2sin( + )，其中 cos = ，sin = ，
2+ 2 2+ 2
tan = ．
当 + = 2 + 2， ∈ 即 0 = 2 +

2 ， ∈ 时 ( )取得最大值．
sin 2 +
cos
所以 tan 20 = tan 2 + 2 = = = ，cos 2 + 2 sin

当 = 1 时 tan 0 = 1，此时 0 = 2 +

4，2 0 = 4 +

2， ∈ ，所以 tan2 0无意义，

2×
当 ≠ 1 2tan 时，所以 tan2 = 0 = 2 0 1 tan2 =0 2
，
1
= 2令 ，则 tan2 0 = ， ∈ (0,1) ∪ 1, 3 , 1
因为 = 1 在 0, 3 上单调递增，
∈ (0,1) ∪ 1, 3 1 2 3所以 时 ∈ ( ∞,0) ∪ 0, 3 ,
所以 tan2 0 ∈ ( ∞,0) ∪ [ 3, + ∞)．
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