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第28讲 复数
【知识点1】复数的有关概念 3
【知识点2】复数的运算 3
【知识点3】复数的几何意义 4
【知识点4】复数的模 5
1．复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是实部，b是虚部，i为虚数单位．
(2)复数的分类
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)复数相等
a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数
a＋bi与c＋di互为共轭复数 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.
3．复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－.
常用结论：
1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
5．复数z的方程在复平面内表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，a和b为半径的两圆所夹的圆环．
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆
【知识点1】复数的有关概念
解决复数概念问题的两个注意事项
例1：
【例1】（2025春 吉林期中）已知复数，则的虚部为　　
A． B． C．1 D．
【例2】（2025春 六盘水期末）已知复数，则　　
A．的虚部为 B． C． D．
【例3】（2025春 湖北期末）若复数为纯虚数，则实数的值为　　
A．2 B．2或 C． D．
【例4】（2025 赣州模拟）复数，，为虚数单位）的实部为3，则复数的虚部为　　
A．2 B． C． D．
【例5】（2025春 江西期末）复数的实部与虚部之和为　　
A． B．1 C．2 D．3
【知识点2】复数的运算
复数代数形式运算的策略
【例6】（2025春 昭通期末）若复数，则　　
A． B． C． D．
【例7】（2025 新高考Ⅱ）已知，则　　
A． B． C． D．1
【例8】（2025春 沙坪坝区期中）若，则　　
A． B． C． D．
【例9】（2025春 南岸区期中）已知，则　　
A． B． C． D．
【例10】（2025春 乌鲁木齐期末）复数　　
A． B． C． D．
【知识点3】复数的几何意义
复数z、复平面内的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) .由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观
【例11】（2025春 都匀市期末）已知为虚数单位，设复数，则在复平面内对应的点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例12】（2025 青羊区模拟）在复平面内，对应的点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例13】（2025春 沧州期末）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是　　
A． B．或 C． D．
【例14】（2025春 桃城区期末）复数在复平面内所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例15】（2024秋 唐县期末）若，则在复平面内对应的点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【知识点4】复数的模
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
例1：
【例16】（2025春 仁寿县期末）复数，则　　
A． B． C．5 D．
【例17】（2025春 湖州期末）已知，其中为虚数单位，则　　
A． B． C． D．
【例18】（2025 仁寿县四模）若复数，则　　
A． B．2 C． D．10
【例19】（2025 浙江模拟）若是复数单位），则　　
A．1 B． C． D．2
【例20】（2025 渝中区模拟）已知复数满足（其中是虚数单位），则　　
A． B．1 C． D．第28讲 复数
【知识点1】复数的有关概念 2
【知识点2】复数的运算 5
【知识点3】复数的几何意义 7
【知识点4】复数的模 9
1．复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是实部，b是虚部，i为虚数单位．
(2)复数的分类
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)复数相等
a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数
a＋bi与c＋di互为共轭复数 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.
3．复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－.
常用结论：
1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
5．复数z的方程在复平面内表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，a和b为半径的两圆所夹的圆环．
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆
【知识点1】复数的有关概念
解决复数概念问题的两个注意事项
例1：
【例1】（2025春 吉林期中）已知复数，则的虚部为　　
A． B． C．1 D．
【答案】
【分析】先对复数进行化简，再根据复数虚部的定义求出的虚部．
【解答】解：复数，虚部为．
故选：．
【例2】（2025春 六盘水期末）已知复数，则　　
A．的虚部为 B． C． D．
【答案】
【分析】由已知可得的虚部，即可判断；由复数模的运算即可判断；由共轭复数的定义即可判断；虚部不为0的复数不能比较大小，即可判断．
【解答】解：由，得的虚部为1，故错误；
，故错误；
由共轭复数的定义可知，故正确；
由虚数不能比较大小可知，错误．
故选：．
【例3】（2025春 湖北期末）若复数为纯虚数，则实数的值为　　
A．2 B．2或 C． D．
【答案】
【分析】利用复数的概念可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值．
【解答】解：由题意可知，复数为纯虚数，
由纯虚数的定义可得，，
解得，
即实数的值为2．
故选：．
【例4】（2025 赣州模拟）复数，，为虚数单位）的实部为3，则复数的虚部为　　
A．2 B． C． D．
【答案】
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于3求解值，则答案可求．
【解答】解：的实部为3，
，即．
可得，即复数的虚部为．
故选：．
【例5】（2025春 江西期末）复数的实部与虚部之和为　　
A． B．1 C．2 D．3
【答案】
【分析】化简复数，即可根据实部和虚部的定义求解．
【解答】解：，
所以的实部和虚部分别为1，2，
所以复数的实部与虚部之和为3．
故选：．
【知识点2】复数的运算
复数代数形式运算的策略
【例6】（2025春 昭通期末）若复数，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据复数的乘法运算求解．
【解答】解：由，得，
则．
故选：．
【例7】（2025 新高考Ⅱ）已知，则　　
A． B． C． D．1
【答案】
【分析】利用复数的除法法则计算．
【解答】解：由题意得：．
故选：．
【例8】（2025春 沙坪坝区期中）若，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】结合利用复数的运算法则求解．
【解答】解：，
，
已知，，，
则．
故选：．
【例9】（2025春 南岸区期中）已知，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由复数的除法、乘法运算即可求解．
【解答】解：因为，
所以，
所以．
故选：．
【例10】（2025春 乌鲁木齐期末）复数　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】直接利用复数的除法运算化简求值．
【解答】解：．
故选：．
【知识点3】复数的几何意义
复数z、复平面内的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) .由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观
【例11】（2025春 都匀市期末）已知为虚数单位，设复数，则在复平面内对应的点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】
【分析】结合共轭复数的概念，以及复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：复数，
则，
故在复平面内对应的点位于第三象限．
故选：．
【例12】（2025 青羊区模拟）在复平面内，对应的点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】
【分析】由复数模的运算及复数代数形式的乘除运算化简复数，求出其在复平面内对应点的坐标得答案．
【解答】解：，
，
则复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选：．
【例13】（2025春 沧州期末）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是　　
A． B．或 C． D．
【答案】
【分析】根据复数的几何意义，结合题意，列出不等式，求解即可．
【解答】解：复数在复平面内对应的点的坐标为，
且复数在复平面内对应的点位于第二象限，
，解得．
即实数的取值范围是．
故选：．
【例14】（2025春 桃城区期末）复数在复平面内所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据已知化简得出，即可根据复数的几何意义得出答案．
【解答】解：由，
可知复数z在复平面内所对应的点为，该点位于第四象限．
故选：D．
【例15】（2024秋 唐县期末）若，则在复平面内对应的点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】
【分析】利用复数的四则运算化简求出复数，求得其共轭复数，利用复数的几何意义即可判断．
【解答】解：由，可得，
故在复平面内对应的点位于第三象限．
故选：．
【知识点4】复数的模
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
例1：
【例16】（2025春 仁寿县期末）复数，则　　
A． B． C．5 D．
【答案】
【分析】由复数的模长计算可得．
【解答】解：复数，则．
故选：．
【例17】（2025春 湖州期末）已知，其中为虚数单位，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先应用复数的四则运算，化简复数，最后再求模长即可．
【解答】解：，则．
故选：．
【例18】（2025 仁寿县四模）若复数，则　　
A． B．2 C． D．10
【答案】
【分析】根据复数的除法运算及模长计算公式即可求解．
【解答】解：，
则．
故选：．
【例19】（2025 浙江模拟）若是复数单位），则　　
A．1 B． C． D．2
【答案】
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，对化简，再结合复数模公式，即可求解．
【解答】解：若，
故，
．
故选：．
【例20】（2025 渝中区模拟）已知复数满足（其中是虚数单位），则　　
A． B．1 C． D．
【答案】
【分析】利用复数的运算性质、模的计算公式即可得出．
【解答】解：，
，
．
．
故选：．

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