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第37讲 空间向量及其运算
【知识点1】空间向量的线性运算 3
【知识点2】共线、共面向量定理的应用 6
【知识点3】求空间向量的数量积 10
【知识点4】利用数量积求长度与夹角 12
1．空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中，具有大小和方向的量
相等向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量
共线向量(或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
2．空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积
非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量表示 坐标表示
向量加减 a±b (a1±b1，a2±b2，a3±b3)
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a|
夹角余弦值 cos〈a，b〉＝ (a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
(3)空间向量数量积的运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)；②a·b＝b·a(交换律)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．
4．投影向量
(1)向量a在向量b上的投影
先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图1，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．
(2)向量a在直线l上的投影
如图2，向量c称为向量a在直线l上的投影向量．
(3)向量a在平面β上的投影
如图3，分别由向量a的起点A和终点B作平
面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，则向量(a′)称为向量a在平面β上的投影向量．
常用结论：
1．在空间中，A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为空间任意一点．
2．在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点．
3．在利用＝x＋y证明MN∥平面ABC时，必须说明点M或点N不在平面ABC内．
4．空间向量的数量积不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立
【知识点1】空间向量的线性运算
空间向量线性运算中的三个关键点
例1：
【例1】（2025春 长沙期末）如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用空间向量基本定理结合题意求解即可
【解答】解：因为空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，
所以
．
故选：．
【例2】（2024秋 广东期末）如图，空间四边形中，，点为中点，点在侧棱上，且，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由图形中线段关系，应用向量加减、数乘的几何意义用表示出．
【解答】解：．
故选：．
【例3】（2025 甘肃模拟）如图，空间四边形中，，，，点在上，且满足，点为的中点，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用空间向量基本定理，空间向量的线性运算求解即可．
【解答】解：，，，，点为的中点，
，
故选：．
【例4】（2025 长沙模拟）已知空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解．
【解答】解：，，，点在上，且，为中点，
则．
故选：．
【例5】（2024秋 石景山区期末）如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用空间向量的线性运算求解即可．
【解答】解：，
故选：．
【知识点2】共线、共面向量定理的应用
1．对空间任一点O，＝x＋y，若x＋y＝1，则点P，A，B共线．
2．证明空间四点P，M，A，B共面的方法
(1)＝x＋y．
(2)对空间任一点O，＝＋x＋y．
(3)对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)．
(4)∥(或∥或∥)
【例6】（2025春 龙岩期末）已知，，，为空间中四点，任意三点不共线，且，若，，，四点共面，则的值为　　
A．2 B．1 C． D．0
【答案】
【分析】根据空间向量共面定理得，进而求解．
【解答】解：因为，且，，，四点共面，
所以，即．
故选：．
【例7】（2025春 贵阳月考）如图，在正四面体中，为的中点，，，当时，，，，四点共面，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由，，，四点共面可得，，，运用空间向量的线性运算得到，代入，根据系数对应相等列方程组即可得到答案．
【解答】解：根据题意可知，在正四面体中，当时，，，，四点共面，存在唯一的，，使得，
，，
根据题意可知，为的中点，，
，，
根据空间向量的线性运算可知，，
，
，
代入，得，
根据系数对应相等列方程组可知，，解得，则．
故选：．
【例8】（2025春 润州区期末）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则　　
A．1 B． C． D．
【答案】
【分析】由，，，四点共面的充要条件得到，用向量的差整理成与共起点的向量表示式，结合已知由空间向量的基本定理列出方程组，解出即可．
【解答】解：若，，，四点共面，则存在有序实数对，使，
所以，整理得：，
又由题知，由空间向量的基本定理知：
，解得，所以．
故选：．
【例9】（2024秋 颍州区期末）如图所示，若为平行四边形所在平面外一点，为上的点，且，点在上，且．若，，，四点共面，则为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】以为基底，表示向量，由可求的值．
【解答】解：因为．
由，，，四点共面，所以，
整理得：．
故选：．
【例10】（2024秋 南通期末）已知，，三点不共线，点在平面外，点满足，则当点，，，共面时，实数　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由向量减法，可得，再根据题设及空间向量的共面定理即可求解．
【解答】解：由，
可得，
即，
当点，，，共面时，
有，解得．
故选：．
【知识点3】求空间向量的数量积
空间向量数量积的计算方法
(1)定义法：设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ．
(2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2．
【例11】（2025春 浦东新区期末）已知空间三点，0，，，，，，，，若向量，则实数　　
A．37 B．36 C． D．
【答案】
【分析】根据空间向量的坐标运算，求出，，结合向量垂直的性质，即可得出答案．
【解答】解：，0，，，，，，，，
苏破译，，
，
，解得，
故选：．
【例12】（2024秋 辽宁期末）设，，向量，，且，，则　　
A． B．3 C． D．4
【答案】
【分析】利用空间向量的垂直与共线，列出方程组求解即可．
【解答】解：，，向量，，且，，
可得，，解得，，
则，，，
则，
故选：．
【例13】（2024秋 汉中期末）设，，向量，1，，，，，，，，且，，则　　
A． B． C．3 D．
【答案】
【分析】由，，列出方程组求出，，从而，，，0，，由此能求出．
【解答】解：设，，向量，1，，，，，，，，
且，，
，解得，，
，，，0，，
．
故选：．
【例14】（2024秋 天心区期末）已知空间向量，，，，1，，若与垂直，则等于　　
A． B． C．3 D．
【答案】
【分析】结合向量垂直的性质，求出，再结合向量模公式，即可求解．
【解答】解：向量，，，，1，，，
所以，解得，
故，6，，
所以．
故选：．
【例15】（2024秋 宜春期末）已知空间向量，若，则　　
A． B．3 C． D．2
【答案】
【分析】根据空间向量运算的坐标表示进行计算即可．
【解答】解：由题意可得，
因为，
所以，
解得．
故选：．
【知识点4】利用数量积求长度与夹角
(1)运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度(即两点间距离)的计算问题转化为向量数量积的计算问题．
(2)设非零向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝，进而可求两向量的夹角
例1：
【例16】（2025春 宿迁期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，向量＝（1，1，t）（t∈R）在面xOy上的投影向量为，在向量＝（﹣1，0，0）上的投影向量为，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．与t有关
【答案】A
【分析】首先求出的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出其夹角即可．
【解答】解：∵向量在面xOy上的投影向量为，
则．
∵在向量上的投影向量为，
∴．
cos＜＞＝＝＝，
∵与的夹角的取值范围是[0，π]，
∴向量的夹角为．
故选：A．
【例17】（2025春 河南期中）在正四棱柱中，，，点，分别为正方形与正方形的中心，为的中点，点为线段上的动点，则当点到平面的距离最大时，直线与平面所成角的正弦值为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】以为原点，以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，根据点到平面距离的向量公式及直线与平面夹角的向量公式求解即可．
【解答】解：以为原点，以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，1，，，2，，，2，，，1，，
因为为的中点，所以，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，则，
取，则，
设，
所以，
所以，
点到平面的距离，
当时，即与点重合时，点到平面的距离最大，
此时，
直线与平面所成角的正弦值为，
故选：．
【例18】（2025春 重庆期末）如图，三棱柱中，为中点，为中点．
（1）求证：平面
（2）已知平面，，，，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）由线面平行的判定定理得到平面，平面，由面面平行的判定定理得到平面平面，再由面面平行的性质定理得到平面；
（2）建立空间直角坐标系，由线面角的向量求法求得线面角的正弦值．
【解答】（1）证明：取中点，连接，，
在△中，由于，为中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
在平行四边形中，，为对边中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为，平面，，
所以平面平面，
又平面，
所以平面；
（2）解：因为，所以，
那么以为原点，分别以为轴，轴，轴建立坐标系，如图所示，
则，0，，，0，，，4，，，4，，，2，，
所以
不妨设平面的一个法向量为，
由可得，
不妨令，那么，
则，，，
所以，．
设为直线与平面所成角，
则，．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【例19】（2025春 郑州期末）如图，在四面体ABCD中，△ABD为等边三角形，BC⊥BD，BD＝BC＝2，且．
（1）求证：平面ABD⊥平面BCD；
（2）若点E满足，求平面ACD与平面ABE夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）利用余弦定理可求得，进而利用勾股定理的逆定可证BC⊥AB，利用线面垂直的判定定理可得BC⊥平面ABD，可证结论；
（2）记BD的中点为O，CD的中点为F，连接OA，OF，可证得OD，OF，OA两两垂直，进而建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面ACD与平面ABE夹角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：由题可知，
因为△ABD是等边三角形，所以AD＝AB＝BD＝2．
由余弦定理得，
所以AB2+BC2＝8＝AC2，因此BC⊥AB．
又因为BC⊥BD，AB，BD 平面ABD，AB∩BD＝B，所以BC⊥平面ABD，
又BC 平面BCD，
故平面ABD⊥平面BCD．
（2）记BD的中点为O，CD的中点为F，连接OA，OF，
所以OF∥BC，又BC⊥BD，所以OF⊥BD，
因为△ABD为等边三角形，所以OA⊥BD，
又因为BC⊥平面ABD，OA 平面ABD，所以BC⊥OA，
又BC∩BD＝D，BC，BD 平面BCD，
所以OA⊥平面BCD，
又OF 平面BCD，OA⊥OF，所以OD，OF，OA两两垂直，
故以O为坐标原点，OD，OF，OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图，
则，D（1，0，0），B（﹣1，0，0），C（﹣1，2，0），．
，，
设平面ABE的法向量为，
则，即，可取．
，，
设平面ACD的法向量为，
则，则，即，
可取．
因为，
故平面ACD与平面ABE夹角的余弦值为．
【例20】（2025春 沙坪坝区期末）如图，已知△、△均是边长为2的等边三角形，且平面平面，为的中点，且．
（1）证明：；
（2）若，，求平面与平面夹角的大小．
【答案】（1）证明过程请见解答；（2）．
【分析】（1）易知，，由线面垂直判定定理知平面，从而知，再结合，并利用线面垂直的判定与性质定理，即可得证；
（2）先利用面面垂直的性质定理证明平面，再以为原点建系，利用向量法求面面角即可．
【解答】（1）证明：因为△、△均是边长为2的等边三角形，且是的中点，
所以，，
又，、平面，
所以平面，
所以，
又，，、平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
（2）解：因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
又，
故，，两两垂直，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，1，，
所以，0，，，1，，
设平面的法向量为，，，则，
令，则，，所以，0，，
易知平面的一个法向量为，0，，
设平面与平面夹角为，
则，，
所以，
故平面与平面夹角的大小为．第37讲 空间向量及其运算
【知识点1】空间向量的线性运算 3
【知识点2】共线、共面向量定理的应用 5
【知识点3】求空间向量的数量积 7
【知识点4】利用数量积求长度与夹角 8
1．空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中，具有大小和方向的量
相等向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量
共线向量(或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
2．空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积
非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量表示 坐标表示
向量加减 a±b (a1±b1，a2±b2，a3±b3)
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a|
夹角余弦值 cos〈a，b〉＝ (a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
(3)空间向量数量积的运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)；②a·b＝b·a(交换律)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．
4．投影向量
(1)向量a在向量b上的投影
先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图1，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．
(2)向量a在直线l上的投影
如图2，向量c称为向量a在直线l上的投影向量．
(3)向量a在平面β上的投影
如图3，分别由向量a的起点A和终点B作平
面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，则向量(a′)称为向量a在平面β上的投影向量．
常用结论：
1．在空间中，A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为空间任意一点．
2．在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点．
3．在利用＝x＋y证明MN∥平面ABC时，必须说明点M或点N不在平面ABC内．
4．空间向量的数量积不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立
【知识点1】空间向量的线性运算
空间向量线性运算中的三个关键点
例1：
【例1】（2025春 长沙期末）如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于　　
A． B． C． D．
【例2】（2024秋 广东期末）如图，空间四边形中，，点为中点，点在侧棱上，且，则　　
A． B． C． D．
【例3】（2025 甘肃模拟）如图，空间四边形中，，，，点在上，且满足，点为的中点，则　　
A． B． C． D．
【例4】（2025 长沙模拟）已知空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于　　
A． B． C． D．
【例5】（2024秋 石景山区期末）如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于　　
A． B． C． D．
【知识点2】共线、共面向量定理的应用
1．对空间任一点O，＝x＋y，若x＋y＝1，则点P，A，B共线．
2．证明空间四点P，M，A，B共面的方法
(1)＝x＋y．
(2)对空间任一点O，＝＋x＋y．
(3)对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)．
(4)∥(或∥或∥)
【例6】（2025春 龙岩期末）已知，，，为空间中四点，任意三点不共线，且，若，，，四点共面，则的值为　　
A．2 B．1 C． D．0
【例7】（2025春 贵阳月考）如图，在正四面体中，为的中点，，，当时，，，，四点共面，则　　
A． B． C． D．
【例8】（2025春 润州区期末）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则　　
A．1 B． C． D．
【例9】（2024秋 颍州区期末）如图所示，若为平行四边形所在平面外一点，为上的点，且，点在上，且．若，，，四点共面，则为　　
A． B． C． D．
【例10】（2024秋 南通期末）已知，，三点不共线，点在平面外，点满足，则当点，，，共面时，实数　　
A． B． C． D．
【知识点3】求空间向量的数量积
空间向量数量积的计算方法
(1)定义法：设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ．
(2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2．
【例11】（2025春 浦东新区期末）已知空间三点，0，，，，，，，，若向量，则实数　　
A．37 B．36 C． D．
【例12】（2024秋 辽宁期末）设，，向量，，且，，则　　
A． B．3 C． D．4
【例13】（2024秋 汉中期末）设，，向量，1，，，，，，，，且，，则　　
A． B． C．3 D．
【例14】（2024秋 天心区期末）已知空间向量，，，，1，，若与垂直，则等于　　
A． B． C．3 D．
【例15】（2024秋 宜春期末）已知空间向量，若，则　　
A． B．3 C． D．2
【知识点4】利用数量积求长度与夹角
(1)运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度(即两点间距离)的计算问题转化为向量数量积的计算问题．
(2)设非零向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝，进而可求两向量的夹角
例1：
【例16】（2025春 宿迁期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，向量＝（1，1，t）（t∈R）在面xOy上的投影向量为，在向量＝（﹣1，0，0）上的投影向量为，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．与t有关
【例17】（2025春 河南期中）在正四棱柱中，，，点，分别为正方形与正方形的中心，为的中点，点为线段上的动点，则当点到平面的距离最大时，直线与平面所成角的正弦值为　　
A． B． C． D．
【例18】（2025春 重庆期末）如图，三棱柱中，为中点，为中点．
（1）求证：平面
（2）已知平面，，，，求直线与平面所成角的正弦值．
【例19】（2025春 郑州期末）如图，在四面体ABCD中，△ABD为等边三角形，BC⊥BD，BD＝BC＝2，且．
（1）求证：平面ABD⊥平面BCD；
（2）若点E满足，求平面ACD与平面ABE夹角的余弦值．
【例20】（2025春 沙坪坝区期末）如图，已知△、△均是边长为2的等边三角形，且平面平面，为的中点，且．
（1）证明：；
（2）若，，求平面与平面夹角的大小．

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