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第35讲 空间直线、平面的平行
【知识点1】空间中平行关系的基本问题 2
【知识点2】直线与平面平行的判定 4
【知识点3】直线与平面平行的性质 6
【知识点4】平面与平面平行的判定与性质 8
【知识点5】平行关系的综合应用 10
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 a∥α
性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 a∥b
2．面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 β∥α
性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 a∥b
常用结论：
1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β．
2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ．
3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b．
4．若α∥β，a α，则a∥β．
【知识点1】空间中平行关系的基本问题
(1)判断与平行关系相关的命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是选择题还是含有选择项的填空题，都可以先从中选出最熟悉、最容易判断的选项确定或排除，再逐步判断其余选项．
(2)直线、平面间平行的判定方法
①关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件；
②结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断；
③利用实物进行空间想象，比较判断；
④熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等
例1：
【例1】（2025春 郑州期末）已知直线和平面，若，则下列说法正确的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
【例2】（2025春 顺义区月考）下列结论正确的是　　
A．若直线平面，直线平面，则
B．若直线平面，直线平面，则
C．若两直线、与平面所成的角相等，则
D．若直线上两个不同的点、到平面的距离相等，则
【例3】（2025春 思明区期中）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是　　
A．若，，则 B．若，，，，则
C．若，，则 D．若，，则
【例4】（2024秋 嘉定区期末）已知，，是三条不重合的直线，，，是三个不重合的平面，则下列结论正确的是　　
A．若，，则 B．若，，，，则
C．若，，则 D．若，，则
【例5】（2024秋 邯郸期末）设，是空间中两条不同的直线，，是空间中两个不同的平面，那么下列说法正确的为　　
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，，则
【知识点2】直线与平面平行的判定
判断或证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)．
(2)利用线面平行的判定定理(a α，b α，a∥b a∥α)．
(3)利用面面平行的性质(α∥β，a α a∥β)．
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a β，a∥α a∥β)(客观题可用)
【例6】（2025春 赣榆区期末）如图，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面，为的中点，，为中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求直线与平面所成的角．
【例7】（2024春 枣庄期末）如图，在四棱锥中，是正三角形，平面，平面，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【例8】（2024春 丽水期末）如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，，，，是中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【例9】（2024秋 诸暨市期中）如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为1的菱形，，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【例10】（2025春 让胡路区期中）正方体中，，分别是，的中点．
（1）求异面直线与所成角；
（2）求证：平面．
【知识点3】直线与平面平行的性质
应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线
例1：
【例11】（2024春 工农区期末）空间四边形中，点、、、为边、、、上的点，且，求证：．
【例12】（2024秋 椒江区月考）已知、、、是所在线段上的点，且．
求证：．
【例13】（2025春 沈河区月考）如图，四棱锥的底面为平行四边形，设平面与平面的交线为，、、分别为、、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：．
【例14】（2025春 杭州期中）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面．是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由．
【例15】（2025春 江苏期中）如图所示正四棱锥，为侧棱上的点，且．
（1）记平面平面，证明：；
（2）侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
【知识点4】平面与平面平行的判定与性质
1．判定面面平行的四种方法
(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)．
(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．
(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)．
(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)．
2．面面平行的应用
(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行
例1：
【例16】（2025春 青山湖区期末）如图所示，四边形为菱形，平面，平面．
（1）求证：平面平面；
（2）若，，，求直线与所成角的余弦值．
【例17】（2025春 松原期中）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，交于点，点是棱上的一点，且平面．
（1）求证：点是的中点；
（2）在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由．
【例18】（2025春 让胡路区期中）由直四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为平行四边形，为与的交点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）设平面与底面的交线为，求证：．
【例19】（2025春 昆都仑区期中）如图：在正方体中，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）若为的中点，求证：平面平面．
【例20】（2025春 北流市月考）如图，在长方体中，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）当点在棱的中点时，求证：平面平面．
【知识点5】平行关系的综合应用
三种平行关系的转化
解决存在问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，若找到了使结论成立的充分条件，则存在；若找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在
例1：
【例21】（2025春 丰南区期中）如图，正三棱柱中，，，分别是棱，，的中点．
（1）判断直线与直线，直线与平面的位置关系；（判断即可，不必说明理由）
（2）求证：平面；
（3）在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由．
【例22】（2025春 滨湖区期中）如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，，，分别为，，的中点，平面平面．
（1）判断直线与的位置关系并证明；
（2）求证：平面；
（3）直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．
【例23】（2025春 青岛期中）如图所示，在三棱柱中，过的平面与上底面交于与不重合）．
（1）求证：；
（2）若，，分别是，，的中点，求证：平面平面．
【例24】（2025春 城中区期中）如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，的中点．
（1）求证：，，，四点共面；
（2）求证：平面平面．
【例25】（2025春 四平期中）在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点，求证：
（1）平面；
（2）平面平面．第35讲 空间直线、平面的平行
【知识点1】空间中平行关系的基本问题 2
【知识点2】直线与平面平行的判定 5
【知识点3】直线与平面平行的性质 12
【知识点4】平面与平面平行的判定与性质 18
【知识点5】平行关系的综合应用 25
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 a∥α
性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 a∥b
2．面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 β∥α
性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 a∥b
常用结论：
1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β．
2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ．
3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b．
4．若α∥β，a α，则a∥β．
【知识点1】空间中平行关系的基本问题
(1)判断与平行关系相关的命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是选择题还是含有选择项的填空题，都可以先从中选出最熟悉、最容易判断的选项确定或排除，再逐步判断其余选项．
(2)直线、平面间平行的判定方法
①关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件；
②结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断；
③利用实物进行空间想象，比较判断；
④熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等
例1：
【例1】（2025春 郑州期末）已知直线和平面，若，则下列说法正确的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
【答案】
【分析】根据线线、线面及面面的位置关系，应用平面的基本性质及线面平行的判定判断各项的正误．
【解答】解：对于选项，，则，平行或异面，错；
对于选项，，则或，错；
对于选项，，则，可能平行、相交、异面，错；
对于选项，则平面中必存在一条直线，
而，则，，，故，对．
故选：．
【例2】（2025春 顺义区月考）下列结论正确的是　　
A．若直线平面，直线平面，则
B．若直线平面，直线平面，则
C．若两直线、与平面所成的角相等，则
D．若直线上两个不同的点、到平面的距离相等，则
【答案】
【分析】利用空间直线与平面间的位置关系即可逐项判断．
【解答】解：中，垂直于同一直线的两平面互相平行，所以直线直线平面，直线平面，则，正确；
中，若直线平面，直线平面，则两平面可能相交或平行，故错；
中，若两直线、与平面所成的角相等，则、可能相交、平行或异面，故错；
中，若直线上两个不同的点、到平面的距离相等，则直线与平面可能相交或者平行，故错．
故选：．
【例3】（2025春 思明区期中）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是　　
A．若，，则 B．若，，，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】
【分析】由面面平行的性质定理及线面平行的性质的应用分别判断出所给命题的真假．
【解答】解：中，若，，则或，所以不正确；
中，，，，，没有指明，是否是相交直线，所以不正确；
中，若，，则或，所以不正确；
中，若，，由面面平行的性质定理可知，所以正确．
故选：．
【例4】（2024秋 嘉定区期末）已知，，是三条不重合的直线，，，是三个不重合的平面，则下列结论正确的是　　
A．若，，则 B．若，，，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】
【分析】由线面位置关系逐一判断各个选项即可．
【解答】解：对于选项，由平行的传递性可知选项成立；
对于选项，直线，不一定相交，根据面面平行的判定定理易知面面平行不一定成立，错；
对于选项，与也有可能相交，错；
对于选项，直线不一定在平面外，也可能在面内，故不成立，错．
故选：．
【例5】（2024秋 邯郸期末）设，是空间中两条不同的直线，，是空间中两个不同的平面，那么下列说法正确的为　　
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，，则
【答案】
【分析】由线面、平面平行的性质定理及判定定理，判断出所给命题的真假．
【解答】解：中，由面面平行的性质定理，可得正确；
中，由面面平行的性质定理可知直线，没有交点，
所以直线，平行或异面，所以不正确；
中，因为，，则或，所以不正确；
中，，，，当，相交时，，都平行于两个平面的交线也符合条件，
所以或与相交，所以不正确．
故选：．
【知识点2】直线与平面平行的判定
判断或证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)．
(2)利用线面平行的判定定理(a α，b α，a∥b a∥α)．
(3)利用面面平行的性质(α∥β，a α a∥β)．
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a β，a∥α a∥β)(客观题可用)
【例6】（2025春 赣榆区期末）如图，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面，为的中点，，为中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求直线与平面所成的角．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）连结交于，连接，推导出，利用线面平行判定定理证明平面；
（2）根据，可得直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角，可得为直线与平面所成的角，利用直角三角形中易求．
【解答】（1）证明：连接，交于，连结，
四棱锥的底面是边长为1的正方形，
可得是的中点，又因为为的中点，
所以，
而平面，平面，
所以平面；
（2）解：因为，
所以直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角，
因为底面，
所以为直线与平面所成的角，
因为，所以，
所以直线与平面所成的角等于．
【例7】（2024春 枣庄期末）如图，在四棱锥中，是正三角形，平面，平面，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明四边形为平行四边形，从而得到，即可得证；
（2）首先证明平面，由（1）知，从而得到平面，则为与平面所成的角，再由锐角三角函数计算可得．
【解答】（1）证明：取的中点，连接、，
因为是的中点，所以且，
又平面，平面，
所以，又，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）因为是正三角形，为的中点，所以，
又因为平面，平面，所以，
又，，平面，
所以平面，
由（1）知，所以平面，
所以为与平面所成的角，
因为，又，
所以四边形为直角梯形，
又，
所以，
由（1）知，
在中，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【例8】（2024春 丽水期末）如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，，，，是中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
．
【分析】（1）通过中位线等几何关系证明线面平行；
（2）通过空间几何关系来找出线面角的平面角，将空间的线面角关系转化成平面的角度计算问题．
【解答】（1）证明：取中点，连接，，
，分别为，中点，且，
又且，且，
，又面，面，
平面．
（2）解：延长，交于点，连，，，
面面，，面，
面，面，
，
，且，
，，又，
面，
，又，面，
即为直线与平面所成角．
，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【例9】（2024秋 诸暨市期中）如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为1的菱形，，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明过程见解答．
（2）直线与平面所成角的正弦值为．
【分析】（1）连交与于，连，推导出，由此能证明面．
（2）取中点，连，，推导出，再由，得面，从而面面，过作，则面，为直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：连交与于，连，
底面是边长为1的菱形，是中点，
是的中点，，
面，面，
面．
（2）解：取中点，连，，
为中点，，
又在菱形中，，面，
面面，
过作，则面，
为直线与平面所成角，
在中，，，，
．
直线与平面所成角的正弦值为．
【例10】（2025春 让胡路区期中）正方体中，，分别是，的中点．
（1）求异面直线与所成角；
（2）求证：平面．
【答案】（1）；
（2）证明过程见详解．
【分析】（1）连接，，由题意可得，为异面直线与所成的角，在正方体中，可得的值，即求出两条异面直线所成的角的大小；
（2）取的中点，连接，，可证得平面平面，进而可证得结论．
【解答】（1）解：连接，，
在正方体中，可得，，
所以，等于异面直线与所成的角，
所以异面直线与所成角为；
（2）证明：取的中点，连接，，
因为，分别是，的中点，
所以，，
而，所以，
又因为平面，平面，平面，
平面，
，
所以平面平面，
因为平面，
所以平面．
【知识点3】直线与平面平行的性质
应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线
例1：
【例11】（2024春 工农区期末）空间四边形中，点、、、为边、、、上的点，且，求证：．
【分析】根据一条直线在平面上，一条直线与这条直线平行，根据这两个条件得到直线与平面平行，根据线与面平行的性质，得到线与线平行，得到结论．
【解答】证明：点、、、为空间四边形边．．．上的点
直线平面，直线平面
又
直线平面
又平面且平面平面
【例12】（2024秋 椒江区月考）已知、、、是所在线段上的点，且．
求证：．
【分析】根据一条直线在平面上，一条直线与这条直线平行，根据这两个条件得到直线与平面平行，根据线与面平行的性质，得到线与线平行，得到结论．
【解答】证明：点、、、为空间四边形边、、、上的点
直线平面，直线平面
又
直线平面
又平面且平面平面
【例13】（2025春 沈河区月考）如图，四棱锥的底面为平行四边形，设平面与平面的交线为，、、分别为、、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：．
【答案】（1）证明过程见详解；
（2）证明过程见详解．
【分析】（1）由中位线的性质可知，再由线面平行的判定定理可证得结论；
（2）由线面平行的性质定理可证得结论．
【解答】证明：（1）因为、分别为、的中点，
可得，
又平面，平面，
所以平面，
同理可得平面，
又因为，平面，平面，
所以平面平面，
而平面，
所以平面；
（2）因为四边形是平行四边形，即，
又因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以．
【例14】（2025春 杭州期中）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面．是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）存在，理由见解析．
【分析】（1）为中点，连接，，由中位线、线面平行的性质可得四边形为平行四边形，再根据线面平行的判定即可证结论；
（2）由可得面，再由线面平行的性质定理即可得证．
（3）取中点，连接，，根据线面、面面平行的性质定理和判断定理即可判断存在性．
【解答】（1）证明：如下图，若为中点，连接，，由是的中点，
且，
又平面，平面，且平面平面，
，且，
，且，
四边形为平行四边形，故，
而平面，平面，则平面．
（2）证明：，面，面，
面，又面，面面，
．
（3）解：取中点，连接，，，
，分别为，的中点，
，
平面，平面，
平面，
线段存在点，使得平面，理由如下：
由（1）知：平面，又，
平面平面，又是上的动点，平面，
平面，
线段存在点，使得平面．
【例15】（2025春 江苏期中）如图所示正四棱锥，为侧棱上的点，且．
（1）记平面平面，证明：；
（2）侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
【分析】（1）证明平面，再根据线面平行的性质即可得证．
（2）连接交于，连接，取中点，过作的平行线交于，连接，，证明平面平面，再根据面面平行的性质即可得出结论．
【解答】（1）证明：在正四棱锥中，，平面，平面，
则平面，
而平面，平面平面，
所以；
（2）解：在侧棱上存在一点，使平面，满足，
理由如下：连接交于，连接，则为中点，
取中点，又，则，
过作的平行线交于，连接，，
在△中，有，
由平面，平面，得平面，
而，所以，
又，平面，平面，则平面，
又，
所以平面平面，
又平面，得平面，
所以存在，且．
【知识点4】平面与平面平行的判定与性质
1．判定面面平行的四种方法
(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)．
(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．
(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)．
(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)．
2．面面平行的应用
(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行
例1：
【例16】（2025春 青山湖区期末）如图所示，四边形为菱形，平面，平面．
（1）求证：平面平面；
（2）若，，，求直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）先证明平面，再结合证明平面，从而再由面面平行知识即可求解证明；
（2）连接，由题意可得就是直线与所成角，从而可求解．
【解答】解：（1）证明：由题意平面，平面，则，
又平面，平面，平面，
四边形为菱形，，
又平面，平面，平面，
又，平面，，平面平面；
（2）连接，由四边形为菱形，，
得就是直线与所成角，由，，，
则得，
又平面，平面，，
，
直线与所成角的余弦值为．
【例17】（2025春 松原期中）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，交于点，点是棱上的一点，且平面．
（1）求证：点是的中点；
（2）在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析．
（2）存在点，证明见解析，．
【分析】（1）由线面平行的性质即可证明；
（2）由线面平行及面面平行的判定即可证明．
【解答】解：（1）证明：在四棱锥中，四边形是平行四边形，
，交于点，点是棱上的一点，且平面，
四边形是平行四边形，点是的中点，
平面，平面平面，平面，
，
，点是的中点．
（2）存在点，使得平面平面，此时，
，为中点，
点是的中点，
又平面，平面，
平面，
由（1）知，同理可得，平面，
又，，平面，
在棱上存在点，使得平面平面，．
【例18】（2025春 让胡路区期中）由直四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为平行四边形，为与的交点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）设平面与底面的交线为，求证：．
【答案】证明过程见解答．
【分析】（1）取的中点，连接，，结合四棱柱的几何性质，由线面平行的判定定理证明即可；
（2）由线面平行的判定定理证平面，结合（1）由面面平行的判定定理证明即可；
（3）由线面平行的判定定理和性质定理证明即可．
【解答】证明：（1）取的中点，连接，，
是直四棱柱，
且，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面．
（2）且，且，
且，
四边形是平行四边形，，
平面，平面，
平面，
由（1）得平面，
，、平面，
平面平面．
（3）由（2）得，
平面，平面，
平面，
平面，平面平面，
．
【例19】（2025春 昆都仑区期中）如图：在正方体中，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）若为的中点，求证：平面平面．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）设，接，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证；
（2）证明四边形为平行四边形，从而可得，即可证得平面，再根据面面平行的判定定理即可得证．
【解答】证明：（1）设，连接，
在正方体中，四边形是正方形，
是中点，是的中点，
，
平面，平面，
平面；
（2）为的中点，为的中点，
，
，
四边形为平行四边形，
，
又平面，
平面，
平面，
由（1）知平面，
，平面，平面，
平面平面．
【例20】（2025春 北流市月考）如图，在长方体中，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）当点在棱的中点时，求证：平面平面．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【分析】（1）连接交于，由三角形中位线性质得，利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）先证四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理及面面平行的判定定理证明即可．
【解答】证明：（1）连接，设，连接，
、为别为、的中点，
，
又平面，平面，
平面．
（2）点为棱中点，为的中点．
且，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面，
又平面，且，，平面，
平面平面．
【知识点5】平行关系的综合应用
三种平行关系的转化
解决存在问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，若找到了使结论成立的充分条件，则存在；若找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在
例1：
【例21】（2025春 丰南区期中）如图，正三棱柱中，，，分别是棱，，的中点．
（1）判断直线与直线，直线与平面的位置关系；（判断即可，不必说明理由）
（2）求证：平面；
（3）在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）直线与直线是异面直线，直线与平面相交；
（2）证明详见解析；
（3）当点为棱的中点时，平面平面．证明详见解析．
【分析】（1）由图象以及异面直线的定义，可判断直线与直线的位置关系，
由图象可知直线与平面不平行，可得直线与平面相交；
（2）利用线面平行的判定定理进行证明；
（3）利用面面平行的判定定理进行找点并证明．
【解答】解：（1）直线与直线是异面直线，直线与平面相交；
（2）证明：取的中点为，连接，，如图，
、、分别是棱、、的中点，
且，且，
且，
四边形是平行四边形，，
平面，平面，平面；
（3）当点为棱的中点时，平面平面．
证明：如图，
，分别是棱，的中点，
，，
平面，平面，平面，
，分别是棱，的中点，，
平面，平面，平面，
，平面平面．
【例22】（2025春 滨湖区期中）如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，，，分别为，，的中点，平面平面．
（1）判断直线与的位置关系并证明；
（2）求证：平面；
（3）直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），证明见解答；
（2）证明见解答；
（3）存在，为中点，证明见解答．
【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理证明即可．
（2）利用线面平行的判定定理证明即可．
（3）利用面面平行的判定定理证明即可．
【解答】解：（1），证明如下：
依题意，，平面，平面，
则平面，
又平面平面，平面，
所以；
（2）证明：取中点，连接，，
在△中，，
在中，，
则，，
即四边形为平行四边形，
因此，
又平面，平面，
所以平面；
（3）当为中点时，平面平面，证明如下：
取的中点为，连接，，
在△中，，平面，平面，
则平面，同理可证，平面，
又，平面，，
所以平面平面．
【例23】（2025春 青岛期中）如图所示，在三棱柱中，过的平面与上底面交于与不重合）．
（1）求证：；
（2）若，，分别是，，的中点，求证：平面平面．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【分析】（1）根据面面平行的性质定理即可求证．
（2）推导出，，由此能证明平面平面．
【解答】证明：（1）在三棱柱中，
平面平面，平面平面，平面平面，
故；
（2）在三棱柱中，
，，分别是，，的中点，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
又，平面，平面，
所以平面，
，，平面
所以平面平面．
【例24】（2025春 城中区期中）如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，的中点．
（1）求证：，，，四点共面；
（2）求证：平面平面．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【分析】（1）证明出，得到四点共面；
（2）先得到，，证明出线面平行，面面平行．
【解答】证明：（1），分别是，的中点，
是△的中位线，
，
又在三棱柱中，，
，
，，，四点共面；
（2）在三棱柱中，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
平面，
又，是，的中点，
，
又，
，
平面，平面，
平面．
又，，平面，
平面平面．
【例25】（2025春 四平期中）在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点，求证：
（1）平面；
（2）平面平面．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【分析】（1）连，交于点，连，，证明，利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）证明，都平行于平面，然后利用面面平行的判定定理证明即可．
【解答】（1）证明：连，交于点，连，，
，分别是的中点，，
又，，则四边形为平行四边形，
，，
平面，平面，
平面；
（2）证明：由题连接，，
是的中位线，，
，，，四点共面，
由（1）可知，，平面，平面，
则平面
又，平面，平面，
则平面，又，
平面，平面，
平面平面．

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