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第39讲 两条直线的位置关系与距离公式
【知识点1】判断两条直线的位置关系 3
【知识点2】由两条直线的位置关系求参数 5
【知识点3】两条直线的交点 7
【知识点4】与距离有关的问题 11
【知识点5】对称问题 13
1．两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2的位置关系如下表：
位置关系 l1，l2方程系数满足的条件
平行 k1＝k2且b1≠b2
垂直 k1k2＝－1
相交 k1≠k2
直线l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2))的位置关系如下表：
位置关系 法向量满足的条件 l3，l4方程系数满足的条件
平行 v1∥v2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)
垂直 v1⊥v2 A1A2＋B1B2＝0
相交 v1与v2不共线 A1B2－A2B1≠0
注意：两条直线平行时，不要忘记它们的斜率都不存在的情况；两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．
2．两条直线的交点
直线l1和l2的交点坐标即为两条直线的方程组成的方程组的解．
相交 方程组有唯一解；
平行 方程组无解；
重合 方程组有无数个解．
注意：虽然利用方程组解的情况可以判断两条直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．
3．三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②结论：|P1P2|＝．
③特例：点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝．
(2)点到直线的距离公式
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
(3)两条平行直线间的距离公式
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝．
常用结论：
1．直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2．
2．五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)
【知识点1】判断两条直线的位置关系
判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况．
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论
例1：
【例1】（2024秋 吉安月考）设，，分别是中所对边的边长，则直线与的位置关系是　　
A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直
【分析】根据题意，将直线的方程变形为斜截式方程，分析其斜率，结合正弦定理分析可得答案．
【解答】解：根据题意，直线，变形可得，其斜率，
直线，变形可得，其斜率，
分析可得：，
故两条直线垂直；
故选：．
【例2】（2024秋 应县期中）直线与的位置关系是　　
A．平行 B．不平行
C．平行或重合 D．既不平行也不重合
【答案】
【分析】化简方程组得到，根据值确定方程组解的个数，由方程组解得个数判断两条直线的位置关系．
【解答】解：由方程组，得，
当时，方程组由无穷多个解，两条直线重合，当时，方程组无解，两条直线平行，
综上，两条直线平行或重合，
故选：．
【例3】（2024 广西学业考试）直线和的位置关系是　　
A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定
【答案】
【分析】由方程组有唯一解可得两直线相交，再由斜率之积不等于，可得两直线不垂直，由此得出结论．
【解答】解：由方程组可得，由于有唯一解，故方程组有唯一解，故两直线相交．
再由两直线的斜率分别为和，斜率之积不等于，故两直线不垂直．
故选：．
【例4】已知直线，的位置关系是　　
A．相交 B．平行 C．重合 D．垂直
【答案】
【分析】由，知两直线相交．
【解答】解：因为，所以直线，的位置关系是相交．
故选：．
【例5】（2023秋 宝安区期末）直线和直线平行，则直线和直线的位置关系是　　
A．重合 B．平行 C．平行或重合 D．相交
【答案】
【分析】由已知直线平行建立方程求出，，则即可判断求解．
【解答】解：因为直线和直线平行，
则，解得，，
则直线化简为，，则和直线的位置关系是平行关系，
故选：．
【知识点2】由两条直线的位置关系求参数
解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
【例6】（2025春 沙坪坝区期末）已知直线，，则的充要条件的是　　
A． B． C．或3 D．
【答案】
【分析】结合直线平行的性质，即可求解．
【解答】解：直线，，
则，解得或3，
当时，两直线重合，不符合题意，舍去，
当时，两直线不重合，符合题意，
故，
的充要条件的是．
故选：．
【例7】（2025 山西模拟）已知直线与，则“”是“”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【分析】结合直线垂直的性质，即可求解．
【解答】解：由，直线与，
则，解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
【例8】（2025春 沙坪坝区期末）直线与直线平行，则实数　或2　 ．
【答案】或2．
【分析】利用两条直线平行列式计算得解．
【解答】解：由直线与直线平行，
可得且，
解得或．
故答案为：或2．
【例9】（2025春 南岸区期末）“”是“直线与垂直”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分也不必要条件
【答案】
【分析】分析可得两直线垂直恒成立，结合充分条件与必要条件的定义可确定选项．
【解答】解：对于任意，恒成立，
直线与垂直恒成立，
当能推出直线与垂直，充分性成立，
但直线与垂直不能推出，必要性不成立，
“”是“直线与垂直”的充分不必要条件．
故选：．
【例10】（2025 新余二模）已知直线与直线平行，则的值为　　
A．3 B． C．3或 D．3或4
【答案】
【分析】根据已知条件，结合两直线平行的性质，即可求解．
【解答】解：直线与直线平行，
，即，解得或，
当时，直线与直线重合，不符合题意，舍去，
故．
故选：．
【知识点3】两条直线的交点
求过两条直线交点的直线方程的方法
(1)直接法：先求出两条直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(2)共点直线系法：先设直线方程为f(x，y)＋λg(x，y)＝0，再结合其他条件求出λ，从而得到所求的直线方程．
【例11】（2025 商城县模拟）若直线，，设与的交点为，为坐标原点，则的取值范围为　　
A．， B．， C． D．
【答案】
【分析】根据直线的交点，再结合两点距离公式列式应用值域求解范围．
【解答】解：根据题意可知，直线，，设与的交点为，
联立得出，
，
，，，，
．
故选：．
【例12】（2025春 普陀区月考）若点既是，，，的中点，又是直线与的交点，则线段的垂直平分线的方程是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】直线与直线的方程相减可得，把点代入可得，进而求解结论．
【解答】解：直线与直线的方程相减可得，把点代入可得，
则线段的垂直平分线的方程是．
故选：．
【例13】（2024秋 茅箭区期末）已知为坐标原点，直线与直线的交点为，则直线的倾斜角的取值范围为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】求出两直线所过定点，确定点的轨迹是以为直径的圆（除点外），求出其方程，数形结合，利用直线和圆相切，求出相切时切线斜率，即可求得答案．
【解答】解：由题意可将直线与直线，化简为，直线，
故直线过定点，直线过定点，
又直线与直线满足，
可得直线与直线垂直，
所以点的轨迹是以为直径的圆（除点外），且圆心为，半径为，
所以点的轨迹方程是除去点．
易知直线的斜率存在，设直线的方程为．
当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，解得．
当时，切点为，所以直线的倾斜角的取值范围为．
故选：．
【例14】（2024秋 聊城期末）两直线和的交点与距离的最大值为 　3　．
【答案】3．
【分析】由题可得两直线垂直，且两直线分别过定点，，从而交点的轨迹是以线段为直径的圆，求圆内一点与圆上一点距离的最值即可．
【解答】解：直线，即，故该直线恒过点，
直线，即，所以，当时，恒成立，故该直线恒过点，
又因为，所以直线与直线互相垂直，
故它们的交点的轨迹是以线段为直径的圆，
圆心是线段的中点，即坐标原点，圆的半径为，其方程是，
因为，所以点在该圆的外部，
所以交点与的距离的最大值为．
故答案为：3．
【例15】（2024秋 喀什市期末）已知直线，直线，则直线与的交点坐标为 　　．
【答案】．
【分析】联立直线方程解方程组即可得交点坐标．
【解答】解：联立方程，
解得，
即直线，直线的交点坐标为．
故答案为：．
【知识点4】与距离有关的问题
求解距离问题的思路
(1)点到直线的距离的求法：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．
(2)两条平行直线间的距离的求法：①利用“转化法”将两条平行直线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两条平行直线间的距离公式．
提示：(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|．
(2)求两条平行直线间的距离时，应先将两条直线方程化为一般式，且x，y的系数对应相等
例1：
【例16】（2025春 宁波期末）已知直线过点且倾斜角为，则点到直线的距离为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先求出直线的方程，然后结合点到直线的距离公式即可求解．
【解答】解：因为直线过点且倾斜角为，则直线的方程为，
即，
点到直线的距离．
故选：．
【例17】（2025 市中区二模）已知，，若点满足，则点到直线的距离的最大值为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【分析】先确定的轨迹以及直线过的定点，再根据圆的性质特点求最值．
【解答】解：由可得点的轨迹为以线段为直线的圆，圆心为，半径为1，
又直线，其过定点，
故距离的最大值为．
故答案为：．
【例18】（2025春 芜湖期末）直线与直线间的距离是　　
A． B． C． D．1
【答案】
【分析】利用平行线间距离公式计算得解．
【解答】解：根据题意可知，直线的一般式为，直线的一般式为，
则两直线平行，
则所求距离为：．
故选：．
【例19】（2025 眉山三模）已知直线，互相平行，且，之间的距离为，则　　
A．或3 B．或4 C．或5 D．或2
【答案】
【分析】由，解得．利用平行线之间的距离公式即可得出．
【解答】解：由，解得．满足．
的方程为，有，则，
解得或，
故．
故选：．
【例20】（2025春 浙江期中）若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据直线与直线平行，列式算出，然后运用两条平行线之间的距离公式算出答案．
【解答】解：根据直线与直线平行，
可得，解得．
所以直线，即．
直线与直线之间的距离．
故选：．
【知识点5】对称问题
两类中心对称问题
(1)点关于点对称：点P(x，y)关于点M(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
(2)直线关于点对称的两种方法
(3)若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)对称，则由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标．
(4)求直线l1关于直线l对称的直线l2的两种方法
①在直线l1上取两点(一般取特殊点)，利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线l的对称点，再用两点式写出直线l2的方程．
②设点P(x，y)是直线l2上任意一点，其关于直线l的对称点为P1(x1，y1)(P1在直线l1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x，y表示出x1，y1，再代入直线l1的方程，即得直线l2的方程．
特别地，若直线l1与直线l平行，则在直线l1上取一点，求出该点关于直线l的对称点，由点斜式可得直线l2的方程
例1：
【例21】（2024秋 大连期末）已知，，动点在直线上，则的最小值为　　
A．2 B． C． D．10
【答案】
【分析】先求得点关于直线的对称点，再根据对称性，结合两点间距离公式，求解即可．
【解答】解：由题意知，点关于直线的对称点为，
所以，当且仅当，，三点共线时，等号成立，
所以的最小值为．
故选：．
【例22】（2025春 湖北期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求．
【解答】解：根据题意可知，点关于直线对称的点为，
直线为线段的垂直平分线，且，
所以直线的斜率为，
又因为线段的中点为，所以直线的方程为，
整理可得．
故选：．
【例23】（2024秋 罗湖区期末）若直线与直线关于直线对称，则直线一定过定点　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据直线过定点，求出定点关于直线对称点的坐标即可得出结果．
【解答】解：直线与直线关于直线对称，
易知直线恒过点，
所以可得直线一定过关于直线的对称点，
设对称点坐标为，可得，解得，
即直线一定过定点．
故选：．
【例24】（2024秋 长春期末）已知直线与直线交于点，点关于直线对称的点为，则的取值范围是　　
A．， B．，， C．， D．，，
【答案】
【分析】解方程组求出点坐标，可得，，分、、讨论，代入利用基本不等式求最值可得答案．
【解答】解：联立和，，解得，得，
因为点，关于直线对称，
所以，又点为，则，
①当时，则，，无意义；
②当时，
，
所以，当且仅当时成立，即等号成立；
③当时，
，
所以，当且仅当时成立，即等号成立；
故或．
故选：．
【例25】（2024秋 西城区期末）点关于直线的对称点的坐标是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】设，根据轴对称的性质，结合题意建立关于、的方程组，解之即可得到点的坐标．
【解答】解：设，则的中点为，，
因为点在直线上，所以①，
由，且直线的斜率，可得的斜率②．
由①②组成方程组，解得，，即的坐标为．
故选：．第39讲 两条直线的位置关系与距离公式
【知识点1】判断两条直线的位置关系 3
【知识点2】由两条直线的位置关系求参数 4
【知识点3】两条直线的交点 5
【知识点4】与距离有关的问题 6
【知识点5】对称问题 7
1．两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2的位置关系如下表：
位置关系 l1，l2方程系数满足的条件
平行 k1＝k2且b1≠b2
垂直 k1k2＝－1
相交 k1≠k2
直线l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2))的位置关系如下表：
位置关系 法向量满足的条件 l3，l4方程系数满足的条件
平行 v1∥v2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)
垂直 v1⊥v2 A1A2＋B1B2＝0
相交 v1与v2不共线 A1B2－A2B1≠0
注意：两条直线平行时，不要忘记它们的斜率都不存在的情况；两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．
2．两条直线的交点
直线l1和l2的交点坐标即为两条直线的方程组成的方程组的解．
相交 方程组有唯一解；
平行 方程组无解；
重合 方程组有无数个解．
注意：虽然利用方程组解的情况可以判断两条直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．
3．三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②结论：|P1P2|＝．
③特例：点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝．
(2)点到直线的距离公式
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
(3)两条平行直线间的距离公式
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝．
常用结论：
1．直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2．
2．五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)
【知识点1】判断两条直线的位置关系
判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况．
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论
例1：
【例1】（2024秋 吉安月考）设，，分别是中所对边的边长，则直线与的位置关系是　　
A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直
【例2】（2024秋 应县期中）直线与的位置关系是　　
A．平行 B．不平行
C．平行或重合 D．既不平行也不重合
【例3】（2024 广西学业考试）直线和的位置关系是　　
A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定
【例4】已知直线，的位置关系是　　
A．相交 B．平行 C．重合 D．垂直
【例5】（2023秋 宝安区期末）直线和直线平行，则直线和直线的位置关系是　　
A．重合 B．平行 C．平行或重合 D．相交
【知识点2】由两条直线的位置关系求参数
解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
【例6】（2025春 沙坪坝区期末）已知直线，，则的充要条件的是　　
A． B． C．或3 D．
【例7】（2025 山西模拟）已知直线与，则“”是“”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【例8】（2025春 沙坪坝区期末）直线与直线平行，则实数　或2　 ．
【例9】（2025春 南岸区期末）“”是“直线与垂直”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分也不必要条件
【例10】（2025 新余二模）已知直线与直线平行，则的值为　　
A．3 B． C．3或 D．3或4
【知识点3】两条直线的交点
求过两条直线交点的直线方程的方法
(1)直接法：先求出两条直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(2)共点直线系法：先设直线方程为f(x，y)＋λg(x，y)＝0，再结合其他条件求出λ，从而得到所求的直线方程．
【例11】（2025 商城县模拟）若直线，，设与的交点为，为坐标原点，则的取值范围为　　
A．， B．， C． D．
【例12】（2025春 普陀区月考）若点既是，，，的中点，又是直线与的交点，则线段的垂直平分线的方程是　　
A． B． C． D．
【例13】（2024秋 茅箭区期末）已知为坐标原点，直线与直线的交点为，则直线的倾斜角的取值范围为　　
A． B． C． D．
【例14】（2024秋 聊城期末）两直线和的交点与距离的最大值为 　3　．
【例15】（2024秋 喀什市期末）已知直线，直线，则直线与的交点坐标为 　　．
【知识点4】与距离有关的问题
求解距离问题的思路
(1)点到直线的距离的求法：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．
(2)两条平行直线间的距离的求法：①利用“转化法”将两条平行直线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两条平行直线间的距离公式．
提示：(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|．
(2)求两条平行直线间的距离时，应先将两条直线方程化为一般式，且x，y的系数对应相等
例1：
【例16】（2025春 宁波期末）已知直线过点且倾斜角为，则点到直线的距离为　　
A． B． C． D．
【例17】（2025 市中区二模）已知，，若点满足，则点到直线的距离的最大值为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【例18】（2025春 芜湖期末）直线与直线间的距离是　　
A． B． C． D．1
【例19】（2025 眉山三模）已知直线，互相平行，且，之间的距离为，则　　
A．或3 B．或4 C．或5 D．或2
【例20】（2025春 浙江期中）若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为　　
A． B． C． D．
【知识点5】对称问题
两类中心对称问题
(1)点关于点对称：点P(x，y)关于点M(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
(2)直线关于点对称的两种方法
(3)若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)对称，则由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标．
(4)求直线l1关于直线l对称的直线l2的两种方法
①在直线l1上取两点(一般取特殊点)，利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线l的对称点，再用两点式写出直线l2的方程．
②设点P(x，y)是直线l2上任意一点，其关于直线l的对称点为P1(x1，y1)(P1在直线l1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x，y表示出x1，y1，再代入直线l1的方程，即得直线l2的方程．
特别地，若直线l1与直线l平行，则在直线l1上取一点，求出该点关于直线l的对称点，由点斜式可得直线l2的方程
例1：
【例21】（2024秋 大连期末）已知，，动点在直线上，则的最小值为　　
A．2 B． C． D．10
【例22】（2025春 湖北期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为　　
A． B． C． D．
【例23】（2024秋 罗湖区期末）若直线与直线关于直线对称，则直线一定过定点　　
A． B． C． D．
【例24】（2024秋 长春期末）已知直线与直线交于点，点关于直线对称的点为，则的取值范围是　　
A．， B．，， C．， D．，，
【例25】（2024秋 西城区期末）点关于直线的对称点的坐标是　　
A． B． C． D．

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