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第40讲 圆的方程
【知识点1】求圆的方程 2
【知识点2】与圆有关的轨迹问题 4
【知识点3】借助几何性质求最值 5
【知识点4】构建目标函数求最值 6
【知识点5】利用对称性求最值 7
1．圆的定义及圆的方程
定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方程 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b)
半径为r
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心C
半径r＝
注意：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为，半径r＝的圆；当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点；当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．
2．点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2或x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0之间存在着下列关系：
位置关系 判断方法
几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程)
点在圆上 |MC|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0
点在圆外 |MC|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0
点在圆内 |MC|常用结论：
1．确定圆的方程时，常用到的圆的两个性质
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在任一弦的中垂线上．
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0．
3．向量法判断点与圆的位置关系
若点P是以AB为直径的圆O所在平面内的一点，则
·＞0 点P在圆O外；
·＝0 点P在圆O上；
·＜0 点P在圆O内
【知识点1】求圆的方程
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心和半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值
例1：
【例1】（2025春 河南期中）已知圆心在轴上的圆过点且与轴相切，则该圆的标准方程为　　
A． B． C． D．
【例2】（2024秋 北京期末）以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是　　
A． B．
C． D．
【例3】（2024春 开福区月考）过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为　　
A． B．
C． D．
【例4】（2024秋 深圳期末）已知△的三个顶点分别是，，，求：
（1）线段的垂直平分线的方程；
（2）△的外接圆的方程．
【例5】（2025 金安区模拟）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为　　
A． B．
C． D．
【知识点2】与圆有关的轨迹问题
求与圆有关的轨迹问题的方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．
(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．
【例6】（2024 沧州一模）圆关于直线对称的图形轨迹方程为　　
A． B．
C． D．
【例7】（2023 苍梧县模拟）若圆与圆关于直线对称，过点的圆与轴相切，则圆心的轨迹方程为　　
A． B． C． D．
【例8】（2023秋 井冈山市期中）长为的线段的两个端点分别在轴，轴上滑动，则中点的轨迹方程为　　．
【例9】（2024秋 桥西区期中）已知圆经过，，三点．
（1）求圆的方程；
（2）设点在圆上运动，点，且点满足，求点的轨迹（根据方程描述出图形）．
【例10】（2024 洛阳二模）已知点，分别在轴，轴上，，．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线，，与曲线分别交于，（不同于点两点，求证：直线过定点．
【知识点3】借助几何性质求最值
借助几何性质求最值的常见形式及求解方法
(1)斜率型：形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)截距型：形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
(3)距离型：形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题
【例11】（2025春 遵义月考）已知点满足，点，则的最大值为　　
A．3 B． C． D．6
【例12】（2025春 武平县月考）若圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是 　　 ．
【例13】（2024春 鼓楼区期末）已知点，圆，若圆上存在点使得，则实数的最小值是　　
A． B．1 C．0 D．2
【例14】（2024秋 广州期中）已知实数，满足方程，则下列说法错误的是　　
A．的最大值为 B．的最小值为0
C．的最大值为 D．的最大值为
【例15】（2025春 黄浦区月考）已知实数，满足关系：，则的最小值　　 ．
【知识点4】构建目标函数求最值
建立函数关系式求最值时，首先根据已知条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值
例1：
【例16】（2024秋 广东期末）若圆关于直线对称，则的最小值是　　．
【例17】（2024秋 章贡区期中）直线等分圆的周长，则的最小值为　　
A．9 B．4 C．6 D．18
【例18】（2025 海淀区三模）已知直线与圆有公共点，则的最小值是　　
A． B． C． D．
【例19】（2024秋 漯河期末）已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则的最小值为　　
A．4 B．6 C．8 D．9
【例20】（2025 辽阳二模）已知直线经过圆的圆心，则的最小值为　　
A． B． C．0 D．1
【知识点5】利用对称性求最值
求解形如|PA|＋|PB|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决
例1：
【例21】（2024秋 沧州期末）已知直线与圆，点，在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，，当取最小值时，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【例22】（2025春 浙江月考）若为圆内的一个动点，且，，则的最小值为　　
A．2 B． C． D．4
【例23】（2025 大通县四模）已知，分别是直线与圆上的动点，是轴上一动点，则的最小值是　　
A． B． C． D．
【例24】（2025春 宝山区期中）已知圆，圆分别是圆、上的动点，为轴上的动点，则的最小值为　　
A． B．1 C． D．
【例25】（2024秋 杭州期末）在平面直角坐标系中，点，直线，圆，点为直线上一点，点为圆上一点，则的最小值为　　
A． B． C．9 D．10第40讲 圆的方程
【知识点1】求圆的方程 2
【知识点2】与圆有关的轨迹问题 6
【知识点3】借助几何性质求最值 10
【知识点4】构建目标函数求最值 13
【知识点5】利用对称性求最值 17
1．圆的定义及圆的方程
定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方程 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b)
半径为r
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心C
半径r＝
注意：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为，半径r＝的圆；当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点；当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．
2．点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2或x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0之间存在着下列关系：
位置关系 判断方法
几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程)
点在圆上 |MC|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0
点在圆外 |MC|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0
点在圆内 |MC|常用结论：
1．确定圆的方程时，常用到的圆的两个性质
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在任一弦的中垂线上．
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0．
3．向量法判断点与圆的位置关系
若点P是以AB为直径的圆O所在平面内的一点，则
·＞0 点P在圆O外；
·＝0 点P在圆O上；
·＜0 点P在圆O内
【知识点1】求圆的方程
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心和半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值
例1：
【例1】（2025春 河南期中）已知圆心在轴上的圆过点且与轴相切，则该圆的标准方程为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】设圆心坐标，得到，再由点在圆上，代入即可求解．
【解答】解：根据题意，要求圆的圆心在轴上，且与轴相切，
设圆心坐标为，则该圆的半径为，
故要求圆的标准方程为，
又由圆过点，则有，解得：，
所以圆的标准方程为．
故选：．
【例2】（2024秋 北京期末）以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】由已知可得圆心坐标与半径，再由圆的标准方程得答案．
【解答】解：由题意，圆心坐标为点，半径为5，
则圆的方程为．
故选：．
【例3】（2024春 开福区月考）过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】设所求圆的方程为，，求出圆心坐标代入直线，求得，即可求得答案．
【解答】解：由题意设所求圆的方程为，，
即，
圆心坐标为，代入中，
即，解得，
将代入中，即，
满足，
故所求圆的方程为．
故选：．
【例4】（2024秋 深圳期末）已知△的三个顶点分别是，，，求：
（1）线段的垂直平分线的方程；
（2）△的外接圆的方程．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）求出中点的坐标与直线的斜率，然后根据垂直平分线的性质算出的垂直平分线的方程；
（2）设出△的外接圆的一般式方程，根据、、的坐标求出、、，即可得到△的外接圆的方程．
【解答】解：（1）根据题意，可得，所以的垂直平分线的斜率，
结合的中点为，可得的垂直平分线方程为，即；
（2）设△的外接圆的方程为，
根据题意，可得，解得，
所以△的外接圆的方程为．
【例5】（2025 金安区模拟）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】设出圆心，利用两点间距离公式求出的值，从而得到圆心和半径，求出圆的标准方程，化为一般方程，即可得到答案．
【解答】解：因为圆心在直线上，
设圆心，
又圆经过两点，，
所以，
故，
解得，
所以圆心，半径，
则圆的方程为，
化为一般方程为．
故选：．
【知识点2】与圆有关的轨迹问题
求与圆有关的轨迹问题的方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．
(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．
【例6】（2024 沧州一模）圆关于直线对称的图形轨迹方程为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】化已知圆为标准方程，得圆心为，半径，结合题意得所求圆的半径也等于2，圆心满足与关于直线对称，由轴对称的性质建立关于、的方程组解出，即可得到所求圆的方程．
【解答】解：化圆为标准方程，得，
已知圆的圆心为，半径．
所求的圆与圆关于直线对称，
所求圆的半径也等于2，圆心为满足与关于直线对称，
由，解出，，得，
所求圆的方程为．
故选：．
【例7】（2023 苍梧县模拟）若圆与圆关于直线对称，过点的圆与轴相切，则圆心的轨迹方程为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】求出两个圆的圆心坐标，两个半径，利用两个圆关于直线的对称知识，求出的值，然后求出过点的圆与轴相切，就是圆心到的距离等于圆心到轴的距离，即可求出圆心的轨迹方程．
【解答】解：圆的圆心，
因为圆与圆关于直线对称，
所以满足直线方程，解得，
过点的圆与轴相切，圆心的坐标为，
所以解得：，
故选：．
【例8】（2023秋 井冈山市期中）长为的线段的两个端点分别在轴，轴上滑动，则中点的轨迹方程为　　．
【分析】首先由两点间距离公式表示出，再利用中点坐标公式建立线段的中点与其两端点的坐标关系，最后代入整理即可．
【解答】解：设、，则，
再设线段中点的坐标为，则，，即，，
所以，即中点的轨迹方程为．
【例9】（2024秋 桥西区期中）已知圆经过，，三点．
（1）求圆的方程；
（2）设点在圆上运动，点，且点满足，求点的轨迹（根据方程描述出图形）．
【答案】（1）；（2）点的轨迹方程为，它是一个以为圆心，以3为半径的圆．
【分析】（1）设出圆的方程为，根据题意建立关于，，的方程组，解出即可；
（2）设，根据题意可得，又点在圆上，由此可得，进而得出结论．
【解答】解：（1）设圆的方程为，
将三点，，分别代入得，解得，
所以圆的方程为；
（2）设，则：，
由于，
则，解得，
点在圆上运动，
，即，
所以点的轨迹方程为，它是一个以为圆心，以3为半径的圆．
【例10】（2024 洛阳二模）已知点，分别在轴，轴上，，．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线，，与曲线分别交于，（不同于点两点，求证：直线过定点．
【答案】（1）
（2）由题可知，直线的斜率存在，设直线的方程：
联立得：，解得
则，由于，为过互相垂直的直线，同理得
直线的斜率为
直线的方程为
化简得：
因此直线恒过点．
【分析】（1）设点的坐标为，，，根据得到，，，之间的关系，结合即可求解结论；
（2）设直线的方程：，联立曲线解得的坐标，同理得的坐标，进而得到的方程，化简后即可求得结论．
【解答】解：（1）设点的坐标为，，．
由得
所以
因为
所以
则
（2）由题可知，直线的斜率存在，设直线的方程：
联立得：，解得
则，由于，为过互相垂直的直线，同理得
直线的斜率为
直线的方程为
化简得：
因此直线恒过点．
【知识点3】借助几何性质求最值
借助几何性质求最值的常见形式及求解方法
(1)斜率型：形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)截距型：形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
(3)距离型：形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题
【例11】（2025春 遵义月考）已知点满足，点，则的最大值为　　
A．3 B． C． D．6
【答案】
【分析】把已知函数解析式变形，画出图形，数形结合得答案．
【解答】解：由，得，
即，又，
如图，
当位于点时，取最大值为．
故选：．
【例12】（2025春 武平县月考）若圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是 　　 ．
【答案】．
【分析】利用圆的对称性与基本不等式中“1”的妙用解题．
【解答】解：由题可知圆的圆心为，
因为圆上存在两点关于对称，
则直线过圆心，即，即，且，，
故．
当且仅当，即时取得等号．
即的最小值是．
故答案为：．
【例13】（2024春 鼓楼区期末）已知点，圆，若圆上存在点使得，则实数的最小值是　　
A． B．1 C．0 D．2
【答案】
【分析】根据题意，分析所在的轨迹为圆，设其轨迹为圆，分析可得圆与圆有公共点，由圆与圆的位置关系分析可得答案．
【解答】解：根据题意，点，若，则点的轨迹是以为圆心，3为半径的圆，
设该圆为圆，
圆，若圆上存在点使得，则圆与圆有公共点，
则，解得，即的取值范围为，，
故的最小值为0．
故选：．
【例14】（2024秋 广州期中）已知实数，满足方程，则下列说法错误的是　　
A．的最大值为 B．的最小值为0
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】
【分析】对于，利用直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式加以判断，即可求解；对于，利用点与圆的位置关系，结合两点之间的距离公式判断其真假，从而可得符合题意的选项．
【解答】解：根据题意，将方程整理得，
表示以为圆心，半径的圆．
对于，令，，则两条直线都与圆有公共点，
所以圆心到直线、的距离都小于等于半径1，
可得，，解得，，
所以的最大值为，的最大值为，最小值为0，故、、三项都正确．
对于，原点到圆心的距离为，则圆上的点到原点的距离为，
所以圆上的点到原点的距离为，解得，
即的最大值为，故项错误．
故选：．
【例15】（2025春 黄浦区月考）已知实数，满足关系：，则的最小值　　 ．
【答案】．
【分析】转化为圆上的点到原点的距离的最值，将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径，进而求解即可．
【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：，
可知圆的圆心，半径，
设圆上一点的坐标为，为圆上的点到原点的距离，
而圆心到原点的距离为，
则圆上的点到原点的距离的最小值为．
故答案为：．
【知识点4】构建目标函数求最值
建立函数关系式求最值时，首先根据已知条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值
例1：
【例16】（2024秋 广东期末）若圆关于直线对称，则的最小值是　　．
【答案】．
【分析】根据题意直线过圆心，进而有，应用基本不等式“1”的代换求最小值．
【解答】解：由题意圆关于直线对称，
可得直线过圆心，则，且，所以，，
所以，
当且仅当时取等号，故的最小值为．
故答案为：．
【例17】（2024秋 章贡区期中）直线等分圆的周长，则的最小值为　　
A．9 B．4 C．6 D．18
【答案】
【分析】圆心坐标代入直线方程得，关系，然后利用基本不等式求最小值．
【解答】解：圆，
则圆心坐标为，
圆心在直线上，
所以，即，
所以，当且仅当，即时等号成立．
故选：．
【例18】（2025 海淀区三模）已知直线与圆有公共点，则的最小值是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据题意可得直线与圆相交或相切，利用圆心到直线的距离不大于半径，结合点到直线的距离公式，求解即可．
【解答】解：由题意知，直线与圆相交或相切，
而圆心，半径，
所以圆心到直线距离，
解得，
所以的最小值为．
故选：．
【例19】（2024秋 漯河期末）已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则的最小值为　　
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】
【分析】把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在直线的方程．由题意知圆的圆心在直线上，可得，再利用二次函数的性质可求最小值．
【解答】解：方程表示圆，
，即．
圆，圆，
两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在直线的方程：．
若圆平分圆的周长，则圆的圆心在直线上，
圆的圆心为，
，即，
，
当时，取最小值9．
故选：．
【例20】（2025 辽阳二模）已知直线经过圆的圆心，则的最小值为　　
A． B． C．0 D．1
【答案】
【分析】将圆化成标准方程可得圆心为，代入题中的直线方程算出，再根据二次函数即可求出．
【解答】解：圆化成标准方程，得，圆心为，半径，
直线经过圆心，
，即，
因此，，
当且仅当时，的最小值为．
故选：．
【知识点5】利用对称性求最值
求解形如|PA|＋|PB|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决
例1：
【例21】（2024秋 沧州期末）已知直线与圆，点，在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，，当取最小值时，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由切线长公式知当时，最小，结合点到直线距离公式求得的最小值，然后作关于直线的对称点，可知当点为与直线的交点时，最小，由对称知，此时与重合，从而易得最小值．
【解答】解：由，可得圆心，半径，过点作圆的切线，切点分别为，，
由题意，
当时，取最小值，
由点到直线的距离公式可得，
此时，
过作直线的对称点，连接，，与直线的交点即为所求的点，
由于与关于直线对称，，与关于直线对称，
因此与就是同一条直线，即点即为所求的点，
的最小值为．
故选：．
【例22】（2025春 浙江月考）若为圆内的一个动点，且，，则的最小值为　　
A．2 B． C． D．4
【答案】
【分析】判断、的位置，利用不等式综合求解即可．
【解答】解：为圆内的一个动点，且，，可知是圆的直径，
，当且仅当在上，取等号．
故选：．
【例23】（2025 大通县四模）已知，分别是直线与圆上的动点，是轴上一动点，则的最小值是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】求解圆的圆心与半径，求解对称直线方程，通过点到直线的距离公式，转化求解即可．
【解答】解：圆化为，
由题意可得直线关于轴对称的直线为，圆的圆心，
半径，
则圆心到直线的距离，
则的最小值是．
故选：．
【例24】（2025春 宝山区期中）已知圆，圆分别是圆、上的动点，为轴上的动点，则的最小值为　　
A． B．1 C． D．
【答案】
【分析】作出圆关于轴对称的圆，利用对称的性质、圆的性质及两点间线段最短求出最小值．
【解答】解：圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
作圆关于轴对称的圆，其圆心，如图，
因此，
当且仅当是线段与轴的交点时取等号，
所以的最小值为．
故选：．
【例25】（2024秋 杭州期末）在平面直角坐标系中，点，直线，圆，点为直线上一点，点为圆上一点，则的最小值为　　
A． B． C．9 D．10
【答案】
【分析】根据题意，求出点关于直线的对称点的坐标，分析可得的最小值为，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设点关于直线的对称点为，则，
故，
当、、三点共线时，取得最小值，
则，
又由，则，
圆，其圆心为，半径，
则，故．
故选：．

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