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第36讲 空间直线、平面的垂直
【知识点1】空间中垂直关系的基本问题 3
【知识点2】直线与平面垂直的判定 5
【知识点3】直线与平面平行的性质 7
【知识点4】平面与平面垂直的判定与性质 9
【知识点5】几何法求直线与平面所成的角与二面角 12
1．直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 l⊥α
性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a∥b
2．直线与平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线与这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°．
(2)范围：．
3．二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．
(3)范围：[0，π]．
4．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 α⊥β
性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 l⊥α
常用结论：
1．两个重要结论
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．
2．三种垂直关系的转化
线线垂直线面垂直面面垂直
3．三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．
4．三垂线定理的逆定理
平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．
5．如图，如果二面角α－AB－β的大小为θ，则cosθ＝．
【知识点1】空间中垂直关系的基本问题
与垂直关系有关命题真假的判断方法
(1)借助几何图形来说明．
(2)寻找反例，只要存在反例，结论就不正确．
(3)反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明
例1：
【例1】（2025春 奉化区期末）若，为空间中两条不同的直线，，为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，则
【例2】（2025春 重庆月考）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是　　
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
【例3】（2025 河西区模拟）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是　　
A．，，， B．，，
C．， D．，
【例4】（2025春 平顶山期末）已知，是互不重合的直线，，是互不重合的平面，下列命题正确的是　　
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，，则
【例5】（2025 天津）若为直线，，为两个平面，则下列结论中正确的是　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【知识点2】直线与平面垂直的判定
1．证明直线与平面垂直的常用方法
(1)判定定理．
(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α b⊥α)．
(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β a⊥β)．
(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l β l⊥α)．
2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想
【例6】（2025春 广州期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）若侧面底面，求证：平面．
【例7】（2025春 邯郸月考）如图，在三棱锥中，，△的外接圆的圆心在线段上，平面，为上一点，且．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
【例8】（2025春 广陵区月考）如图，在正三棱柱中，，，分别为，中点．求证：
（1）平面；
（2）平面．
【例9】（2025春 安徽月考）如图，四棱锥的底面为平行四边形，点，分别是，的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，，两两垂直且相等，证明：平面．
【例10】（2025 安康模拟）如图，已知四棱锥中，平面，底面是直角梯形，
且，，，，
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）若是的中点，求三棱锥的体积．
【知识点3】直线与平面平行的性质
1．垂直关系里线线垂直是基础
2．垂直关系中线面垂直是重点
(1)
(2)
【例11】（2025春 锡山区月考）如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为矩形，且平面平面，，分别为，的中点，二面角的正切值为2．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【例12】（2025春 东西湖区期中）如图，在四边形中，△是等边三角形，△是以为斜边的等腰直角三角形，将△沿对角线翻折到△，在翻折的过程中．
（1）求证：；
（2）若，求证：平面．
【例13】（2025春 南岗区期中）如图，已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点．
（1）求证：；
（2）若平面交于点，求证：平面．
【例14】（2025春 碑林区期中）如图，正方体．
（1）证明：；
（2）若，分别为、中点，证明：，，三线共点．
【例15】（2024秋 新疆期末）如图，在长方体中，，为中点．
（1）求证：；
（2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由．
【知识点4】平面与平面垂直的判定与性质
1．判定面面垂直的方法
(1)面面垂直的定义．
(2)面面垂直的判定定理．
2．面面垂直性质的应用
(1)面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．
(2)若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面
例1：
【例16】（2025春 北京期末）如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，．
（1）求证：；
（2）求证：平面平面；
（3）求四棱锥的体积．
【例17】（2025春 广州期末）如图，在正四棱柱中，，垂足为．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：平面平面．
【例18】（2025春 金华期末）在三棱锥中，，，，，是的中点，且．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【例19】（2025春 金山区月考）如图，在四棱锥中，为棱的中点，平面．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
【例20】（2025春 潮阳区期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为正方形，、分别为、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求；若不存在，说明理由．
【知识点5】几何法求直线与平面所成的角与二面角
(1)利用几何法求空间线线角、线面角、二面角时要注意“作角、证明、计算”是一个完整的过程，缺一不可．
(2)斜线与平面所成的角，首先作出平面的垂线，得出斜线在平面内的射影，从而得出斜线与平面所成的角，转化为直角三角形求解．
(3)求空间角中的难点是求二面角，作二面角的平面角的常用方法有：①定义法：根据平面角的概念直接作，如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边，就可以取棱的中点；②垂面法：过二面角棱上一点作棱的垂面，则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角；③垂线法：过二面角的一个半平面内一点A作另一个半平面所在平面的垂线，得到垂足B，再从垂足B向二面角的棱作垂线，垂足为C，这样二面角的棱就垂直于这两条垂线所确定的平面ABC，连接AC，则AC也与二面角的棱垂直，∠ACB就是二面角的平面角或其补角，这样就把问题归结为解一个直角三角形，这是求解二面角最基本、最重要的方法
例1：
【例21】（2025春 保山期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角．
【例22】（2025春 贺州期末）如图，在正三棱柱中，为的中点，，．
（1）证明：．
（2）证明：平面．
（3）求二面角的正切值．
【例23】（2025春 深圳期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求二面角所成角的余弦值．
【例24】（2025春 扬州期末）如图，在四棱锥中，底面四边形是菱形，平面平面，为的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）若，，与平面所成角为，求二面角的正弦值．
【例25】（2025春 孝感期末）如图，在四棱锥中，底面，，，．
（1）若平面．证明：；
（2）若平面平面，，
证明：；
求二面角的正弦值．第36讲 空间直线、平面的垂直
【知识点1】空间中垂直关系的基本问题 3
【知识点2】直线与平面垂直的判定 6
【知识点3】直线与平面平行的性质 14
【知识点4】平面与平面垂直的判定与性质 22
【知识点5】几何法求直线与平面所成的角与二面角 30
1．直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 l⊥α
性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a∥b
2．直线与平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线与这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°．
(2)范围：．
3．二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．
(3)范围：[0，π]．
4．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 α⊥β
性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 l⊥α
常用结论：
1．两个重要结论
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．
2．三种垂直关系的转化
线线垂直线面垂直面面垂直
3．三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．
4．三垂线定理的逆定理
平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．
5．如图，如果二面角α－AB－β的大小为θ，则cosθ＝．
【知识点1】空间中垂直关系的基本问题
与垂直关系有关命题真假的判断方法
(1)借助几何图形来说明．
(2)寻找反例，只要存在反例，结论就不正确．
(3)反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明
例1：
【例1】（2025春 奉化区期末）若，为空间中两条不同的直线，，为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，则
【答案】
【分析】利用线面垂直和线面平行的判定及性质对各选项进行判定．
【解答】解：选项，根据线面平行的性质及线面垂直的定义可知，
若，，则成立，故正确；
选项，根据线面平行的性质及面面垂直的判定可知，
若，，则，故正确；
选项，若，，则，又，则，故正确；
选项，若，，则，有可能平行、相交或者异面，故错误．
故选：．
【例2】（2025春 重庆月考）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是　　
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
【答案】
【分析】对于，与相交、平行或；对于，与相交或平行；对于，与相交、平行或异面；对于，由面面垂直的判定定理得．
【解答】解：，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，
对于，若，，则与相交、平行或，故错误；
对于，若，，，则与相交或平行，故错误；
对于，若，，，则与相交、平行或异面，故错误；
对于，若，，，则由面面垂直的判定定理得，故正确．
故选：．
【例3】（2025 河西区模拟）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是　　
A．，，， B．，，
C．， D．，
【答案】
【分析】根据线面平行的性质即可求解．
【解答】解：同一平面内两条直线，均平行于平面，则平面与平行，
该命题不正确（两条直线，为相交直线即正确），即得不正确；
，，，但不一定在内，不满足面面垂直性质定理的条件，无法推出，即得不正确；
如果一条直线垂直于平面，直线，互相垂直，则直线平行于平面，
该命题不正确（直线还可以在平面内），即得不正确；
两条平行直线中一条垂直于一个平面，则另一条必垂直于该平面，该命题正确．
故选：．
【例4】（2025春 平顶山期末）已知，是互不重合的直线，，是互不重合的平面，下列命题正确的是　　
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，，则
【答案】
【分析】由线面的位置关系可判断；由线面垂直的性质定理可判断；由两平面的位置关系可判断；由面面垂直的判定可判断．
【解答】解：若，，则、或，故错误；
若，，推得，又，则，故正确；
若，，则或、相交，故错误；
若，，，不能判定和是否垂直，故错误．
故选：．
【例5】（2025 天津）若为直线，，为两个平面，则下列结论中正确的是　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】
【分析】根据直线与平面的位置关系进行判断．
【解答】解：对于，若，，则与可能平行也可能异面，故错误；
对于，若，，则，故错误；
对于，若，，则，正确；
对于，若，，则可能平行于，也可能与斜交，也可能垂直于，故错误．
故选：．
【知识点2】直线与平面垂直的判定
1．证明直线与平面垂直的常用方法
(1)判定定理．
(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α b⊥α)．
(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β a⊥β)．
(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l β l⊥α)．
2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想
【例6】（2025春 广州期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）若侧面底面，求证：平面．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）证明过程见解析．
【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，故，证明出平面；
（2）由面面垂直得到线面垂直，即平面，所以，由三线合一得到，故可证平面．
【解答】证明：（1）取的中点，连接，，
因为是的中点，所以，
且，
底面为矩形，是的中点，
所以，且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，故，
又平面，平面，
所以平面；
（2）底面为矩形，故，
侧面底面，侧面底面，
所以平面，
因为平面，所以，
侧面是正三角形，为的中点，
所以，
因为，
所以平面．
【例7】（2025春 邯郸月考）如图，在三棱锥中，，△的外接圆的圆心在线段上，平面，为上一点，且．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）利用三角形相似证明，又，即可证明平面，从而得到，即可得证；
（2）依题意可得，再求出，即可得解．
【解答】（1）证明：因为平面，，平面，
所以，，
又，
所以，
又，所以，所以，
所以△△，所以，即，
因为△的外接圆的圆心在线段上，所以，
所以，
又，，平面，
所以平面，又平面，
所以，
又，，平面，
所以平面；
（2）解：因为，
又，
所以．
【例8】（2025春 广陵区月考）如图，在正三棱柱中，，，分别为，中点．求证：
（1）平面；
（2）平面．
【答案】（1）证明过程见详解；
（2）证明过程见详解．
【分析】（1）连接，设，由题意可得为的中点，连接，由题意可得，再由线面平行的判定定理可证得结论；
（2）取的中点，连接，，由题意可证得，，再由（1）及线面垂直的判定定理可证得结论．
【解答】证明：（1）连接，设，
由题意可得为的中点，连接，
在△中，为的中点，
可得，
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）取的中点，连接，，
由题意可得，
在正三棱柱中，可得，平面，
平面，
所以，又因为，
所以平面，而平面，
所以，
因为，
，
所以，
所以，
而，
所以，
又因为，可得平面，
而平面，
所以，
由（1）可得，
又因为，
所以得平面．
【例9】（2025春 安徽月考）如图，四棱锥的底面为平行四边形，点，分别是，的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，，两两垂直且相等，证明：平面．
【答案】（1）见证明过程；
（2）见证明过程．
【分析】（1）取中点、连接、，由题意，通过证明四边形为平行四边形，可证，进而利用线面平行的判定即可证明；
（2）利用线面垂直的判定可证明平面，又，利用线面垂直的性质可证，利用线面垂直的判定可证平面，由（1）知，即可证明平面．
【解答】证明：（1）如图，取中点、连接、，
因为四边形为矩形，
所以，
因为点是的中点，
所以，且，
因为、分别为、的中点，
所以，且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，得证；
（2）因为，，且，，平面，
所以平面，
因为四边形为矩形，
所以，
所以平面，
所以，
在△中，，为的中点，
所以，
又因为，，平面，
所以平面，
由（1）知，
所以平面，得证．
【例10】（2025 安康模拟）如图，已知四棱锥中，平面，底面是直角梯形，
且，，，，
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）若是的中点，求三棱锥的体积．
【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明；
（2）利用勾股定理证明，由平面，可得．从而可证得平面
（3）在直角梯形中，过作于点，则四边形为矩形，，．求得，
计算△的面积，根据到平面的距离是到平面距离的一半，求得棱锥的高，代入体积公式计算．
【解答】解：（1）底面是直角梯形，且，，
，
又平面，平面，
平面．
（2），，，
．
则，．
平面，平面，．
又，平面．
（3）在直角梯形中，过作于点，
则四边形为矩形，，．
在△中，可得，
，
．，
是的中点，到平面的距离是到平面距离的一半，
．
【知识点3】直线与平面平行的性质
1．垂直关系里线线垂直是基础
2．垂直关系中线面垂直是重点
(1)
(2)
【例11】（2025春 锡山区月考）如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为矩形，且平面平面，，分别为，的中点，二面角的正切值为2．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明过程见解答；（2）．
【分析】（1）先证明平面，利用线面垂直的判定定理证明平面，即可证明；
（2）由平面可得为直线与平面所成的角，计算其正弦值即可．
【解答】解：（1）证明：△是边长为2的正三角形，为中点，
，，
平面平面，平面平面，
平面，
平面，，
在正方形中，由题意得△△，
，
，，
，平面，
平面，．
（2）设，连接，，
平面，
为直线与平面所成的角，
，，
，，
，
，，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
【例12】（2025春 东西湖区期中）如图，在四边形中，△是等边三角形，△是以为斜边的等腰直角三角形，将△沿对角线翻折到△，在翻折的过程中．
（1）求证：；
（2）若，求证：平面．
【分析】（1）由折叠平面的变与不变性，取中点，可得面，由线面垂直的性质可得结论；
（2）由题意可得平面，所以，由线面垂直的判定定理证明即可．
【解答】证明：（1）如图，取的中点，连接，，
在等腰△中，，为的中点，
所以，
在等边△中，，
又，
所以平面，
又平面，所以．
（2）因为在△中，，
又，，
所以平面，
又平面，
所以，
由（1）知，，
所以平面．
【例13】（2025春 南岗区期中）如图，已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点．
（1）求证：；
（2）若平面交于点，求证：平面．
【答案】（1）证明过程见详解；
（2）证明过程见详解．
【分析】（1）由线面垂直的性质可得，进而证得，由题意可证得平面，再证得，再由题意可证得平面，再证得结论；
（2）由线面垂直的性质可得，再由（1）可证得，再证得结论．
【解答】证明：（1）因为平面，平面，所以，
又因为，，
所以平面，
而平面，所以，
因为，，
所以平面，
因为平面，可得，
因为，，
所以平面，
因为平面，
所以；
（2）因为平面，平面，所以，，
且，所以平面，
平面，
所以，
由（1）可得平面，平面，
所以，又因为，，平面，
所以平面．
【例14】（2025春 碑林区期中）如图，正方体．
（1）证明：；
（2）若，分别为、中点，证明：，，三线共点．
【答案】（1）证明见解答；（2）证明见解答．
【分析】（1）先证平面，再利用线面垂直的性质定理即可得证；
（2）先证四边形为梯形，令，则可知平面，平面，得出点在平面与平面的交线上即可得证．
【解答】证明：（1）在正方体中，连接，则，
又因为平面，平面，
所以，又因为，且，平面，
所以平面，又因为平面，
所以；
（2）如图，连接，，，四边形是正四棱柱的对角面，
则，，
由、分别为、中点，得，，
则，且，
即四边形为梯形，
令，则，而平面，则平面，
同理平面，
又平面平面，
因此，
所以，，三线共点．
【例15】（2024秋 新疆期末）如图，在长方体中，，为中点．
（1）求证：；
（2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由．
【分析】（1）连接，，证明平面，即可证得结论；
（2）取的中点，的中点，连接，利用三角形的中位线的性质，可得线线平行，从而可得线面平行．
【解答】（1）证明：连接，，
长方体中，，
，
平面，
，
，平面，
平面，
；
（2）解：存在的中点，使得平面，证明如下：
取的中点，的中点，连接，
则，且，
，且，且
四边形为平行四边形，
又平面，平面
平面
此时．
【知识点4】平面与平面垂直的判定与性质
1．判定面面垂直的方法
(1)面面垂直的定义．
(2)面面垂直的判定定理．
2．面面垂直性质的应用
(1)面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．
(2)若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面
例1：
【例16】（2025春 北京期末）如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，．
（1）求证：；
（2）求证：平面平面；
（3）求四棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）．
【分析】（1）先由勾股定理证明，结合条件，由线线垂直证得线面垂直，得到平面，即可证明结论；
（2）先由（1）结论和证明平面，再利用面面垂直的判定定理即可证得结论；
（3）过点作于点，证明平面，再利用棱锥的体积公式计算即得．
【解答】解：（1）证明：连接，
由于，，是棱的中点，则，
因，则，
又由，且，，平面，
则平面，
而平面，必有．
（2）证明：由（1）的结论，，
因平面，平面，则，
因，平面且平面，则平面，
又由平面，
由面面垂直判定定理，必有平面平面．
（3）根据题意，由（2）的结论，平面，
由于平面，则，故，
过点作，交于点，
如图：
又由，解可得．
因平面，而平面，则，
因，而，平面，则平面，
则为四棱锥的高，
故．
【例17】（2025春 广州期末）如图，在正四棱柱中，，垂足为．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：平面平面．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【分析】（1）利用正四棱柱的性质可得线线平行，再证明线面平行，即可证明面面平行；
（2）利用正四棱柱的性质可得线面垂直和线线垂直，再通过线面垂直证明面面垂直即可．
【解答】证明：（1）由正四棱柱性质可得：，，
由平面，平面，所以平面，
又由平面，平面，所以平面，；
又因为，，平面，所以平面平面；
（2）连接，由正四棱柱可知，平面，因为平面，所以，
又因为，，平面，所以平面，
又因为平面，所以，又因为，
，，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
【例18】（2025春 金华期末）在三棱锥中，，，，，是的中点，且．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）连接，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证．
（2）作于，结合余弦定理求出，再利用几何法求出线面角的正弦．
【解答】（1）证明：连接，由，为中点，得，
由，得，
可得，
因此，而，，平面，
则平面，
又平面，
所以平面平面；
（2）解：在平面内过点作于，连接，
由平面平面，平面平面，
所以平面，
即为直线与平面所成角，
在△中，，，
由余弦定理可得，
则，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【例19】（2025春 金山区月考）如图，在四棱锥中，为棱的中点，平面．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【分析】（1）证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得线线平行，再根据线面平行的判定定理证明线面平行即可；
（2）根据线面垂直的性质定理证明，进而证明，即可证明平面，再由面面垂直的判定定理，即可证明结论．
【解答】证明：（1）在四棱锥中，为棱的中点，平面．且为棱的中点，，
又，四边形为平行四边形，，
又平面，平面，
平面．
（2）
平面，平面，，
连接，由题意，为棱的中点，，
知，且，则四边形为平行四边形，
，，又，
所以平行四边形为正方形，，
又，，又，，平面，
平面，又平面，
所以平面平面．
【例20】（2025春 潮阳区期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为正方形，、分别为、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解答；（2）证明见解答；（2）存在，理由见解答．
【分析】（1）先证明，再利用线面平行的判定定理即可锝证；
（2）先证明平面，再利用面面垂直的判定定理即可得证；
（3）当为中点时，证明平面，利用面面垂直的判定定理即可得证．
【解答】解：（1）证明：在正方形中，、分别为、的中点，
所以，因为平面，平面，
所以平面；
（2）证明：由于平面平面，且平面平面，
因为，平面，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面；
（3）存在，当为中点时，平面平面，
证明如下：连接，交于点，连接，
因为，并且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为为中点，
所以，
因为平面平面，平面平面，
又平面，由已知，
所以平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面．
所以存在点，使得平面平面，．
【知识点5】几何法求直线与平面所成的角与二面角
(1)利用几何法求空间线线角、线面角、二面角时要注意“作角、证明、计算”是一个完整的过程，缺一不可．
(2)斜线与平面所成的角，首先作出平面的垂线，得出斜线在平面内的射影，从而得出斜线与平面所成的角，转化为直角三角形求解．
(3)求空间角中的难点是求二面角，作二面角的平面角的常用方法有：①定义法：根据平面角的概念直接作，如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边，就可以取棱的中点；②垂面法：过二面角棱上一点作棱的垂面，则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角；③垂线法：过二面角的一个半平面内一点A作另一个半平面所在平面的垂线，得到垂足B，再从垂足B向二面角的棱作垂线，垂足为C，这样二面角的棱就垂直于这两条垂线所确定的平面ABC，连接AC，则AC也与二面角的棱垂直，∠ACB就是二面角的平面角或其补角，这样就把问题归结为解一个直角三角形，这是求解二面角最基本、最重要的方法
例1：
【例21】（2025春 保山期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角．
【答案】（1）证明见解答；（2）．
【分析】（1）根据是△的中位线，得出，即可得证；
（2）先证就是平面与平面的夹角，再解三角形即可．
【解答】解：（1）证明：是的中点，是的中点，
是△的中位线，
，又平面，平面，
平面；
（2）如图，过作，垂足为点，连接，
平面，平面，
．
又，，平面，
平面，
又平面，
，
就是平面与平面的夹角，
在△中，，，为边上的高，
，
又△是直角三角形，
．
又，，
平面与平面的夹角为．
【例22】（2025春 贺州期末）如图，在正三棱柱中，为的中点，，．
（1）证明：．
（2）证明：平面．
（3）求二面角的正切值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）根据题意，分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得；
（2）由（1）知平面，得到，再由，证得，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面．
（2）过点作，分别证得和，得到为二面角的平面角，在直角△中，求得的长，结合，即可求解．
【解答】解：（1）证明：在等边△中，因为为的中点，可得，
在正三棱柱中，可得平面，且平面，
所以，
因为，且，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以．
（2）证明：由（1）知平面，且平面，
所以，
在直角△中，由，，
可得，
在直角△中，因为，可得，，
可得，
在直角△中，由，，
可得，
因为，
则满足，
所以，
因为，且，平面，
所以平面．
（3）过点作，垂足为，
由（2）知平面，且平面，所以，
因为，且，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，
在直角△中，由，，可得，
又由（1）知平面，且平面，所以，
在直角△中，可得，
在直角△中，可得，
所以二面角的正切值为．
【例23】（2025春 深圳期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求二面角所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）取的中点，连接，可求得，，利用勾股定理的逆定理可证，结合，可证结论成立；
（2）利用（1）易证结论成立；
（3）可证，进而可得为二面角的平面角，进而求解即可．
【解答】解：（1）证明：由底面是直角梯形，
，，，
结合勾股定理计算可得：，
取的中点，连接，
因为，，，
所以四边形是正方形，
则，再由勾股定理可得：，
又因为，
则由，所以，
又因为平面，平面，所以，
又因为，且，平面，
所以平面；
（2）证明：由（1）知平面，平面，
所以平面平面．
（3）因为平面，平面，所以，又因为，
所以为二面角的平面角．
在△中，，
．
【例24】（2025春 扬州期末）如图，在四棱锥中，底面四边形是菱形，平面平面，为的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）若，，与平面所成角为，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）连接，即证，利用线面平行的判定定理即可得证；
（2）由四边形是菱形，得，又平面平面，利用面面垂直的性质定理得平面，最后利用线面垂直的性质定理即可得证；
（3）过点作，垂足为，得为与平面所成角，所以，即证，，得即为二面角的平面角，不妨设，在△，利用余弦定理计算即可．
【解答】解：（1）证明：如图，连接，因为四边形是菱形，交于点，
所以为的中点，又因为为的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
（2）证明：如图，
因为四边形是菱形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，所以．
（3）如图，过点作，垂足为，
因为平面平面，
平面平面，平面，所以平面，
所以为与平面所成角，所以．
因为，，所以，
因为，，且，平面，
所以平面，又，平面，
所以，，
所以即为二面角的平面角．
不妨设，因为四边形是菱形，所以△为等边三角形，
在△中，，所以，
在△中，，
所以，
又因为，分别为，的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以，又为的中点，所以，
在△中，，
在△中，，
所以．
所以二面角的正弦值为．
【例25】（2025春 孝感期末）如图，在四棱锥中，底面，，，．
（1）若平面．证明：；
（2）若平面平面，，
证明：；
求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；．
【分析】（1）由题意可求出，进而可知，由题可知，所以可证平面，再由线面平行的性质定理可得，进而平面，再由线面垂直的性质定理可证；
（2）利用面面直的性质定理可得平面，再利用线面垂直的性质定理可得，进而可证平面，进而可证；
先找出二面角的平面角，在三角形中求解即可．
【解答】解：（1）证明：在△中，，，
由余弦定理得，
即，
解得，
因为，
所以，
因为底面，平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，平面，平面平面，
所以，
所以平面，
因为平面，
所以．
（2）证明：如图：
过点作于点，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为平面，平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
由知，所以，
因为，，
所以△△，所以．
如图：
过点作于点，再过点作于点，连接，
因为平面，平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又，，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，
因为，
所以，
又，
所以．
由知平面，
因为平面，所以，
又，，，
所以，
又，
所以，所以，
在△中，．
即二面角的正弦值为．

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