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第41讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
【知识点1】直线与圆的位置关系 3
【知识点2】弦长问题 4
【知识点3】切线问题 6
【知识点4】圆与圆的位置关系 7
1．直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ．
位置关系 相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0
几何观点 d>r d＝r d2．圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
位置关系 图形 几何法 公切线条数
外离 d>r1＋r2 四条
外切 d＝r1＋r2 三条
相交 |r1－r2|内切 d＝|r1－r2| 一条
内含 0≤d常用结论：
1．圆的切线方程常用的结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2．
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2．
(4)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线．
(2)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
(3)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．
【知识点1】直线与圆的位置关系
1．判断直线与圆的位置关系的常用方法
特别地，对于过定点的直线，若定点在圆内部，则可判定直线与圆相交；若定点在圆上，则可判定直线和圆有公共点．
2．圆上的点到直线的距离为定值的点的个数问题
该类问题常借助于图形转化为点到直线的距离问题求解．设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d．
如图①，若圆上恰有一点到直线的距离为t，则需满足d＝r＋t．
如图②，若圆上恰有三点到直线的距离为t，则需满足d＝r－t．
由图①②可知，若圆上恰有两个点到直线的距离为t，则需满足r－t＜d＜r＋t．
若圆上恰有四点到直线的距离为t，则需满足d＜r－t
例1：
【例1】（2025春 荆门期末）设直线，圆，则与圆　　
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能
【例2】（2025春 厦门期末）若轴与圆相切，则　　
A．1 B．2 C． D．3
【例3】（2025春 安康期末）设一个圆心在直线上的圆与两条坐标轴均相切，则这个圆的半径为　　
A．1 B．2 C．1或2 D．2或
【例4】（2025春 毕节市期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【例5】（2025春 南京期末）与直线和圆都相切的半径最小的圆方程是　　
A． B．
C． D．
【知识点2】弦长问题
求直线被圆截得的弦长的两种方法
【例6】（2025春 四川期末）若直线被圆截得的弦长为，则　　
A． B． C．2 D．
【例7】（2024秋 四川期末）直线与圆交于，两点，则　　
A．2 B． C． D．
【例8】（2025 安丘市模拟）已知直线与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，则　　
A． B．2 C． D．4
【例9】（2025春 柳州月考）直线与圆交于，两点，若，则　　
A． B． C． D．
【例10】（2025 金凤区模拟）直线与圆相交于，两点，则　　
A．1 B． C．2 D．
【知识点3】切线问题
1．求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系，求得切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程，如果k＝0或k不存在，则由图形可直接得到切线方程为y＝y0或x＝x0．
2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程
当切线斜率存在时，圆的切线方程的求法：
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求得k．
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0，进而求得k．
注意验证斜率不存在的情况．
3．涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题，可以利用几何图形求解，也可以把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求解
【例11】（2025春 芜湖期末）已知直线与圆和圆都相切，则的值为　　
A． B． C． D．
【例12】（2025 海南模拟）已知圆与直线和都相切，且圆心在轴上，则圆的方程为　　
A． B． C． D．
【例13】（2025 重庆模拟）若直线与圆相切，则实数的值为　　
A． B． C． D．
【例14】（2025春 上高县月考）过点的直线与圆相切，则直线的方程为　　
A． B．或
C． D．或
【例15】（2025 青羊区模拟）从点向圆引切线，则切线长的最小值是　　
A． B．5 C． D．
【知识点4】圆与圆的位置关系
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到
例1：
【例16】（2025春 崇左期末）圆与圆的位置关系是　相交　 ．
【例17】（2025春 河西区月考）已知圆与圆相交于点、，若弦长，则　0或　 ．
【例18】（2025春 濮阳期末）已知圆与圆，若圆完全覆盖圆，，则圆的半径的最小值为　　
A．3 B．4 C．5 D．6
【例19】（2025春 敦煌市期末）圆与的位置关系为　　
A．相交 B．相离 C．外切 D．内切
【例20】（2025 烟台三模）若圆与圆交于，两点，则四边形的面积为　　
A．5 B． C． D．10第41讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
【知识点1】直线与圆的位置关系 3
【知识点2】弦长问题 6
【知识点3】切线问题 8
【知识点4】圆与圆的位置关系 12
1．直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ．
位置关系 相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0
几何观点 d>r d＝r d2．圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
位置关系 图形 几何法 公切线条数
外离 d>r1＋r2 四条
外切 d＝r1＋r2 三条
相交 |r1－r2|内切 d＝|r1－r2| 一条
内含 0≤d常用结论：
1．圆的切线方程常用的结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2．
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2．
(4)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线．
(2)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
(3)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．
【知识点1】直线与圆的位置关系
1．判断直线与圆的位置关系的常用方法
特别地，对于过定点的直线，若定点在圆内部，则可判定直线与圆相交；若定点在圆上，则可判定直线和圆有公共点．
2．圆上的点到直线的距离为定值的点的个数问题
该类问题常借助于图形转化为点到直线的距离问题求解．设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d．
如图①，若圆上恰有一点到直线的距离为t，则需满足d＝r＋t．
如图②，若圆上恰有三点到直线的距离为t，则需满足d＝r－t．
由图①②可知，若圆上恰有两个点到直线的距离为t，则需满足r－t＜d＜r＋t．
若圆上恰有四点到直线的距离为t，则需满足d＜r－t
例1：
【例1】（2025春 荆门期末）设直线，圆，则与圆　　
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能
【答案】
【分析】根据点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系．
【解答】解：由题意直线，圆，
可得圆的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，
故直线与圆相离．
故选：．
【例2】（2025春 厦门期末）若轴与圆相切，则　　
A．1 B．2 C． D．3
【答案】
【分析】根据直线与圆相切的性质求解即可．
【解答】解：因为轴与圆相切，
所以圆心到轴的距离．
故选：．
【例3】（2025春 安康期末）设一个圆心在直线上的圆与两条坐标轴均相切，则这个圆的半径为　　
A．1 B．2 C．1或2 D．2或
【答案】
【分析】根据给定条件，设出圆心坐标，结合圆的切线列式求解．
【解答】解：因为圆心在直线上，所以设圆心坐标为，
又该圆与两条坐标轴均相切，所以该圆半径，
整理得，
解得或2，所以这个圆的半径或1．
故选：．
【例4】（2025春 毕节市期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据半圆与直线的位置关系，求出切线斜率，数形结合得解．
【解答】解：由得，
直线经过定点，如图，
当直线与半圆相切时，，
所以恰有两个公共点时，由图可知，，
所以实数的取值范围为，．
故选：．
【例5】（2025春 南京期末）与直线和圆都相切的半径最小的圆方程是　　
A． B．
C． D．
【分析】由题意先确定圆心的位置，再结合选项进行排除，并得到圆心坐标，再求出所求圆的半径．
【解答】解：圆的圆心为、半径为，
过圆心与直线垂直的直线方程为，所求的圆的圆心在此直线上．
又圆心到直线的距离为，则所求的圆的半径为．
设所求圆心坐标为，则，且．
解得，，故要求的圆的方程为，
故选：．
【知识点2】弦长问题
求直线被圆截得的弦长的两种方法
【例6】（2025春 四川期末）若直线被圆截得的弦长为，则　　
A． B． C．2 D．
【答案】
【分析】根据圆的方程求出圆心和半径，再根据直线截圆弦长公式求解参数的值．
【解答】解：根据题意，圆，则圆心为，半径为2．
设圆心到直线距离为：．
因为直线与圆截得的弦长为．
则有，变形可得，
又由，解得：．
故选：．
【例7】（2024秋 四川期末）直线与圆交于，两点，则　　
A．2 B． C． D．
【答案】
【分析】根据题意，分析圆的圆心和半径，结合直线与圆的位置关系，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，圆，其圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
故．
故选：．
【例8】（2025 安丘市模拟）已知直线与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，则　　
A． B．2 C． D．4
【答案】
【分析】求解弦长，然后结合直线的倾斜角，综合求解即可．
【解答】解：直线的倾斜角为，圆的圆心，半径为3，
圆的圆心到直线的距离为：，
所以．
过，分别作的垂线与轴交于，两点，则．
故选：．
【例9】（2025春 柳州月考）直线与圆交于，两点，若，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由点到直线的距离公式结合几何法表示出弦长可解．
【解答】解：由题意得，圆半径，圆心到直线的距离，
因为，所以，解得．
故选：．
【例10】（2025 金凤区模拟）直线与圆相交于，两点，则　　
A．1 B． C．2 D．
【答案】
【分析】求解圆的圆心到直线的距离，结合垂径定理，综合求解即可．
【解答】解：圆的圆心，半径为2，
圆的圆心到直线的距离为：，
所以．
故选：．
【知识点3】切线问题
1．求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系，求得切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程，如果k＝0或k不存在，则由图形可直接得到切线方程为y＝y0或x＝x0．
2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程
当切线斜率存在时，圆的切线方程的求法：
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求得k．
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0，进而求得k．
注意验证斜率不存在的情况．
3．涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题，可以利用几何图形求解，也可以把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求解
【例11】（2025春 芜湖期末）已知直线与圆和圆都相切，则的值为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据直线与圆相切的性质，结合点到直线距离公式列式，解之即可得到本题的答案．
【解答】解：由题意，圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
因为直线与圆、圆都相切，
所以，解得，．
故选：．
【例12】（2025 海南模拟）已知圆与直线和都相切，且圆心在轴上，则圆的方程为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】设所求圆的方程为，根据直线与圆相切的性质，结合点到直线的距离公式列式求出、，进而可得圆的方程．
【解答】解：根据题意，设圆的方程为，
因为直线和都与圆相切，
所以点到、的距离都等于半径，
即，解得，可得圆的方程为．
故选：．
【例13】（2025 重庆模拟）若直线与圆相切，则实数的值为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】求出圆的圆心坐标与半径，根据切线的性质，可知点到直线的距离，从而运用点到直线的距离公式建立关于的方程，解之即可得到本题的答案．
【解答】解：根据题意，圆可化为，圆心为，半径．
若直线与圆相切，则点到直线的距离，
即，化简得，解得．
故选：．
【例14】（2025春 上高县月考）过点的直线与圆相切，则直线的方程为　　
A． B．或
C． D．或
【答案】
【分析】就直线的斜率是否存在分类讨论，当斜率存在时，利用圆心到直线的距离为半径可求直线方程，故可得正确的选项．
【解答】解：若直线的斜率不存在，则直线的方程为：，
根据题意可知，圆，
圆心，半径为，圆心到直线的距离为1，符合要求，
若直线的斜率存在，设直线的方程为即，
故圆心到直线的距离为，故，
故此时直线的方程为．
故选：．
【例15】（2025 青羊区模拟）从点向圆引切线，则切线长的最小值是　　
A． B．5 C． D．
【答案】
【分析】过作轴的垂线，与交于点，此时过点作圆的切线，切线长最小，连接，得到垂直于，先利用两点间的距离公式求出的长，然后在直角三角形中，利用勾股定理即可求出．
【解答】解：如图，当轴时，过点作的切线长最短，
根据为圆的切线，为切点得到，
由圆的方程得到圆心，半径为1
在直角三角形中，，，
根据勾股定理得．
故选：．
【知识点4】圆与圆的位置关系
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到
例1：
【例16】（2025春 崇左期末）圆与圆的位置关系是　相交　 ．
【答案】相交．
【分析】根据圆的方程确定圆心、半径，再由圆心距与半径和差关系判断位置关系即可．
【解答】解：由题意圆与圆，
可得圆心且对应半径为，圆心且对应半径为，
所以，故，即两圆相交．
故答案为：相交．
【例17】（2025春 河西区月考）已知圆与圆相交于点、，若弦长，则　0或　 ．
【答案】0或．
【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，然后根据圆的弦长公式算出点到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出的值，即可得到本题的答案．
【解答】解：圆与圆方程相减，
化简得，
即为直线的方程．
圆的圆心为，半径，
设点到直线的距离为，则，
解得，
所以，
解得或．
故答案为：0或．
【例18】（2025春 濮阳期末）已知圆与圆，若圆完全覆盖圆，，则圆的半径的最小值为　　
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】
【分析】设点是圆上的动点，点是圆上的动点，根据两圆的位置关系求出的最大值，进而可得满足题意的圆半径的最小值．
【解答】解：由题意，圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
圆心距，由，可知两圆相外切，
设点是圆上的动点，点是圆上的动点，则，
因此，若圆完全覆盖圆与，则圆直径的最小值为6，
可知圆半径的最小值为3，项符合题意．
故选：．
【例19】（2025春 敦煌市期末）圆与的位置关系为　　
A．相交 B．相离 C．外切 D．内切
【答案】
【分析】计算两圆圆心距，利用几何法可判断两圆的位置关系．
【解答】解：圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
两圆圆心距为，
所以圆与的位置关系为内切．
故选：．
【例20】（2025 烟台三模）若圆与圆交于，两点，则四边形的面积为　　
A．5 B． C． D．10
【答案】
【分析】根据题意将两圆的方程相减，求得直线的方程，运用点到直线的距离公式算出原点到直线的距离，进而求得的长，然后根据两点之间的距离公式算出长，结合，运用四边形的面积公式求出答案．
【解答】解：由题意，圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
两圆方程相减，整理得，即为直线的方程，
所以原点到直线的距离，
根据圆的性质，可得，且，
结合，可得．
故选：．

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