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第42讲椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质
【知识点1】利用椭圆的定义求轨迹方程 3
【知识点2】利用椭圆的定义解决焦点三角形问题 4
【知识点3】椭圆的标准方程 5
【知识点4】椭圆的长轴、短轴、焦距 7
【知识点5】椭圆的离心率 7
【知识点6】与椭圆几何性质有关的最值问题 9
1．椭圆的定义
(1)文字语言：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
(2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a＞|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a＞c＞0，且a，c为常数．
注意：若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a＜|F1F2|，则动点的轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程及简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 短轴长为2b，长轴长为2a
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点
离心率 e＝(0a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
说明：离心率表示椭圆的扁平程度，当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁平；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b＝越大，因此椭圆越接近于圆．
常用结论：
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ．
(1)当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大．
(2)S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sinθ＝b2tan＝c|y0|．
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c．
(4)|PF1|·|PF2|≤＝a2．
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ．
(6)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
【知识点1】利用椭圆的定义求轨迹方程
在求动点的轨迹时，如果能够判断动点的轨迹满足椭圆的定义，那么可以直接求解其轨迹方程
例1：
【例1】（2025 五华区模拟）设点，，△的周长为36，则△的顶点的轨迹方程为　　
A． B．
C． D．
【例2】（2024秋 绵阳期中）在△中，，，，则顶点的轨迹方程　　
A． B．
C． D．
【例3】（2024秋 余姚市期中）若动点满足方程，则动点的轨迹方程为　　
A． B．
C． D．
【例4】（2024秋 金台区月考）已知动点满足等式，则点的轨迹方程是　　
A． B． C． D．
【例5】（2024秋 浦东新区期末）到两点、的距离之和为10的点的轨迹方程是　　（写成标准形式）．
【知识点2】利用椭圆的定义解决焦点三角形问题
将定义和余弦定理结合使用可以解决焦点三角形的周长和面积问题
【例6】（2025 广西模拟）设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在上，，则　　
A． B． C． D．
【例7】（2024秋 固始县期末）已知椭圆的两焦点为、，过点且存在斜率的直线与椭圆交于、两点，则的周长为　　
A．16 B．8 C．10 D．20
【例8】（2024秋 句容市期末）设椭圆的左、右焦点分别为，，是上的点，，则的离心率为　　
A． B． C． D．
【例9】（2024秋 四川期末）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，，则△的面积等于　　
A．24 B．26 C． D．
【例10】（2025 福州模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，且，则　　
A． B． C． D．
【知识点3】椭圆的标准方程
1．求椭圆方程的常用方法
(1)定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．
(2)待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤
注意：一定先判断椭圆的焦点位置，即先定型后定量．
2．椭圆标准方程的两个应用
(1)椭圆＋＝1(a>0，b>0)与＋＝λ(a>0，b>0，λ>0)有相等的离心率．
(2)与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为＋＝1(a>b>0，k＋b2>0)．恰当选用椭圆系方程，可使运算更简便
【例11】（2025 仁寿县三模）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为　　
A． B．
C． D．
【例12】（2025春 雁塔区月考）已知椭圆的左顶点为，上，下焦点分别为，，直线经过且与交于，两点，若垂直平分线段，且△的周长为，则的方程是　　
A． B． C． D．
【例13】（2024秋 西湖区期末）与椭圆有相同焦点，且长轴长为的椭圆的方程是　　
A． B．
C． D．
【例14】（2024秋 惠山区期末）已知椭圆的两个焦点为，，，，是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是　　
A． B． C． D．
【例15】（2024秋 东莞市期末）已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为　　
A． B． C． D．
【知识点4】椭圆的长轴、短轴、焦距
求解与椭圆几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、长轴长、短轴长、焦距等基本量的内在联系
例1：
【例16】（2025 信阳二模）若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为　　
A． B． C．或 D．或
【例17】（2025 城区模拟）椭圆的一个焦点是，则的值为　　
A．2 B． C．4 D．
【例18】（2025春 荣昌区月考）若边长为整数的正方形的四个顶点均在椭圆上，则的焦距为　　
A．2 B． C． D．
【例19】（2025春 安徽期末）若椭圆的右焦点为，则的长轴长为 　　 ．
【例20】（2025 山西模拟）已知，分别是椭圆的左、右焦点，以线段为直径的圆与椭圆在第一象限交于点，直线的斜率为，则椭圆的长轴长等于　　
A．3 B． C．6 D．
【知识点5】椭圆的离心率
求椭圆离心率的方法
方法一 直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解
方法二 由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解
方法三 构造a，c的齐次式，可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e
注意：解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式，转化为e的关系式．
例1：
【例21】（2025春 崇左期末）椭圆离心率为（　　）
A． B． C． D．
【例22】（2025 武进区模拟）在平面直角坐标系中，为椭圆的右焦点，过的直线与圆切于点，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【例23】（2025 喀什地区三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与交于另一点，若△与△为原点）的面积之比为，则的离心率为　　
A． B． C． D．
【例24】（2024秋 重庆期末）如图所示，四边形是椭圆的内接矩形，当且仅当的斜率为时，矩形的面积最大，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【例25】（2024秋 平和县期末）已知点，是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，点关于的角平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【知识点6】与椭圆几何性质有关的最值问题
与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题的求解策略
．
例1：
【例26】（2025春 安徽月考）已知椭圆的右焦点为，离心率为．若，点是上的任意一点，则的最大值为　　
A． B．6 C． D．
【例27】（2025春 陕西月考）设是椭圆的上顶点，是上的一个动点，当运动到下顶点时，取得最大值，则的离心率的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【例28】（2025春 湖北月考）椭圆上的点到直线的最大距离为　　
A． B． C． D．
【例29】（2024秋 朝阳期末）已知椭圆，的右焦点为，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为　　
A． B．5 C． D．
【例30】（2025 新余模拟）已知是左、右焦点分别为，的椭圆上异于左、右顶点的一点，是线段的中点，是坐标原点，过作的平行线交直线于点，则四边形的面积的最大值为　　
A．2 B． C． D．第42讲椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质
【知识点1】利用椭圆的定义求轨迹方程 3
【知识点2】利用椭圆的定义解决焦点三角形问题 5
【知识点3】椭圆的标准方程 9
【知识点4】椭圆的长轴、短轴、焦距 13
【知识点5】椭圆的离心率 16
【知识点6】与椭圆几何性质有关的最值问题 20
1．椭圆的定义
(1)文字语言：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
(2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a＞|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a＞c＞0，且a，c为常数．
注意：若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a＜|F1F2|，则动点的轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程及简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 短轴长为2b，长轴长为2a
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点
离心率 e＝(0a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
说明：离心率表示椭圆的扁平程度，当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁平；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b＝越大，因此椭圆越接近于圆．
常用结论：
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ．
(1)当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大．
(2)S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sinθ＝b2tan＝c|y0|．
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c．
(4)|PF1|·|PF2|≤＝a2．
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ．
(6)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
【知识点1】利用椭圆的定义求轨迹方程
在求动点的轨迹时，如果能够判断动点的轨迹满足椭圆的定义，那么可以直接求解其轨迹方程
例1：
【例1】（2025 五华区模拟）设点，，△的周长为36，则△的顶点的轨迹方程为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】由题意可知，△的顶点的轨迹是焦点在轴上的椭圆（除去上下顶点），然后结合椭圆定义求出，的值，则椭圆方程可求．
【解答】解：由题意可知，△的顶点的轨迹是焦点在轴上的椭圆（除去上下顶点），
又，，
，则．
△的顶点的轨迹方程为．
故选：．
【例2】（2024秋 绵阳期中）在△中，，，，则顶点的轨迹方程　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据椭圆的定义可知顶点的轨迹是以，为焦点的椭圆（不包括轴上的点），即可得方程．
【解答】解：在△中，，，，
可知顶点的轨迹是以，为焦点的椭圆（不包括轴上的点），
则，即，，可得，
所以顶点的轨迹方程．
故选：．
【例3】（2024秋 余姚市期中）若动点满足方程，则动点的轨迹方程为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据双曲线定义得到点的轨迹方程是以与为焦点的双曲线，得到答案．
【解答】解：由题意得点到点与点的距离之差的绝对值为3，且，
故动点的轨迹方程是以与为焦点的双曲线，
故，，
，
双曲线的方程为．
故选：．
【例4】（2024秋 金台区月考）已知动点满足等式，则点的轨迹方程是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据动点满足等式，得到点的轨迹是以，为焦点的椭圆求解．
【解答】解：动点满足等式，
表示点到点，的距离之和为8，且，
点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
并且，，，
椭圆的方程是．
点的轨迹方程是．
故选：．
【例5】（2024秋 浦东新区期末）到两点、的距离之和为10的点的轨迹方程是　　（写成标准形式）．
【分析】由椭圆定义可得，动点的轨迹为以、为焦点，且长轴为10的椭圆，且得到椭圆的长半轴和半焦距，求出椭圆的短半轴长，代入椭圆标准方程得答案．
【解答】解：由题意可得动点的轨迹为以、为焦点，且长轴为10的椭圆，
，，．
则．
动点的轨迹方程为．
故答案为：．
【知识点2】利用椭圆的定义解决焦点三角形问题
将定义和余弦定理结合使用可以解决焦点三角形的周长和面积问题
【例6】（2025 广西模拟）设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在上，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据椭圆的几何性质，余弦定理，向量中点公式，向量数量积的性质，即可求解．
【解答】解：根据题意可得，，，
设，，与点在上，，
，又，
解得，
，
，
，
．
故选：．
【例7】（2024秋 固始县期末）已知椭圆的两焦点为、，过点且存在斜率的直线与椭圆交于、两点，则的周长为　　
A．16 B．8 C．10 D．20
【答案】
【分析】根据椭圆的定义可得：，，并且，进而得到答案．
【解答】解：根据题意结合椭圆的定义可得：，并且，
又因为，
所以的周长为：．
故选：．
【例8】（2024秋 句容市期末）设椭圆的左、右焦点分别为，，是上的点，，则的离心率为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】如图所示，，把代入椭圆方程可得：，解得，可得．在△中，，可得，进而得出结论．
【解答】解：如图所示，，
把代入椭圆方程可得：，解得，
取，
在△中，，
，
，
化为：，，
，
故选：．
【例9】（2024秋 四川期末）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，，则△的面积等于　　
A．24 B．26 C． D．
【答案】
【分析】由题意的方程可得，的值，进而求出的值，再由椭圆的定义可知，由题意可得，的值，在△中，由勾股定理可得，进而求出三角形的面积．
【解答】解：由椭圆的方程可得，，可得，
可得，，
由，而，所以，，
可得，可得，
所以△的面积等于，
故选：．
【例10】（2025 福州模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，且，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用椭圆的几何定义，及直角三角形勾股定理和余弦定理即可求解．
【解答】解：由椭圆对称性质：
可设：，根据，可得，
再由椭圆的定义可知：，可得，
又由，在△中，由勾股定理可得：，
即，整理可得，
解得，所以有，
在直角△中，．
故选：．
【知识点3】椭圆的标准方程
1．求椭圆方程的常用方法
(1)定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．
(2)待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤
注意：一定先判断椭圆的焦点位置，即先定型后定量．
2．椭圆标准方程的两个应用
(1)椭圆＋＝1(a>0，b>0)与＋＝λ(a>0，b>0，λ>0)有相等的离心率．
(2)与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为＋＝1(a>b>0，k＋b2>0)．恰当选用椭圆系方程，可使运算更简便
【例11】（2025 仁寿县三模）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】由焦距求，利用离心率求，根据，，的关系求，即可得到椭圆的方程．
【解答】解：已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，
设椭圆的标准方程为，焦距为，
由得，
由得，故，
所以该椭圆的方程为．
故选：．
【例12】（2025春 雁塔区月考）已知椭圆的左顶点为，上，下焦点分别为，，直线经过且与交于，两点，若垂直平分线段，且△的周长为，则的方程是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据椭圆的焦点三角形的周长，可得，即可根据椭圆性质可得，即可求解．
【解答】解：椭圆的左顶点为，上，下焦点分别为，，直线经过且与交于，两点，若垂直平分线段，且△的周长为，如图：
由题可知，设，，．连接，，，
因为垂直平分线段，所以，，，
所以△的周长为，可得，
因为，所以，得，从而，
故的方程是．
故选：．
【例13】（2024秋 西湖区期末）与椭圆有相同焦点，且长轴长为的椭圆的方程是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】求椭圆的焦点坐标，确定所求椭圆的焦点位置，结合条件利用待定系数法求椭圆方程．
【解答】解：椭圆的焦点坐标为，
则所求椭圆的焦点在轴上，设其方程为，
可得．
又所求椭圆的长轴长为，即，得，
，则，
所求椭圆的方程是．
故选：．
【例14】（2024秋 惠山区期末）已知椭圆的两个焦点为，，，，是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是　　
A． B． C． D．
【分析】设，，根据，，，利用勾股定理，椭圆的定义，求出，可得，即可求出椭圆的方程．
【解答】解：设，，
，，，
，，
，
，
，
，
，
椭圆的方程是．
故选：．
【例15】（2024秋 东莞市期末）已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据椭圆短轴长和焦距公式进行求解即可．
【解答】解：已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，
则，且焦点在轴上，
则，
则椭圆的标准方程为．
故选：．
【知识点4】椭圆的长轴、短轴、焦距
求解与椭圆几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、长轴长、短轴长、焦距等基本量的内在联系
例1：
【例16】（2025 信阳二模）若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为　　
A． B． C．或 D．或
【答案】
【分析】利用椭圆的离心率列出方程求解即可．
【解答】解：椭圆的离心率为，
可得，或，
解得或，
，或．
故选：．
【例17】（2025 城区模拟）椭圆的一个焦点是，则的值为　　
A．2 B． C．4 D．
【答案】
【分析】根据题设写出椭圆标准形式，有即可求参数值．
【解答】解：由椭圆的一个焦点是，
椭圆标准方程为，且，则．
故选：．
【例18】（2025春 荣昌区月考）若边长为整数的正方形的四个顶点均在椭圆上，则的焦距为　　
A．2 B． C． D．
【答案】
【分析】由题意根据对称性得点在上，代入的方程得，利用椭圆焦距的定义求解即可．
【解答】解：由椭圆的对称性可知，正方形的四个顶点必在直线上，
椭圆在轴上的两顶点间的距离为2，
边长为整数的正方形的四个顶点均在椭圆上，
可得正方形的边长只能为1，因此点在上，代入的方程得，解得，
故，所以的焦距为．
故选：．
【例19】（2025春 安徽期末）若椭圆的右焦点为，则的长轴长为 　　 ．
【答案】．
【分析】由题意可知椭圆的焦点在轴上，且，由椭圆中的平方关系可求得的值，进而可求得长轴长．
【解答】解：因为椭圆的右焦点为，所以，且焦点在轴上，
所以，所以长轴长为．
故答案为：．
【例20】（2025 山西模拟）已知，分别是椭圆的左、右焦点，以线段为直径的圆与椭圆在第一象限交于点，直线的斜率为，则椭圆的长轴长等于　　
A．3 B． C．6 D．
【答案】
【分析】根据直径所对圆周角为和椭圆焦点弦的性质，用椭圆参数表示出直线的斜率，求出结果．
【解答】解：因为在以为直径的圆上，所以，
设，由直线的斜率为，得，可得，，
设，则有，．
由椭圆定义可得，即，即．
代入，得，解得，
故椭圆的长轴长为6．
故选：．
【知识点5】椭圆的离心率
求椭圆离心率的方法
方法一 直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解
方法二 由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解
方法三 构造a，c的齐次式，可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e
注意：解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式，转化为e的关系式．
例1：
【例21】（2025春 崇左期末）椭圆离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据椭圆方程确定椭圆参数，应用直接法求离心率．
【解答】解：根据题意可知，椭圆方程为：，
则，则离心率．
故选：C．
【例22】（2025 武进区模拟）在平面直角坐标系中，为椭圆的右焦点，过的直线与圆切于点，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】将点代入圆的方程求出，然后根据圆的切线的性质列式求出，结合求出，进而可得椭圆的离心率．
【解答】解：设点，由题意得，且，
根据，，可得，解得，
所以，椭圆的离心率．
故选：．
【例23】（2025 喀什地区三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与交于另一点，若△与△为原点）的面积之比为，则的离心率为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据题意易得，可得，进而设，列方程求解即可．
【解答】解：如图，
由题意，，，
所以，则，则，
设，由，，则，，
则，解得，，即，
因为点在椭圆上，所以，化简得，
所以．
故选：．
【例24】（2024秋 重庆期末）如图所示，四边形是椭圆的内接矩形，当且仅当的斜率为时，矩形的面积最大，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】不妨设，其中，利用二倍角的正弦公式可求得矩形面积的最大值及其对应的的值，可得出点的坐标，根据直线的斜率可得出的值，由此可得出该椭圆的离心率的值．
【解答】解：四边形是椭圆的内接矩形，
不妨设，其中，
则矩形的面积为，
因为，则，故当时，即当时，取最大值，
此时点，则，
所以，，故该椭圆的离心率为．
故选：．
【例25】（2024秋 平和县期末）已知点，是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，点关于的角平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据角平分线的对称性以及椭圆的性质，建立方程，表示出焦半径，利用余弦定理，结合齐次方程的思想，可得答案．
【解答】解：由图可知：，
由平分，则，
所以，
由，则解得，
由是关于直线的对称点，则，，共线，
，，，
所以，
在△中，，
可得，
解得，，
在△中，由余弦定理，
可得，
代入可得：，
化简可得：，所以其离心率．
故选：．
【知识点6】与椭圆几何性质有关的最值问题
与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题的求解策略
．
例1：
【例26】（2025春 安徽月考）已知椭圆的右焦点为，离心率为．若，点是上的任意一点，则的最大值为　　
A． B．6 C． D．
【答案】
【分析】设的左焦点为，先得半焦距的值，从而由离心率得的值，根据椭圆的定义可得所求．
【解答】解：已知椭圆的右焦点为，离心率为．
设的左焦点为，半焦距为，
由题意得，，
所以，
由椭圆的定义得：，
所以，
当点为线段的延长线与的交点时取等号，
故的最大值为．
故选：．
【例27】（2025春 陕西月考）设是椭圆的上顶点，是上的一个动点，当运动到下顶点时，取得最大值，则的离心率的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】设，，由，求出消元可得，，再根据以及二次函数的性质可知，，即可解出．
【解答】解：设，，，
因为，所以，
由题意知当时，取得最大值，所以，可得，即．
故选：．
【例28】（2025春 湖北月考）椭圆上的点到直线的最大距离为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】设椭圆上的一动点，由点到直线距离公式结合三角函数知识可得答案．
【解答】解：根据是椭圆上的动点．
可设，，
根据点到直线的距离公式可得，
因为，所以，
因此，所以最大距离．
故选：．
【例29】（2024秋 朝阳期末）已知椭圆，的右焦点为，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为　　
A． B．5 C． D．
【答案】
【分析】根据椭圆的定义，将转化为，当，，三点共线时，取最大值即，再利用两点距离公式就可求解．
【解答】解：如图，
设椭圆的左焦点为，由椭圆定义可得，，
所以
．
故选：．
【例30】（2025 新余模拟）已知是左、右焦点分别为，的椭圆上异于左、右顶点的一点，是线段的中点，是坐标原点，过作的平行线交直线于点，则四边形的面积的最大值为　　
A．2 B． C． D．
【答案】
【分析】作出图形，由几何关系易判断，求出，进而得解．
【解答】解：如图，因为为线段的中点，为中点，所以为△中位线，
，又因为，
所以四边形为平行四边形，，
由几何关系易得，设，
则，
又，当且仅当时，，
所以．
故选：．

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