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浙教版九年级上 第1章 二次函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列函数中，y是x的二次函数的是（　　）
A．y=4x B．y=2x-1 C．y=x2-3 D．
2．将抛物线y=x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的新抛物线的表达式为（　　）
A．y=（x+1）2+2 B．y=（x+2）2+1 C．y=（x+2）2-1 D．y=（x-1）2+2
3．若y=mx2+nx-p（其中m,n,p是常数）为二次函数，则（　　）
A．m,n,p均不为0 B．m≠0，且n≠0
C．m≠0 D．m≠0，或p≠0
4．若二次函数y=x2-6x+m的图象经过A（-1，a），B（2，b），C（4.5，c）三点，则a、b、c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞c＞b
5．若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是（　　）
A． B． C． D．
6．已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于点A（-2，3），B（8，2），则能使y1＜y2成立的x的取值范围是（　　）
A．x＜-2 B．-2＜x＜8 C．x＜-2或x＞8 D．x＞-2或x＜8
7．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1，顶点的纵坐标为，以下说法错误的是（　　）
A．abc＜0
B．x≤-1时，y的值随x值的增大而减小
C．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0有实数根，则
D．3a+c＜0
8．已知点P为抛物线C：上一点，在透明胶片上描画出包含点P的抛物线C的一段，向上平移该胶片得到点P′和抛物线C'，如图所示，已知抛物线C′的顶点D的纵坐标为，且DP=DP'，则平移得到的点P′的纵坐标为（　　）
A． B． C． D．
9．已知点A（2，c），B（b,n），D（1，d）都在二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象上．则下列结论正确的是（　　）
A． B．a-b＜0 C．d-n＞0 D．n-c＞0
10．在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2-a的图象和一次函数y=ax-a的图象大致为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，某数学小组发现滨江生态公园有一座假山的局部（阴影部分）的主视图呈现抛物线形状，以点O为原点建立平面直角坐标系（坐标系上1个单位长度表示1m），假山轮廓所在的抛物线的解析式为y1=-x+4.8（x≥0），其中OB垂直于水平地面OC，在点B处安装一喷水口，若向上喷出的水柱恰好为抛物线y2=ax2+bx+c（x≥0），落水点恰好为点C．下列说法不一定正确的是（　　）
A．假山上的点B到水平地面的距离为4.8m
B．水平方向上OC的长度为16m
C．
D．抛物线与的对称轴相同
12．抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（-1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于点C，顶点为D．下列结论：①2a+b=0；②2c＜3b；③当m为任意实数时，a+b＜am2+bm；④方程cx2+bx+a=0的两个根为x1=-1，x2=：⑤抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＜y2．其中正确的有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共5小题）
13．已知点P（0，m2-4），Q（m,0），若线段PQ与抛物线y=x2+3x-4恰有一个交点，则m的取值范围是______．
14．我们把a,b,c三个数的中位数记作Z{a,b,c}，直线y=kx+（k＞0）与函数y=Z{x2-1，x+1，-x+1}的图象有且只有2个交点，则k的取值为______．
15．关于x的二次函数y=-3x2+（2-a）x+5，其图象在y轴左侧部分，y随x的增大而增大，且使得关于y的分式方程有非负数解的所有整数a的值之和______．
16．如图，二次函数y=（x+m）2+k的图象与x轴交于A、B两点，顶点E的坐标为（-1，-4），线段BE与y轴交于点C（0，-2），连接AC、AE．点F是抛物线上任意一点，若△FAE的面积与△ACE的面积相等，则点F的坐标为 ______．
17．抛物线y=-x2+nx+m交x轴于点A（a,0）和B（b,0），交y轴于点C，顶点为点D，将其向左平移一个单位长度后图象关于y轴对称．下列四个命题，其中真命题的序号是 ______；
①a+b=2；
②对于任意实数t,总有-t2+nt＜-1+n；
③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；
④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长的最小值为6．
三．解答题（共5小题）
18．如图，抛物线顶点坐标为（1，4），交y轴于点C（0，3），交x轴于A、B两点连接AC，BC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点M为抛物线在x轴下方上一点，若△MAB与△CBA面积相等，请求出点M的坐标．
19．如图，点A是y轴上的点，线段AB∥x轴，M是OA的中点，连接BM并延长交x轴于点C，二次函数y=ax2-2ax+4的图象经过A，B，C的三点，与x轴的另一交点为D．
（1）点A的坐标为______，点B的坐标为______；
（2）求二次函数的表达式；
（3）在线段CD上有动点P（不与C，D重合），过P作PE⊥x轴交直线BC于E，以PE为边在PE的右侧作正方形PEFG，当点F在抛物线上时，求点P的坐标．
20．如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次图象交于y轴上的一点B，二次函数的顶点C在x轴上，且OC=2．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数图象另一交点为D．
①在抛物线上是否存在点P，使△BCD面积与△BDP面积相等．
②已知P为x轴上一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P坐标．
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=1对称，且与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线AC的解析式为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为直线AC上方的抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴于点M，交直线AC于点Q，求四边形AOCP面积的最大值及此时P点的坐标．
22．（2025 合肥二模）如图，抛物线C1：y=ax2-2x-3与抛物线关于y轴对称，抛物线C2与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）在抛物线C2第三象限的图象上有一点D，作DF⊥x轴于F，交AC于点E，连接CD，若点E关于CD的对称点E'恰好落在y轴上，求点D的坐标；
（3）点P是抛物线C1上的动点，点Q是抛物线C2上的动点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P、Q两点的坐标（直接写出答案即可）．
浙教版九年级上 第1章 二次函数 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、C 2、D 3、C 4、D 5、C 6、B 7、D 8、D 9、D 10、D 11、D 12、B
二．填空题（共5小题）
13、m=0或m≥1或m≤-4； 14、＜k≤1或k=； 15、-9； 16、（-2+，2-2）或（-2-，2+2）； 17、①③；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）∵抛物线顶点坐标为（1，4），
∴可设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+4，
把C（0，3）代入得a=-1，
∴y=-（x-1）2+4；
（2）令y=0，
则-（x-1）2+4=0，
解得x1=-1，x2=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴，
∴，
解得yM=±3，
∵点M在x轴下方，
∴yM=-3，
∴-（x-1）2+4=-3，
解得，，
∴满足条件的点M的坐标为，．
19、解：（1）如图1中，
对于抛物线y=ax2-2ax+4，令x=0得y=4，∴A（0，4），
对称轴x=-=1，
∵AB∥x轴，
∴A、B关于对称轴对称，
∴B（2，4），AB=2，
故答案为（0，4），（2，4）．
（2）∵AB∥OC，
∴∠ABM=∠OCM，
在△ABM和△OCM中，
，
∴△ABM≌△OCM，
∴OC=AB=2，
∴C（-2，0），
把C（-2，0）代入y=ax2-2ax+4得
4a+4a+4=0，
∴a=-，
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+4．
（3）如图2中，设P（m,0）．
∵C（-2，0），B（2，4），
∴直线BC的解析式为y=x+2，
∴E（m,m+2），
∵四边形EFGP是正方形，
∴PE=EF=PG=FG=m+2，
∴F（2m+2，m+2），
∵点F在抛物线上，
∴m+2=-（2m+2）2+2m+2+4，
整理得到2m2+3m-2=0，
解得m=或-2（舍弃），
∴点P坐标（，0）．
20、解：（1）∵y=0.5x+2交x轴于点A，
∴0=0.5x+2，
∴x=-4，
与y轴交于点B，
∵x=0，
∴y=2
∴B点坐标为：（0，2），
∴A（-4，0），B（0，2），
∵二次函数的顶点C在x轴上，且OC=2，
∴可设二次函数y=a（x-2）2或y=a（x+2）2
把B（0，2）代入得：a=0.5
∴二次函数的解析式：y=0.5x2-2x+2或y=0.5x2+2x+2（对称轴在y轴左侧，舍去）；
（2）①如图，
当点P在直线AB下方时，
由（1）知，直线AB解析式为y=0.5x+2，
过点C作CP'∥AB，
∵C（2，0），
∴直线CP'的解析式为y=0.5x-1①，
∵抛物线的解析式：y=0.5x2-2x+2②，
联立①②得，（舍）或，
∴P'（3，0.5）；
当点P在直线AB上方时，
过点C作直线CE⊥AB于E，并延长，
∵直线AB解析式为y=0.5x+2③，C（2，0）
∴直线CE解析式为y=-2x+4④，
联立③④得，E（0.8，2.4），
∴点C关于直线AB的对称点H（-0.4，4.8），
过点H作MH∥AB，
∴直线HM解析式为y=0.5x+5⑤，
联立②⑤得，或，
∴P（-1，4.5）或（6，8），
即：使△BCD面积与△BDP面积相等的点P的坐标为（3，0.5），（-1，4.5），（6，8）；
②（Ⅰ）如图1，
当B为直角顶点时，过B作BP1⊥AD交x轴于P1点
由Rt△AOB∽Rt△BOP1
∴，
∴，
得：OP1=1，
∴P1（1，0），
（Ⅱ）如图2，
作P2D⊥BD，连接BP2，
将y=0.5x+2与y=0.5x2-2x+2联立求出两函数交点坐标：
D点坐标为：（5，4.5），
则AD=，
当D为直角顶点时
∵∠DAP2=∠BAO，∠BOA=∠ADP2，
∴△ABO∽△AP2D，
∴，
∴，
解得：AP2=11.25，
则OP2=11.25-4=7.25，
故P2点坐标为（7.25，0）；
（Ⅲ）如图3，
当P为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于点E，设P3（a,0）
则由Rt△OBP3∽Rt△EP3D
得：，
∵方程无解，
∴点P3不存在，
∴点P的坐标为：P1（1，0）和P2（7.25，0）．
21、解：（1）当x=0时，y=2，当y=0时，，
解得x=4，
∴C（0，2），A（4，0），
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴B（-2，0），
设y=a（x+2）（x-4），把C（0，2）代入，得：2=-8a,
∴，
∴；
（2）由题意可得：OA=4，OC=2，
∴，
设点，则：，
∴，
∴，
∴四边形AOCP的面积=，
∴当m=2时，四边形AOCP的面积最大为6，此时：P（2，2）．
22、解：（1）∵C1、C2关于y轴对称，
∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，
∴a=1，n=-3，
∴C1的对称轴为x=1，
∴C2的对称轴为x=-1，
∴m=2，
∴C1的函数表示式为y=x2-2x-3，C2的函数表达式为y=x2+2x-3；
在C2的函数表达式为y=x2+2x-3中，令y=0可得x2+2x-3=0，
解得x=-3或x=1，
∴A（-3，0），B（1，0）；
（2）∵点E、E′关于直线PD对称，
∴∠EPD=∠E′PD，DE=DE′，PE=PE′．
∵PE平行于y轴，
∴∠EPD=∠PDE′，
∴∠E′PD=∠PDE′，
∴PE′=DE′，
∴PE=DE=PE′=DE′，
即四边形PEDE′是菱形．
当四边形PEDE′是菱形存在时，由直线AD解析式y=-x-3，∠ADO=45°，
设P（a,a2+2a-3），E（a,-a-3），
∴DE=-a,PE=-a-3-a2-2a+3=-a2-3a,
∴-a2-3a=-a,
解得a1=0（舍去），a2=，
∴P（，2-4）；
（3）存在．
∵AB的中点为（-1，0），且点G在抛物线C1上，点Q在抛物线C2上，
当AB为平行四边形的一边时，
∴GQ∥AB且GQ=AB，
由（2）可知AB=1-（-3）=4，
∴GQ=4，
设G（t,t2-2t-3），则Q（t+4，t2-2t-3）或（t-4，t2-2t-3），
①当Q（t+4，t2-2t-3）时，则t2-2t-3=（t+4）2+2（t+4）-3，
解得t=-2，
∴t2-2t-3=4+4-3=5，
∴G（-2，5），Q（2，5）；
②当Q（t-4，t2-2t-3）时，则t2-2t-3=（t-4）2+2（t-4）-3，
解得t=2，
∴t2-2t-3=4-4-3=-3，
∴G（2，-3），Q（-2，-3），
当AB为平行四边形的对角线时，设P（m,m2-2m-3），Q（n,n2+2n-3），
则-3+1=m+n且-m2+2m+3=n2+2n-3，
解得m=，n=-2-或m=-，n=-2+，
∴P（，-2），Q（-2-，2）或P（-，2），Q（-2+，-2），
综上可知，存在满足条件的点P、Q，其坐标为P（-2，5），Q（2，5）或P（2，-3），Q（-2，-3）或P（，-2），Q（-2-，2）或P（-，2），Q（-2+，-2）．

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