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(共62张PPT)
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
探究点一 向量的数乘运算
探究点二 向量共线的判定及应用
探究点三 三点共线的判定及应用
探究点四 线段定比分点的坐标及应用
【学习目标】
1.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的数乘运算.
2.能用坐标表示平面向量共线的条件.
知识点一 平面向量数乘运算的坐标表示
设，则________ ,即实数与向量的积的坐标等
于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）已知向量，，，若 ，
则，的值分别为 ,2.( )
√
[解析] 由解得
（2）已知向量，的坐标分别是， ，则
， ．( )
√
知识点二 平面向量共线的坐标表示
设,,其中，则向量, 共线的充要条件是
_______________.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）若向量，，且，则 .( )
×
（2）若向量，，且 ，则
.( )
×
（3）已知，，且，，三点共线，则 点的坐标可
能是 .( )
√
（4）已知向量，，则 .( )
√
探究点一 向量的数乘运算
例1 已知， ，求：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： ．
（3） .
解： .
变式（1） 若向量，，，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 设 ，
即，则
解得所以 .故选B.
√
[解析] ，，， ，
， ，
，
.
（2）已知三点，，，则 ______
____， __________.
［素养小结］
向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则及数乘运算法则进行，
解题时要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
探究点二 向量共线的判定及应用
例2（1） 下列各组向量是平行向量的有____.（填序号）
①， ；
②， ；
③， ；
④， .
①
[解析] ， .②
，， 不平行.③
，， 不平行.④
，， 不平行.故填①.
（2）已知，，当为何值时，与
平行？平行时它们是同向还是反向？
解：方法一： ，
，当与 平行时，
存在唯一的实数 ，使 .
由，得
解得，与 反向.
方法二：由题知， ，
与平行， ，
解得，
，故与 反向.
变式（1） [2024·哈尔滨九中高一月考]下列向量中与 共
线的是( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A， ，所以不共线，A错误；
对于B， ，所以共线，B正确；
对于C， ，所以不共线，C错误；
对于D， ，所以不共线，D错误.故选B.
√
（2）已知向量,,．若，则 ___.
[解析] ， ，
，解得 .
［素养小结］
向量， 共线的判定方法
（1）利用向量共线定理，由推出 .
（2）利用向量共线的坐标表达式 直接求解．
拓展 已知直角坐标平面上的四点，，， ，
求证：四边形 是梯形.
证明：由已知得 ，
，，
与共线．
，，
， 与不共线，
四边形 是梯形．
探究点三 三点共线的判定及应用
例3（1） 已知，，，求证： ，
， 三点共线.
证明：， ，
，即与共线，
又与有公共点，，， 三点共线．
（2）设向量，，，当 为何值
时，，， 三点共线？
解：若，，三点共线，则， 共线，
， ，
，解得或 .
变式 [2024·厦门外国语学校高一月考] 在平面直角坐标系中，已知
,,，若，， 三点能构成三
角形，则实数 的取值范围为_________________.
[解析] 若，，三点能构成三角形，则与 不共线，由题知
.
若与共线，则有 ，解得，
所以若与不共线，则，
故实数 的取值范围为 .
［素养小结］
三点共线的条件以及判定方法
（1）已知，，三点共线时可转化为 ，利用向量共线的
条件求解．
（2）利用两个非零向量平行证明三点共线时需分两步完成：
①证明两个非零向量平行；②证明两个非零向量有公共点．
探究点四 线段定比分点的坐标及应用
例4（1） 已知点，，点是线段 的一个三等分点，
求点 的坐标.
解：因为点是线段的一个三等分点，所以 或
，
设，则或解得或
所以点的坐标为或 .
（2）已知的三个顶点为，，．若 为
的重心，求 的坐标．
解：方法一：设为 边的点，则即，
.
为的重心， .
方法二：设，为 的重心，
即， .
变式（1） 在直角坐标系中，已知点和点 ，若点
在的平分线上，且，则 的坐标为_ ___________.
[解析] 连接,设射线与交于点,, ,
,则即 ,
又, .
（2）已知在中，点，， ．
①若四边形为平行四边形，求点 的坐标；
解：设，由可得，解得 ，
，所以点的坐标为 .
②若在边上，且，求 的坐标.
解：设，因为，所以 ，
则， ，
所以 .
［素养小结］
涉及定比分点或者线段相关比例问题的两种思路：
（1）利用向量共线定理列方程组求解；
（2）利用定比分点坐标公式求解．
三点共线问题
（1）若,,,则,, 三点共线的条件为
.
（2）若已知三点,, ,则判断其是否共线可采
用以下两种方法:
①直接利用上述条件,计算 是
否为0.
②任取两点构成向量,计算出两向量如, ,再通过两向量共线的充
要条件进行判断.
1.向量共线的坐标表示
当两个向量用坐标表示时,即, ,则
,而不能盲目使用 .
例1 如图所示，在四边形中，已知点 ，
，，求和的交点 的坐标．
解：方法一：由，， 三点共线，可设
，
则 ， ．
由与共线得 ，
解得，所以 ，
所以点的坐标为 ．
方法二：设，则，因为 ，
且与共线，所以，即 .
因为，，且与 共线，
所以 ，
联立①②解得 ，
所以点的坐标为 ．
2.几个结论:
（1）线段中点坐标公式:设,,则线段 的中点坐标
是 .
（2）已知的三个顶点,,,则 的
重心坐标为 .
（3）定比分点坐标公式：若, ,且
,则 .
例2 已知的三个顶点分别为，， ，
的平分线交边于点，求点 的坐标.
解：由题知，平分，，， ，
, ，
由角平分线定理可知， .
设点的坐标为 ，
则， ，
故点的坐标为 .
练习册
一、选择题
1.已知平面向量，，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] ， ，
.
故选A.
√
2.与向量 平行的单位向量为( )
A. B.
C. D.或
[解析] 因为，所以 ，所以与向量
平行的单位向量为 或
.故选D.
√
3.已知向量，，，若， ，
三点共线，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] ，因为A，C，D三点共线，所以
与共线，所以，解得 .故选D.
√
4.已知向量,，若 ，则( )
A. B. C. D.
[解析] 因为,，所以 ，
，又 ，所以
，化简可得 .故选A.
√
5.向量，，， 在正方形网格中的位置如
图所示，若，则
( )
A.3 B. C. D.
[解析] 设，，则由题图可知 ,
，， ，
则 .故选D.
√
6.已知向量,,且向量与平行，则 的
值为( )
A. B. C. D.2
[解析] 因为向量,,且向量与 平行，所以
,即 ．故选D.
√
7.如图，在直角梯形中， ，
，，，动点 在
边 上（不包括端点），且满足
，均为正数，则 的最
小值为( )
A.1 B. C. D.
√
[解析] 如图，以A为原点， 所在直线为轴，
所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，
则，， ，，
则， ， ，
设 ，则
.
因为 ，所以
消去 ，得 .
因为， ，所以
，
当且仅当，即 时等号成立.
故的最小值为 .故选D.
8.（多选题）[2024·沧州高一期中] 已知点，， ，
则下列结论正确的是( )
A. 是直角三角形
B.若点，则四边形 是平行四边形
C.若，则
D.若，则
√
√
√
[解析] 由题知，，所以 ，则
，所以是直角三角形，A正确.
若点 ，则,所以，则四边形 是平行四边形，
B正确.
若，则，C错误.
若，则B是 的中点，所以，D正确.故选 .
9.（多选题）若，且是线段 的一个三等分点，则
点 的坐标可能为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得或， ，设
，则.
当 时，,所以,，即 ；
当时，,所以, ，即
.故选 .
√
√
二、填空题
10.已知向量，，若与平行，则 的值是__.
[解析] 向量，， ，又
与平行，，解得 .
11.[2024·辽宁丹东高一期末] 已知点,, ，若
，与交于点，则点 的坐标为______.
[解析] 设,，则 ,由题得
,因为，所以 ，所以
解得即.
因为 ，所以,所以,
所以 ,则，
所以解得 故点的坐标为 .
12.若 ,是平面内一个基底，向量 ，则
称为向量 在基底 ,下的坐标.现已知向量在基底,
，下的坐标为，则在另一个基底 ,
下的坐标为______.
[解析] 由已知得 .
设 ，则
解得
在基底{,}下的坐标为 ．
三、解答题
13.已知向量，， .
（1）求与 共线的单位向量；
解：根据题意，向量，，则 .
设与共线的单位向量为，且 ，
则有，解得，故 或
.
（2）求满足的实数， 的值；
解：由，得 ，则有
解得
（3）若，求实数 的值.
解：根据题意，， ，由
，得，解得 .
14.已知的三个顶点分别为,,， 为边
上一点.
（1）若为边的中点，求 的坐标；
解：因为,，所以 ，
又为边 的中点，所以 .
（2）若为边的三等分点，求线段 的长；
解：因为,，所以 .
当为靠近的三等分点时， ，则
，所以
；
当为靠近的三等分点时， ，则
，
所以 .
综上，线段的长为或 .
（3）当取得最小值时，求 的值.
解：设， ，则
，
所以 ，
由二次函数的性质可知，当时， 取得最小值，
即取得最小值，此时 .
15.[2024·人大附中高一月考] 已知向量 ,
，则集合,, }中的所有元素之
和为___.
0
[解析] 因为，, ，
所以 ，
整理得，
又因为 ，所以 ，
所以，所以，所以 ，
或，.
当， 时，可得，所以;
当，时，可得 ，所以.
综上所述,集合,, }中的所有元素之和为0.
16.已知点，，，点满足 .
（1）若点在第一象限，求 的取值范围.
解： ，
若点在第一象限，则解得，
故 的取值范围为 .
（2）四边形能否成为平行四边形？若能，求出相应的 值；若
不能，请说明理由.
解：若四边形是平行四边形，则 ，
， ，
该方程组无解，故四边形 不能成为平行四边形.6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示
【课前预习】
知识点一
(λx,λy)
诊断分析
(1)√　(2)√　[解析] (1)由解得
知识点二
x1y2-x2y1=0
诊断分析
(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1)=(-2,4)+(6,3)=(4,7).
(2)a-3b=(-1,2)-3(2,1)=(-1,2)-(6,3)=(-7,-1).
(3)a-b=(-1,2)-(2,1)=-=.
变式　(1)B　(2)(11,13)　(-7,-14)　[解析] (1)设c=xa+yb,即(2,-1)=x(1,1)+y(-1,1)=(x-y,x+y),则解得所以c=a-b.故选B.
(2)∵A(2,-1),B(3,4),C(-2,0),∴=(1,5),=(4,-1),=(-5,-4),∴3+2=3(1,5)+2(4,-1)=(3+8,15-2)=(11,13),-2=(-5,-4)-2(1,5)=(-5-2,-4-10)=(-7,-14).
探究点二
例2　(1)①　[解析] ①∵×(-3)-×(-2)=-+=0,∴a∥b.②∵0.5×64-4×(-8)=32+32=64≠0,∴a,b不平行.③∵2×4-3×3=8-9=-1≠0,∴a,b不平行.④∵2×2-3×=4+4=8≠0,∴a,b不平行.故填①.
(2)解:方法一:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),当ka+b与a-3b平行时,存在唯一的实数λ,使ka+b=λ(a-3b).由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),得解得∵λ=-<0,∴ka+b与a-3b反向.
方法二:由题知ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),∵ka+b与a-3b平行,∴(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,解得k=-,∴ka+b==-(a-3b),故ka+b与a-3b反向.
变式　(1)B　(2)0　[解析] (1)对于A,2×-×(-3)=2≠0,所以不共线,A错误;对于B,2×1-×(-3)=0,所以共线,B正确;对于C,2×-(-1)×(-3)=-6≠0,所以不共线,C错误;对于D,2×2-1×(-3)=7≠0,所以不共线,D错误.故选B.
(2)c=2a+kb=(k-6,3k+2),∵a∥c,∴-3(3k+2)-(k-6)=0,解得k=0.
拓展　证明:由已知得=(4,3)-(1,0)=(3,3),=(0,2)-(2,4)=(-2,-2),∵3×(-2)-3×(-2)=0,∴与共线.=(0,2)-(1,0)=(-1,2),=(2,4)-(4,3)=(-2,1),∵(-1)×1-2×(-2)≠0,∴与不共线,∴四边形ABCD是梯形.
探究点三
例3　解:(1)证明:∵=-=(4,8),=-=(6,12),∴=,即与共线,又与有公共点A,∴A,B,C三点共线.
(2)若A,B,C三点共线,则,共线,∵=-=(4-k,-7),=-=(10-k,k-12),∴(4-k)(k-12)+7(10-k)=0,解得k=-2或k=11.
变式　(-∞,2)∪(2,+∞)　[解析] 若A,B,C三点能构成三角形,则与不共线,由题知=(-3,m+1).若与共线,则有-3(m-1)=-1(m+1),解得m=2,所以若与不共线,则m≠2,故实数m的取值范围为(-∞,2)∪(2,+∞).
探究点四
例4　解:(1)因为点P是线段AB的一个三等分点,所以=2或=,
设P(x,y),则或解得或
所以点P的坐标为或.
(2)方法一:设D(x,y)为BC边的点,
则即D(1,3),∴=(1,3)-(2,1)=(-1,2).
∵G为△ABC的重心,∴==(-1,2)=.
方法二:设G(x0,y0),∵G为△ABC的重心,
即G,∴=-(2,1)=.
变式　(1)　[解析] 连接AB,设射线OC与AB交于点D(x,y),∵||=1,||=5,∴=5,则即∴=,又∵||=2,∴==.
(2)解:①设D(x,y),由=可得(x-2,y-1)=(4,2),解得x=6,y=3,所以点D的坐标为(6,3).
②设M(x0,y0),因为S△ABM=2S△ACM,所以 =2,则x0==,y0==,
所以==.6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示
1.A　[解析] ∵a=(1,2),b=(-2,-4),∴2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8).故选A.
2.D　[解析] 因为a=(1,1),所以|a|==,所以与向量a=(1,1)平行的单位向量为=(1,1)=或-=-(1,1)=.故选D.
3.D　[解析] =+=(4,m+6),因为A,C,D三点共线,所以与共线,所以4×2m=-(m+6),解得m=-.故选D.
4.A　[解析] 因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a-μb=(1-μ,1+μ),a+λb=(1+λ,1-λ),又(a+λb)∥(a-μb),所以(1-λ)(1-μ)=(1+λ)(1+μ),化简可得λ+μ=0.故选A.
5.D　[解析] 设e1=(1,0),e2=(0,1),则由题图可知 a-b=(1,-3),∵a-b=λe1+μe2=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ),∴ λ=1,μ=-3,则=-.故选D.
6.D　[解析] 因为向量a=(1,2),b=(cos θ,sin θ),且向量a与b平行,所以1·sin θ-2·cos θ=0,即tan θ=2.故选D.
7.D　[解析] 如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,0),D(0,4),C(1,4),则=(4,0),=(0,4),=(-3,4),设=λ=(-3λ,4λ)(λ∈(0,1)),则=+=(4-3λ,4λ).因为=m+n=(4m,4n),所以消去λ,得m+n=1.因为m>0,n>0,所以+==1+++≥+2=,当且仅当m=n,即时等号成立.故+的最小值为.故选D.
8.ABD　[解析] 由题知=(2,0),=(0,-1),所以·=0,则⊥,所以△ABC是直角三角形,A正确.若点D(4,1),则=(2,0),所以=,则四边形ACDB是平行四边形,B正确.若=+=(4,1),则P(4,1),C错误.若=2,则B是AP的中点,所以P(4,2),D正确.故选ABD.
9.BC　[解析] 由题意得=或=,=(3,-3),设P(x,y),则=(x-1,y-3).当=时,(x-1,y-3)=(3,-3),所以x=2,y=2,即P(2,2);当=时,(x-1,y-3)=(3,-3),所以x=3,y=1,即P(3,1).故选BC.
10.　[解析] ∵向量a=(2,1),b=(3,m),∴2a-b=(1,2-m),又2a-b与b平行,∴3(2-m)-m=0,解得m=.
11.(1,4)　[解析] 设C(x,y),M(x1,y1),则=(x-3,y-2),由题得=(1,4),因为=2,所以(x-3,y-2)=2(1,4),所以解得即C(5,10).因为=2,所以△DMA∽△BMC,所以==,所以=,则(x1+1,y1-1)=(6,9)=(2,3),所以解得故点M的坐标为(1,4).
12.(0,2)　[解析] 由已知得a=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4).设a=λm+μn=λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ),则解得∴a在基底{m,n}下的坐标为(0,2).
13.解:(1)根据题意,向量a=(1,2),b=(-1,3),则6a+b=(5,15).设与6a+b共线的单位向量为e,且e=t(6a+b)=(5t,15t)(t∈R),则有25t2+225t2=1,解得t=±,故e=或.
(2)由c=ma+nb,得(4,3)=m(1,2)+n(-1,3),则有解得
(3)根据题意,a+kc=(1+4k,2+3k),b-a=(-2,1),由(a+kc)∥(b-a),得1+4k+2(2+3k)=0,解得k=-.
14.解:(1)因为A(-5,0),B(3,-3),所以=(8,-3),
又D为边AB的中点,
所以==(8,-3)=.
(2)因为A(-5,0),C(0,2),所以=(-5,-2).
当D为靠近A的三等分点时,==(8,-3)=,则=+=(-5,-2)+=,所以||==;
当D为靠近B的三等分点时,==(8,-3)=,则=+=(-5,-2)+=,所以||==.
综上,线段CD的长为或.
(3)设=λ=(8λ,-3λ),0≤λ≤1,则=+=(-5,-2)+(8λ,-3λ)=(8λ-5,-3λ-2),
所以=(8λ-5)2+(-3λ-2)2=73λ2-68λ+29,
由二次函数的性质可知,当λ=-=时,取得最小值,即||取得最小值,此时=λ=.
15.0　[解析] 因为m∥n,m=(a+cos x,1),n=(-1,a+cos y),所以(a+cos x)(a+cos y)-1×(-1)=0,整理得a2+a(cos x+cos y)+cos xcos y+1=0,又因为a∈R,所以Δ=(cos x+cos y)2-4(cos xcos y+1)≥0,所以(cos x-cos y)2-4≥0,所以|cos x-cos y|≥2,所以cos x=1,cos y=-1或cos x=-1,cos y=1.当cos x=1,cos y=-1时,可得a2=0,所以a=0;当cos x=-1,cos y=1时,可得a2=0,所以a=0.综上所述,集合{a∈R| x,y∈R,m∥n}中的所有元素之和为0.
16.解:(1)=+t=(2,1)+t(4,3)=(4t+2,3t+1),
若点P在第一象限,则解得t>-,故t的取值范围为.
(2)若四边形OABP是平行四边形,则=,
∵=(4t+2,3t+1),=(2,2),
∴该方程组无解,故四边形OABP不能成为平行四边形.6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示
【学习目标】
　　1.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的数乘运算.
　　2.能用坐标表示平面向量共线的条件.
◆ 知识点一　平面向量数乘运算的坐标表示
设a=(x,y),则λa=　　　　(λ∈R),即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),若c=λ1a+λ2b,则λ1,λ2的值分别为-1,2. (　 )
(2)已知向量a,b的坐标分别是(-1,2),(3,-5),则3a=(-3,6),2a+3b=(7,-11). (　 )
◆ 知识点二　平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则向量a,b共线的充要条件是　　　　　　　　.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a∥b,则=. (　 )
(2)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且x1y1-x2y2=0,则a∥b. (　 )
(3)已知A(1,-3),B,且A,B,C三点共线,则C点的坐标可能是(9,1). (　 )
(4)已知向量a=(-2,4),b=(1,-2),则a=-2b. (　 )
◆ 探究点一　向量的数乘运算
例1 已知a=(-1,2),b=(2,1),求:
(1)2a+3b;(2)a-3b;(3)a-b.
变式 (1)若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(2,-1),则c=(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.-a+b B.a-b
C.-a-b D.a+b
(2)已知三点A(2,-1),B(3,4),C(-2,0),则3+2=　　　　,-2=　　　　.
[素养小结]
向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则及数乘运算法则进行,解题时要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
◆ 探究点二　向量共线的判定及应用
例2 (1)下列各组向量是平行向量的有　　　　.(填序号)
①a=,b=(-2,-3);
②a=(0.5,4),b=(-8,64);
③a=(2,3),b=(3,4);
④a=(2,3),b=.
(2)已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行 平行时它们是同向还是反向
变式 (1)[2024·哈尔滨九中高一月考] 下列向量中与a=(2,-3)共线的是 (　 )
A. B.
C. D.(1,2)
(2)已知向量a=(-3,1),b=(1,3),c=2a+kb.若a∥c,则k= 　　　　.
[素养小结]
向量a=(x1,y1),b=(x2,x2)共线的判定方法
(1)利用向量共线定理,由a=λb(b≠0)推出a∥b.
(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.
拓展 已知直角坐标平面上的四点A(1,0),B(4,3),C(2,4),D(0,2),求证:四边形ABCD是梯形.
◆ 探究点三　三点共线的判定及应用
例3 (1)已知=(3,4),=(7,12),=(9,16),求证:A,B,C三点共线.
(2)设向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),当k为何值时,A,B,C三点共线
变式 [2024·厦门外国语学校高一月考] 在平面直角坐标系中,已知A(1,m),B(-2,2m+1),=(-1,m-1),若A,B,C三点能构成三角形,则实数m的取值范围为　　　　.
[素养小结]
三点共线的条件以及判定方法
(1)已知A,B,C三点共线时可转化为∥,利用向量共线的条件求解.
(2)利用两个非零向量平行证明三点共线时需分两步完成:
①证明两个非零向量平行;②证明两个非零向量有公共点.
◆ 探究点四　线段定比分点的坐标及应用
例4 (1)已知点A(2,3),B(6,-3),点P是线段AB的一个三等分点,求点P的坐标.
(2)已知△ABC的三个顶点为A(2,1),B(3,2),C(-1,4).若G为△ABC的重心,求的坐标.
变式 (1)在直角坐标系xOy中,已知点A(0,1)和点B(-3,4),若点C在∠AOB的平分线上,且||=2,则的坐标为　　　　.
(2)已知在△ABC中,点A(2,1),B(1,3),C(5,5).
①若四边形ABCD为平行四边形,求点D的坐标;
②若M在BC边上,且S△ABM=2S△ACM,求的坐标.
[素养小结]
涉及定比分点或者线段相关比例问题的两种思路:
(1)利用向量共线定理列方程组求解;
(2)利用定比分点坐标公式求解.6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示
一、选择题
1.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,-4),则2a+3b= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-4,-8) B.(-8,-16)
C.(4,8) D.(8,16)
2.与向量a=(1,1)平行的单位向量为 (　 )
A.
B.
C.
D.或
3.已知向量=(7,6),=(-3,m),=(-1,2m),若A,C,D三点共线,则m= (　 )
A. B.
C.- D.-
4.已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)∥(a-μb),则 (　 )
A.λ+μ=0 B.λ+μ=-1
C.λμ=1 D.λμ=-1
5.向量a,b,e1,e2在正方形网格中的位置如图所示,若a-b=λe1+μe2(λ,μ∈R),则= (　 )
A.3 B.
C.-3 D.-
6.已知向量a=(1,2),b=(cos θ,sin θ),且向量a与b平行,则tan θ的值为 (　 )
A.- B.-2
C. D.2
7.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AD=AB=4,CD=1,动点P在边BC上(不包括端点),且满足=m+n(m,n均为正数),则+的最小值为(　 )
A.1 B.
C.- D.
8.(多选题)[2024·沧州高一期中] 已知点A(0,0),B(2,1),C(2,0),则下列结论正确的是 (　 )
A.△ABC是直角三角形
B.若点D(4,1),则四边形ACDB是平行四边形
C.若=+,则P(4,2)
D.若=2,则P(4,2)
9.(多选题)若P1(1,3),P2(4,0)且P是线段P1P2的一个三等分点,则点P的坐标可能为 (　 )
A.(2,1) B.(2,2)
C.(3,1) D.(3,2)
二、填空题
10.已知向量a=(2,1),b=(3,m),若2a-b与b平行,则m的值是　　　　.
11.[2024·辽宁丹东高一期末] 已知点A(-1,1),B(3,2),D(0,5),若=2,AC与BD交于点M,则点M的坐标为　　　　.
12.若{α,β}是平面内一个基底,向量γ=x·α+y·β(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底{α,β}下的坐标.现已知向量a在基底{p,q}(p=(1,-1),q=(2,1))下的坐标为(-2,2),则a在另一个基底{m,n}(m=(-1,1),n=(1,2))下的坐标为　　　　.
三、解答题
13.已知向量a=(1,2),b=(-1,3),c=(4,3).
(1)求与6a+b共线的单位向量;
(2)求满足c=ma+nb的实数m,n的值;
(3)若(a+kc)∥(b-a),求实数k的值.
14.已知△ABC的三个顶点分别为A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),D为边AB上一点.
(1)若D为边AB的中点,求的坐标;
(2)若D为边AB的三等分点,求线段CD的长;
(3)当||取得最小值时,求的值.
15.[2024·人大附中高一月考] 已知向量m=(a+cos x,1),n=(-1,a+cos y),则集合{a∈R| x,y∈R,m∥n}中的所有元素之和为　　　　.
16.已知点O(0,0),A(2,1),B(4,3),点P满足=+t.
(1)若点P在第一象限,求t的取值范围.
(2)四边形OABP能否成为平行四边形 若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.

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