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2025年高三《第九单元直线和圆的方程》测试卷
一、单选题
1.已知直线与直线：，则“”是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.若两平行直线与之间的距离是，则( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
3.圆：与圆：的公切线条数为( )
A. B. C. D.
4.已知点为直线上的动点，点满足，记点的轨迹为，则( )
A. 是一个半径为的圆 B. 是一条与相交的直线
C. 上的点到的距离均为 D. 是两条平行直线
5.已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知正三角形的三个顶点坐标分别为，，，若，则( )
A. B. C. D.
7.函数的最小值( )
A. B. C. D.
8.已知点为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9.设圆上的动点到直线的距离为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
11.已知圆的圆心是直线与直线的交点，直线与圆相交于，两点，且，则圆的方程为( )
A. B. C. D.
12.若圆上至少有个点到直线的距离为，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
13.下列结论正确的是( )
A. 过点，的直线的倾斜角为
B. 若直线与直线平行，则或
C. 直线与直线之间的距离是
D. 已知，，点在轴上，则的最小值是
二、多选题
14.已知直线：，：，，以下结论正确的是( )
A. 不论为何值时，与都互相垂直
B. 当变化时，与分别经过定点和
C. 不论为何值时，与都关于直线对称
D. 如果与交于点，则的最大值是
15.若圆：与圆：的公共弦的长为，则下列结论正确的有( )
A.
B. 直线的方程为
C. 中点的轨迹方程为
D. 圆与圆公共部分的面积为
16.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系中，，，点满足设点的轨迹为，下列结论正确的是( )
A. 的方程为
B. 在轴上存在异于，的两定点，，使得
C. 当，，三点不共线时，射线是的平分线
D. 在上存在点，使得
17.已知圆，直线，则下列正确的是( )
A. 直线恒过定点
B. 当时，圆上有且仅有三个点到直线的距离都等于
C. 圆与曲线恰有三条公切线，则
D. 当时，直线上一个动点向圆引两条切线，其中为切点，则直线经过点
三、填空题
18.求经过点且在轴上的截距等于在轴上的截距的倍的直线方程 ．
19. 直线：截圆的弦为，则的最小值为__________，此时的值为__________．
20.在平面直角坐标系中，圆经过点和点，与轴正半轴相交于点若在第一象限内的圆弧上存在点，使，则圆的标准方程为 ．
21.光从介质射入介质发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质相对介质的折射率如图，一个折射率为的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以的入射角从空气中射入点，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为
四、解答题
22.已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
求边所在直线方程；
求过顶点且与平行的直线的方程．
23.已知圆．
若圆与圆关于直线对称，求直线的方程
若过点的直线与圆相切求直线的方程
24.已知方程与点证明：
对任意的实数，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标
该方程表示的直线与点的距离小于．
25.已知圆：和点，为圆外一点，直线与圆相切于点，．
求点的轨迹方程；
记中的点的轨迹为，是否存在斜率为的直线，使以被曲线截得的弦为直径的圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
26.蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来．如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，，直线与圆交于，原点在圆内．设交轴于点，交轴于点．
当，，，时，分别求线段和的长度；
求证：．
猜想和的大小关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】因为，
所以，
可得或，
所以“”是的充分不必要条件．
故选：．
2.【答案】
【解析】因为直线与平行，
所以，解得，则直线，即为，
又与之间的距离是，所以，解得或；
所以或．
故选：
3.【答案】
【解析】圆化为标准方程为，其圆心为，半径，
圆：的圆心为，半径为，
两圆的圆心距为，
两圆半径之和，
则，所以两圆外切，则公切线条数为条．
故选：．
4.【答案】
【解析】设，，
则，
，，
在上，
把点代入直线，
可得方程，
轨迹为直线，且与直线平行，
上的点到的距离，
故A，，D错误．
故选C．
5.【答案】
【解析】由，，可得：，，
所以直线方程为，
圆的圆心，半径，
点到直线的距离，
因此点到直线距离的最小值为，
所以面积的最小值是．
故选D．
6.【答案】
【解析】设，，，
则的中点坐标为，，
所以中垂线的方程为，即，
则点在直线，所以，
即，
又因为为正三角形，
所以，
则，
整理得，
即，解得，
因为，
所以，
则．
故选：．
7.【答案】
【解析】当时，，
可视为与两点间的距离，
则是直线上的动点，
，可视为点到直线的距离，
设与轴交于点，过点作，垂足为，
画出示意图如下：
则待求为的最小值，
当三点共线，且时，
点到直线的距离为所求的最小值，
此时，，
点坐标为，所以，满足题意．
故选：．
8.【答案】
【解析】，
，
点轨迹是以点为圆心，为半径的圆，记为圆，
设在轴上存在定点，使得圆上任意一点，满足，
则，
化简得，
又，代入得，
要使等式恒成立，则，即，
存在定点，使圆上任意一点满足，
则，
当，，三点共线位于两侧时，等号成立，
又点为直线上一动点，则的最小值即为点到直线的距离，
由到直线距离，则，
故，
如图，
过作直线的垂线段，垂线段与圆的交点即为取最值时的点，此时取到最小值．
故选：．
9.【答案】
【解析】把圆化为标准式，
则：圆心到直线的距离，
所以：直线和圆相离．
所以圆上的动点到直线的距离的最大值为，
圆上的动点到直线的距离的最小值为．
故：，
即的取值范围是：
故选：．
10.【答案】
【解析】圆的方程为，圆心为，半径为，
过点作圆的切线方程，设切线方程为，即．
则，解得：．
则的取值范围为．
故选B．
11.【答案】
【解析】
直线与直线的交点为，
所以圆的圆心为，
设半径为，
由题意可得，
即解得，
故圆的方程为．
故选A．
12.【答案】
【解析】圆整理为，
圆心坐标为，半径为，
要求圆上至少有三个不同的点到直线：的距离为，
则圆心到直线的距离应小于等于，
，解得，
的取值范围是．
13.【答案】
【解析】过点，的直线的斜率是，
即倾斜角的正切值为，则倾斜角不为，故A错误
若直线与直线平行，
可得，解得或，
当时，两直线重合，舍去，所以，故B错误；
直线即，
与直线之间的距离是，故C错误
点关于轴的对称点为，
连接，
则，当、、三点共线时取等号，故D正确．
故选D．
14.【答案】
【解析】对于，恒成立，与互相垂直恒成立，故A正确；
对于，直线：，当变化时，，恒成立，所以恒过定点；：，当变化时，，恒成立，所以恒过定点，故B正确．
对于，在上任取点，关于直线对称的点的坐标为，代入：，则左边不等于，故C不正确；
对于，联立，解得，即，
所以，所以的最大值是，故D正确．
故选：．
15.【答案】
【解析】圆、的圆心坐标分别为，，两圆的半径均为，
两圆方程相减得两圆公共弦所在直线的方程，
到直线的距离，
又公共弦的长为，由垂径定理得，解得，
所以直线的方程为，故A错误，B正确；
由于，所以，即中点到的距离为，
所以中点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，轨迹方程为，故C正确；
由于，圆的半径为，所以是等边三角形，其面积为，
扇形的面积为，
所以圆与圆公共部分的面积为，故D错误．
故选BC．
16.【答案】
【解析】在平面直角坐标系中，，，点满足，
设，则，
化简可得，故A错误；
假设在轴上存在异于，的两定点，，使得，
可设，，可得，
化简可得，
由的轨迹方程为，可得，，
解得，或，舍去，即存在，，故B正确；
当，，三点不共线时，由，可得射线是的平分线，故C正确；
若在上存在点，使得，可设，即，
化简可得，联立，可得方程组无解，故不存在，故D错误．
故选：．
17.【答案】
【解析】对于，由，得，
联立，解得，
直线恒过定点，故A正确
对于，当时，直线，
圆心到的距离为，
而圆的半径为，直线与圆相交，，
圆上有个点到直线的距离都等于，故B错误；
对于，整理得，
圆心为，半径为，
由题可知两圆外切时有三条公切线，
则，解得，C正确；
对于，当时，，
设，以为直径的圆的方程为，
两圆相减得为，因为点在直线上，
则，所以，
所以，
即，
由
即直线过点，D错误．
故选AC．
18.【答案】或
【解析】当此直线过原点时，直线在轴上的截距和在轴上的截距都等于，显然成立，
所以直线斜率为且过原点，所以直线方程为，化简得；
当直线不过原点时，由在轴上的截距是在轴上的截距的倍可设直线的方程为，
因为直线经过点，所以，解得．
故直线的方程为，即
综上，直线的方程为或．
故答案为或
19.【答案】
【解析】由得，
因此所给圆的圆心为，半径为．
又因为直线过定点，而点在圆内，
所以点到直线的距离等于，即时，直线与圆的相交弦的长最小，
而，
因此的最小值为，
此时．
故答案为；．
20.【答案】
【解析】根据题意作图，如图所示：
则，
所以，
由题意可知，，
，
又，则为圆的直径，设为，
则，
则，所以，
所以，又，则为的中点，所以，
所以圆的标准方程为：，
故答案为：．
21.【答案】
【解析】如图，入射角，设折射角为，，，
则，，
所以，则，，
所以，且．
该光线再次返回空气中时，其所在直线的倾斜角为，
则其所在直线的斜率为
，
直线的方程为，整理得．
故答案为．
22.【解析】由边上的高所在直线方程为，
可知，
又，
故边所在直线方程为，
即边所在直线方程为；
联立，解得
所以顶点的坐标为；
又因为所在直线的斜率为，
故所求直线方程为，即．
23.【解析】圆，即，圆心为，半径为，
圆：，圆心为，半径为，
圆与圆关于直线对称即直线为线段的中垂线，因为，
则所求直线的斜率为，且线段的中点为，
故所求直线为，即．
因为，所以点在圆外，
若直线的斜率不存在，即直线为，则圆心到直线的距离为，符合题意，
若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
则，解得，所以直线为，即，
综上：直线的方程为或．
24. 【解析】证明：显然与不可能同时为零，
故对任意的实数，该方程都表示直线．
方程可变形为，
解得
故直线经过的定点为．
过作直线的垂线段，由垂线段小于斜线段知，
当且仅当与重合时，，此时对应的直线方程是，即．
但直线系方程不能表示直线，
与不可能重合，而，
，故所证成立．
25.【解析】设点坐标为，直线与圆相切于点，
已知圆：和点，
则，所以，
即，
化简得．
设直线方程为，点，，
联立方程，得，
所以 ，
因为以为直径的圆过点，则，
即，
化简得，
代入根与系数关系中，得，
解得或，
故直线的方程为或．

26.【解析】当，，，时，
圆：，
直线：，由或
故，；
直线：，由或
故，．
所以直线，令得，即，
直线，令得，即，
所以：；
由题意：，
由
则，是该方程的两个解，由韦达定理得：
所以，
同理可得：，所以．
猜测，证明如下：
设点，，
因为三点共线，所以：，
又因为点在直线上，所以，
点在直线上，所以，
所以，
同理因为三点共线，可得：，
由可知：，
所以．
即，所以成立．

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