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2025年高三《第十单元椭圆》测试卷
一、单选题
1.已知曲线，则为焦点在轴上的椭圆的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
2.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线交于，两点若，则( )
A. B. C. D.
3.已知的内角，，的对边分别为，，，为边上一点，且，，当在变化时，点总在椭圆上，则该椭圆的长轴长为( )
A. B. C. D.
4.已知直线与椭圆：交于，两点，点，分别是椭圆的右焦点和右顶点，若，则( )
A. B. C. D.
5.椭圆的一个焦点是，那么( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，是上一动点，若点到焦点的最大距离为，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
9.如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为 ．
A. B. C. D.
10.已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，的角平分线与的交点恰好在轴上，则线段的长度为( )
A. B. C. D.
11.已知椭圆右顶点为，上顶点为，该椭圆上一点与的连线的斜率，的中点为，且满足，若分别是轴轴负半轴上的动点，且，则的最大值是( )
A. B. C. D.
12.已知椭圆：，，分别为其左、右焦点，，分别为其长轴的左、右端点，动点满足，交椭圆于点，则的值为 ( )
A. B. C. D.
二、多选题
13.已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上的任意一点，则( )
A. 的离心率为 B.
C. 的最大值为 D. 使为直角的点有个
14.已知为坐标原点，设椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为，点在上，且，当的离心率变化时，下列三角形可能为等腰三角形的是( )
A. B. C. D.
15.设椭圆，，为椭圆上一点，，点、关于轴对称，直线，分别与轴交于，两点，则( )
A. 的最大值为
B. 直线，的斜率乘积为定值
C. 若轴上存在点，使得，则的坐标为或
D. 直线过定点
16.在平面直角坐标系中，已知，，点满足直线，的斜率之积为，点的轨迹为曲线，则下列说法正确的有 ( )
A. 曲线的方程是
B. 存在点，使得
C. 点，，则的最小值为
D. 若斜率为的直线与曲线交于，两点，点为的中点，则直线的斜率为
17.已知椭圆的一个焦点坐标为，离心率为，则下列说法正确的是( )
A. 椭圆方程为
B. 若为椭圆上的点，则内切圆半径最大值为
C. 椭圆的内接矩形周长的最大值为
D. 若点，在椭圆上，的中点坐标为，则直线的方程为
三、填空题
18.如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是 ．
19.机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于 ．
20.已知椭圆，为椭圆上任意一点，过分别作与和平行的直线，交直线，于、，则最大值为 ．
四、解答题
21.如图，点分别是椭圆的左、右焦点．点是椭圆上一点，且满足轴，，直线与椭圆相交于另一点．
求椭圆的离心率；
若的周长为，求椭圆的标准方程．
22.已知直线：与椭圆交于，两点．
若直线过椭圆的左焦点，求；
设线段的垂直平分线与轴交于点，求．
23.在平面直角坐标系中，已知点，过椭圆的上顶点作两条动直线，分别与交于另外两点，当时，．
求的值
若，，求和的值．
24.已知椭圆的离心率为，且经过点，是的左、右焦点．
求的标准方程
过的直线与交于，两点若的内切圆半径为，，求的值．
25.在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，直线过分别交于两点．当的倾斜角为时，．
求的标准方程；
为线段不含端点上任一点，射线与交于点，与直线交于点．
若，求的最小值；
若为线段的中点，判断并证明与以为直径的圆的位置关系．
答案和解析
1.【答案】
【解析】由，得，
若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，
对照各选项，可知曲线是焦点在轴上的椭圆的一个充分不必要条件是“”．
故选：．
2.【答案】
【解析】设，，
因为离心率为，则，
由，得，
即，解得，则，，
又，所以
则
，
解得，
所以．
故选：．
3.【答案】
【解析】已知的内角，，的对边分别为，，，为边上一点，且，，
由及余弦定理，得，
整理得，即，
故该椭圆的长轴长为．
故选：．
4.【答案】
【解析】取椭圆的左焦点，因为直线过原点，
，
由椭圆的对称性，，
，
所以，
即，
，解得．
故选D．
5.【答案】
【解析】因为椭圆的一个焦点是，
所以，，，
则，解得，
故选：．
6.【答案】
【解析】易知椭圆中，即可得，
又圆的圆心为，半径，
易知椭圆右焦点，显然在圆上，如下图：

易知椭圆上一点到圆上任意一点的最小距离为，
因此可将的最小值转化为求的最小值，
由椭圆定义可得，
此时点在处，使得的最小值为．
故选：．
7.【答案】
【解析】由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数图象的一部分，
可得；设圆柱底面半径为，则，所以，
设椭圆长轴长为，短轴长为，
因为离心率为，得，则，
即，所以，得，
又由勾股定理得，解得，
故．

8.【答案】
【解析】由题意知，，
所以，，所以，
故C的方程为，
设，
又，，
故，
，
所以
，
因为，所以，
所以，
所以．
故选B．
9.【答案】
【解析】该椭圆的标准方程为．
根据题设条件不妨设，则，，
若要求直线的斜率，可将问题先转化为求解的正切值，
即
而在直角三角形中有：，
代入有
因为和直线的倾斜角是互补的关系，
故．
故选A
10.【答案】
【解析】由题意可知，点只能在第一、四象限，不妨设点在第一象限，如图所示：

设，又，
由题意可知，直线的斜率一定存在，
所以，直线，即，则点，
直线，化为一般形式得，
因为点在的角平分线上，所以点到直线与的距离相等，
点到直线的距离，
点到直线的距离，
于是，化简得，
即，
又点在椭圆上，所以，得，
因此，，即，
解得或，点在第一象限，所以，，
则点，
所以．
故选：．
11.【答案】
【解析】设，，中点，
因为椭圆，
则有，，两式相减得，
即，即，
由为椭圆右顶点，所以，
又，，得到，．
设，，，，
则由四边形的面积为，又为上顶点，有，即，
由基本不等式得，解不等式得，
所以三角形的面积，
当且仅当，即，时取等号．
故选C．
12.【答案】
【解析】椭圆：中，
可得，，
由，可设，，
可得直线的方程为，
代入椭圆：，可得：
，
则，
解得，
，
即有，
则
．
故选B．
13.【答案】
【解析】因为的标准方程为，
所以长半轴长，短半轴长，半焦距，
所以的离心率，故A错误；
因为是上的任意一点，所以，故B正确
的最大值为，故C正确
易知以线段为直径的圆与有个交点，
故满足为直角的点有个，故D正确．
14.【答案】
【解析】由题意，不妨取，，，，
则，，，
对于，当，此时，，故可以为等腰三角形；
对于，当，时，为的中垂线，故可以为等腰三角形；
对于，当，即，得，即，故可以为等腰三角形；
对于，当，即，，解得，不合题意，
又为直角三角形，故三角形不可能为等腰三角形．
故选：．
15.【答案】
【解析】因为在椭圆上，所以，，
所以，
由题意知：，又的对称轴为，
若，即时，
，；
当，即时，
，，综合可得选项错误；
因为点、关于轴对称，所以，
因为，，
所以，B正确，
假设存在点，使得，则∽，
所以，
因为，，所以，，
所以，
因为，所以，即点坐标为或，
因为，，所以，直线，
化简得，即直线过定点，
故选BCD．
16.【答案】
【解析】对于，设点的坐标为，由题意知，
化简得曲线的方程为，故 A正确；
对于，假设存在点，使得，则点在以线段为直径的圆上，
以线段为直径的圆的方程为，该圆在曲线外，假设不成立，
所以不存在点，使得，B错误；
对于，为曲线的右焦点，在曲线内，设曲线的左焦点为，
连接，，则，所以，
所以，
当且仅当为的延长线与椭圆的交点时，等号成立，故C错误；
对于，设，，因为点为的中点，所以，
由得，即，
所以，所以，则直线的斜率为，故 D正确．
故选AD．
17.【答案】
【解析】由题意：离心率为，，，
所以椭圆方程为，A错误；
内切圆半径，
当面积最大时，其内切圆半径最大，其面积最大值为，
所以，B正确；
设椭圆第一象限内任意一点，，
则椭圆内接矩形周长可以表示为，
设，，
则，
故当且仅当时取得最大值，C正确；
设，，
则，所以，
因为中点坐标为，
所以，，
代入可知：
，
所以直线的解析式为即，D正确．
故选BCD．
18.【答案】
【解析】设弦为，且，，
代入椭圆方程得，，
两式作差并化简得，
即弦的斜率为，由点斜式得，
化简得．
故答案为：．
19.【答案】
【解析】圆锥的轴截面是等腰三角形，腰长为，底边为，
由题，构造如图所示的圆锥，则，，
是圆锥底面的圆心，为的中点，取的中点为，则
所以，，
，
令为椭圆的中心，，为短半轴，交于点，则为的中点，
过点作交于点，
由题意可得，，，
又、相交，且均在平面内，故E平面，
又平面，故E，则，
则，，
所以
因为，所以，
由，可得∽，则，
故椭圆的长轴长为，即，
短半轴长为，
则半焦距，
故椭圆的离心率等于．
20.【答案】
【解析】设，，，
则，，
因为四边形为平行四边形，
所以，即，
，
因为，
，，
故答案为．
21.【解析】中，，
，，
由椭圆的定义，，
离心率；
的周长，
，
，
，
，
椭圆的标准方程为
22.【解析】因为椭圆，
所以，
可得椭圆的左焦点，
此时直线的方程为，
设，，
联立，消去并整理得，
所以，
则；
设，，的中点，
联立，消去并整理得，
．
所以，
因为线段的垂直平分线与轴交于点，
所以线段的垂直平分线方程：，
所以，
解得，满足，
所以．
则．

23.【解析】，
，，，
由，
解得，；
由可得椭圆的方程为，
联立
，
同理，即，
由
，
解得，．
24.【解析】由题意得，得
所以的标准方程为；
，易得直线斜率不为，设直线的方程为，，，
由，得，
，
，
，
，
由得，
．
25.【解析】因为，所以，则，
又直线过，当的倾斜角为时，的方程为，
代入的标准方程得，
所以，联立，解得，
所以的标准方程为；
由题意，直线的斜率不为，
设，的方程为，
由，得，
所以
所以，
所以，
因为，所以直线的方程为，
代入的标准方程中得，所以，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为；
因为为中点，所以，
由，得，
即，所以直线方程为，
令，得，
由可知，
所以
，
且不共线，所以为锐角，
即点在以为直径的圆外．
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