资源简介 (共50张PPT)7.2 复数的四则运算7.2.2 复数的乘、除运算探究点一 复数的乘法运算探究点二 复数的除法运算探究点三 复数范围内的方程根的问题【学习目标】掌握复数代数表示式的乘、除运算法则,并能熟练地进行计算.知识点一 复数的乘法法则及运算律1.复数的乘法法则设, 是任意两个复数,那么它们的积 ______________________.2.复数乘法的运算律对于任意,, ,有交换律结合律乘法对加法的分配律【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)互为共轭复数的两个复数的和与积都是实数.( )√(2)若,,且,则 .( )×(3) .( )×[解析] 例如,而 .(4)已知,,,若,则 .( )×[解析] 取,,,显然有,但不成立.知识点二 复数的除法法则____________,,, ,且.【诊断分析】1.计算: ______.[解析] .2.复数的除法与实数的除法有何不同 解:实数的除法可以直接约分化简得出结果,但复数的除法中分母为复数,一般不能直接约分化简.因为两个共轭复数的积是一个实数,所以两个复数相除时,可以先把它们的商写成分式的形式,然后把分子、分母同乘分母的共轭复数(注意是分母的共轭复数),再把结果化简即可.探究点一 复数的乘法运算例1 计算:(1) ;解: .(2) .解: .(3) .解: .变式(1) ( )A. B. C. D.[解析] ,故选B.√(2)已知,,是虚数单位,若与 互为共轭复数,则 ( )A. B. C. D.[解析] 因为与互为共轭复数,所以, ,所以.故选D.√(3)若复数,则 ___.2[解析] 因为,,,,且 ,所以,则 ,所以 .[素养小结]两个复数的乘法运算的常用公式(1) .(2) .(3) .探究点二 复数的除法运算例2 计算:(1) ;解: .(2) .解:.变式(1) [2024·丽水五校高一月考]若复数满足, 是虚数单位,则在复平面内 对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限[解析] 由题意,复数 ,所以在复平面内对应的点为 ,位于第二象限.故选B.√(2)已知,设,则 __.[解析] , ,,, .(3)已知为虚数单位,则 _______.[解析].[素养小结]1.两个复数的除法运算的一般步骤(1)首先将除式写为分式;(2)再将分子、分母同乘分母的共轭复数;(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算,并将其化为复数的代数形式.2.常用公式(1);(2);(3) .探究点三 复数范围内的方程根的问题例3 已知是方程的一个根,为实数 .(1)求, 的值;解:由题知,即 ,所以解得(2)试判断 是否为该方程的根.解:由(1)知,原方程为 ,因为,所以 是该方程的根.变式(1) 在复数范围内解方程 .解:由,得,故 ,解得, .(2)已知关于的方程的一个虚根为(其中为虚数单位),求实数 .解:依题意,关于的方程的根为 ,由根与系数的关系得 .[素养小结]解决实系数一元二次方程问题的注意点(1)解决实系数一元二次方程问题的基本依据是复数相等的充要条件.(2)与在实数范围内对比,在复数范围内解决实系数一元二次方程问题,根与系数的关系和求根公式仍然适用,但是用判别式判断方程根的功能就发生改变了.1.复数的乘法与多项式的乘法的区别复数的乘法与多项式乘法是类似的,有一点不同即必须在所得结果中把换成 ,再把实部、虚部分别合并.2.复数代数形式的除法运算的实质是分母“实数化”,即分子以及分母同乘分母的“实数化”因式.类似于以前所学的把分母“有理化”.3.有关虚数单位 的运算虚数的乘方及其规律:,,,,, ,,, .可见,, ,,即 的乘方具有周期性且最小正周期为4.4.复数常见的运算小结论(1) ;(2) ;(3) ;(4) .5.常用公式; ;.6.(1)设出复数的代数形式 ,用代入法解题是一种基本而常用的方法;(2)复数的相等 是实现复数运算转化为实数运算的重要方法.这两种方法必须切实掌握.7.在复数范围内,实系数一元二次方程 的求根公式为(1)当时,;(2)当 时, .1.共轭复数及其应用(1) ,利用这个性质可证明一个复数为实数.(2)若且,则 为纯虚数,利用这个性质可证明一个复数为纯虚数.(3) .(4)若,则, .(5),, .例1 已知复数,是的共轭复数,则 等于( )A. B. C.1 D.2[解析] 方法一:,, .方法二:, ,.√2.复数与方程例2 已知复数,,为虚数单位 .(1)若,求 ;解:若,则, ,.(2)若是关于的实系数方程 的一个复数根,求.解:是关于的实系数方程 的一个复数根,,又, ,,,则 ,.练习册一、选择题1.已知复数,则 的虚部为( )A.3 B. C.4 D.[解析] , 的虚部为4.故选C.√2. ( )A. B. C. D.[解析] .故选C.√3.[2024·广州增城一中高一月考]已知 是虚数单位,则复数的模为( )A.2 B. C.10 D.[解析] 因为 ,所以复数的模为 .故选D.√4.若复数满足,则 的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限[解析] 由 ,得,则,所以 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为 ,该点位于第一象限.故选A.√5.已知是关于的方程的一个根,其中 ,,则 ( )A.18 B.16 C.9 D.8√[解析] 方法一:由题意得 ,化简得,所以解得所以 .故选A.方法二:因为是关于的实系数方程 的一个根,所以也是方程 的根,所以由根与系数的关系得,,解得 ,,所以 .6.定义运算,则符合条件是虚数单位的复数 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限[解析] 由题意可知,,则 ,可得,所以复数 在复平面内对应的点的坐标为 ,该点位于第三象限.故选C.√7.(多选题)[2024·长沙雅礼中学高一月考] 设, 为复数,则下列结论中正确的是( )A.B.C.若,则D.若,则 的最大值为3√√[解析] 设, ,则, ,故A正确;,而 ,故B错误;当,取任意的复数时,都有,但 ,故C错误;的几何意义为单位圆上的点与点 之间的距离,易知的最大值为3,故D正确.故选 .8.(多选题)已知集合,,其中 为虚数单位,则下列元素属于集合 的是( )A. B. C. D.[解析] 根据题意,,,当时,,当时, ,当时,,当时, ,,1,,}.对于选项A, ;对于选项B,;对于选项C, ;对于选项D,.故选 .√√二、填空题9.已知复数满足为虚数单位,则 _ ___ .[解析] 因为 ,所以,所以.10.写出一个虚数,使得为纯虚数,则 _____________________.(答案不唯一)[解析] 设 ,则为纯虚数,且,可取,,此时 .11.[2024·宁波镇海中学高一期中] 已知复数满足方程 ,其中为虚数单位,,.若,则 的最小值为__.[解析] ,,即, ,,的最小值为 .三、解答题12.计算: .解:原式 .13.[2024·新余一中高一月考] 已知关于的方程 ,其中, 为实数.(1)设是虚数单位是该方程的根,求, 的值;解:是该方程的根, 也是该方程的根,由一元二次方程根与系数的关系得 ,,解得, .(2)证明:当,且 时,该方程无实数根.证明:,且, ,,即 ,, 原方程无实数根.14.已知复数,,其中 是虚数单位.(1)若,求实数 的值;解:因为,, ,所以,所以解得 ,故实数 的值为2.(2)若是纯虚数,是正实数,求。。。。.解:依题意得 ,因为是纯虚数,所以解得或 ,又因为是正实数,所以,所以 ,所以.7.2.2 复数的乘、除运算【课前预习】知识点一1.(ac-bd)+(ad+bc)i 2.z2z1 z1(z2z3) z1z2+z1z3诊断分析(1)√ (2)× (3)× (4)× [解析] (3)例如|i|2=1,而i2=-1.(4)取z1=0,z2=i,z3=-i,显然有z1z2=z1z3=0,但z2=z3不成立.知识点二 诊断分析1.2-i [解析] ===2-i.2.解:实数的除法可以直接约分化简得出结果,但复数的除法中分母为复数,一般不能直接约分化简.因为两个共轭复数的积是一个实数,所以两个复数相除时,可以先把它们的商写成分式的形式,然后把分子、分母同乘分母的共轭复数(注意是分母的共轭复数),再把结果化简即可.【课中探究】探究点一例1 解:(1)(1+2i)2=1+4i+4i2=-3+4i.(2)(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9-(-16)=25.(3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i)=(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i)=22-14i+(25-25i)=47-39i.变式 (1)B (2)D (3)2 [解析] (1)(1-i)(1+i)=(1-i)(1+i)·=(1-i2)=2=-1+i,故选B.(2)因为a-i与2+bi互为共轭复数,所以a=2,b=1,所以(a+bi)2=(2+i)2=3+4i.故选D.(3)因为i=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,且i+i2+i3+i4=0,所以z=i+i2+i3+…+i10=i+i2+i3+i4+i4(i+i2+i3+i4)+i8·i+i8·i2=i+i2=-1+i,则=-1-i,所以z·=(-1+i)·(-1-i)=2.探究点二例2 解:(1)+(--i)3+=-i++=-i-8i+i=-8i.(2)=====-2-2i.变式 (1)B (2) (3)-1+i [解析] (1)由题意,复数z====-+i,所以在复平面内z对应的点为,位于第二象限.故选B.(2)∵z=4+i,∴=====a+bi,∴a=,b=,∴a+b=.(3)-=-=-i1012=-1+i.探究点三例3 解:(1)由题知(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0,所以解得(2)由(1)知,原方程为x2-2x+2=0,因为(1-i)2-2(1-i)+2=0,所以1-i是该方程的根.变式 解:(1)由x2-4x+5=0,得(x-2)2=-1,故x-2=±i,解得x1=2+i,x2=2-i.(2)依题意,关于x的方程x2-2x+c=0的根为1±2i,由根与系数的关系得c=(1+2i)(1-2i)=12-(2i)2=5.7.2.2 复数的乘、除运算1.C [解析] ∵z=(2+i)2=4+4i+i2=3+4i,∴z的虚部为4.故选C.2.C [解析] ==2+i.故选C.3.D [解析] 因为(1-i)(2+i)=2+i-2i-i2=3-i,所以复数(1-i)(2+i)的模为=.故选D.4.A [解析] 由z(1+i)=|-i|==2,得z===1-i,则=1+i,所以z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为(1,1),该点位于第一象限.故选A.5.A [解析] 方法一:由题意得2(-2+i)2+m(-2+i)+n=0,化简得-2m+n+6+(m-8)i=0,所以解得所以m+n=18.故选A.方法二:因为-2+i是关于x的实系数方程2x2+mx+n=0的一个根,所以-2-i也是方程2x2+mx+n=0的根,所以由根与系数的关系得-2+i-2-i=-,(-2+i)(-2-i)=,解得m=8,n=10,所以m+n=18.6.C [解析] 由题意可知,=0,则z·2i-(-i)×(1+i)=0,可得z===--i,所以复数z在复平面内对应的点的坐标为,该点位于第三象限.故选C.7.AD [解析] 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1=(a+bi)(a-bi)=a2+b2,|z1|2=a2+b2,故A正确;=(c+di)2=c2-d2+2cdi,而|z2|2=c2+d2,故B错误;当z1=0,z2(z2≠0)取任意的复数时,都有z1z2=|z1|2,但≠z2,故C错误;|z1+2i|的几何意义为单位圆上的点与点(0,-2)之间的距离,易知|z1+2i|的最大值为3,故D正确.故选AD.8.BC [解析] 根据题意,M={m|m=in,n∈N*},当n=4k+1(k∈N)时,in=i,当n=4k+2(k∈N)时,in=-1,当n=4k+3(k∈N)时,in=-i,当n=4k+4(k∈N)时,in=1,∴M={-1,1,i,-i}.对于选项A,(1-i)(1+i)=2 M;对于选项B,==-i∈M;对于选项C,==i∈M;对于选项D,(1-i)2=-2i M.故选BC.9. [解析] 因为(1-i)z=2i-1,所以z====,所以|z|==.10.1+2i(答案不唯一) [解析] 设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则z2+3=(a+bi)2+3=a2-b2+3+2abi为纯虚数,∴a2-b2+3=0且2ab≠0,可取a=1,b=2,此时z=1+2i.11. [解析] ∵z·=|z|2=1,∴|z|=1,即=1,∴b2=a2+1,∴b2+a=a2+a+1=+≥,∴b2+a的最小值为.12.解:原式=(2-3i)·++=(2-3i)(1+i)+1+1=5-i+1+1=7-i.13.解:(1)∵x=1-i是该方程的根,∴1+i也是该方程的根,由一元二次方程根与系数的关系得1-i+1+i=a,(1-i)(1+i)=ab,解得a=2,b=2.(2)证明:∵>,且a>0,∴-=>0,∴4a(4b-a)>0,即4ab-a2>0,∴Δ=a2-4ab<0,∴原方程无实数根.14.解:(1)因为z1=(a+i)2,z2=4-3i,z1=iz2,所以(a+i)2=a2-1+2ai=3+4i,所以解得a=2,故实数a的值为2.(2)依题意得===,因为是纯虚数,所以解得a=2或a=-,又因为a是正实数,所以a=2,所以=i,所以+++…+=i+i2+i3+i4+…+i2024=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2021+i2022+i2023+i2024)=(i-1-i+1)+(i-1-i+1)+…+(i-1-i+1)=0+0+…+0=0.7.2.2 复数的乘、除运算【学习目标】 掌握复数代数表示式的乘、除运算法则,并能熟练地进行计算.◆ 知识点一 复数的乘法法则及运算律1.复数的乘法法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2= . 2.复数乘法的运算律对于任意z1,z2,z3∈C,有交换律 z1z2= 结合律 (z1z2)z3= 乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)= 【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)互为共轭复数的两个复数的和与积都是实数.( )(2)若z1,z2∈C,且+=0,则z1=z2=0. ( )(3)|z|2=z2. ( )(4)已知z1,z2,z3∈C,若z1z2=z1z3,则z2=z3. ( )◆ 知识点二 复数的除法法则(a+bi)÷(c+di)= + i(a,b,c,d∈R,且c+di≠0). 【诊断分析】 1.计算:= . 2.复数的除法与实数的除法有何不同 ◆ 探究点一 复数的乘法运算例1 计算:(1)(1+2i)2;(2)(3+4i)(3-4i).(3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i).变式 (1)(1-i)(1+i)= ( ) A.1+i B.-1+iC.+i D.-+i(2)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a-i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2= ( )A.5-4i B.5+4iC.3-4i D.3+4i(3)若复数z=i+i2+i3+…+i10,则z·= . [素养小结]两个复数的乘法运算的常用公式(1)(a+bi)2=a2-b2+2abi(a,b∈R).(2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R).(3)(1±i)2=±2i.◆ 探究点二 复数的除法运算例2 计算:(1)+(--i)3+;(2).变式 (1)[2024·丽水五校高一月考] 若复数z满足z(2-i)=2i,i是虚数单位,则在复平面内z对应的点位于 ( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限(2)已知z=4+i,设=a+bi(a,b∈R),则a+b= . (3)已知i为虚数单位,则-= . [素养小结]1.两个复数的除法运算的一般步骤(1)首先将除式写为分式;(2)再将分子、分母同乘分母的共轭复数;(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算,并将其化为复数的代数形式.2.常用公式(1)=-i;(2)=i;(3)=-i.◆ 探究点三 复数范围内的方程根的问题例3 已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数).(1)求b,c的值;(2)试判断1-i是否为该方程的根.变式 (1)在复数范围内解方程x2-4x+5=0.(2)已知关于x的方程x2-2x+c=0的一个虚根为1+2i(其中i为虚数单位),求实数c.[素养小结]解决实系数一元二次方程问题的注意点(1)解决实系数一元二次方程问题的基本依据是复数相等的充要条件.(2)与在实数范围内对比,在复数范围内解决实系数一元二次方程问题,根与系数的关系和求根公式仍然适用,但是用判别式判断方程根的功能就发生改变了.7.2.2 复数的乘、除运算一、选择题1.已知复数z=(2+i)2,则z的虚部为 ( ) A.3 B.3i C.4 D.4i2.= ( )A.1+2i B.1-2iC.2+i D.2-i3.[2024·广州增城一中高一月考] 已知i是虚数单位,则复数(1-i)(2+i)的模为 ( )A.2 B. C.10 D.4.若复数z满足z(1+i)=|-i|,则z的共轭复数在复平面内对应的点位于 ( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限5.已知-2+i是关于x的方程2x2+mx+n=0的一个根,其中m,n∈R,则m+n= ( )A.18 B.16 C.9 D.86.定义运算=ad-bc,则符合条件=0(i是虚数单位)的复数z在复平面内对应的点位于 ( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限7.(多选题)[2024·长沙雅礼中学高一月考] 设z1,z2为复数,则下列结论中正确的是 ( )A.z1=|z1|2B.=|z2|2C.若z1z2=|z1|2,则=z2D.若|z1|=1,则|z1+2i|的最大值为38.(多选题)已知集合M={m|m=in,n∈N*},其中i为虚数单位,则下列元素属于集合M的是 ( )A.(1-i)(1+i) B.C. D.(1-i)2二、填空题9.已知复数z满足(1-i)z=2i-1(i为虚数单位),则|z|= . 10.写出一个虚数z,使得z2+3为纯虚数,则z= . 11.[2024·宁波镇海中学高一期中] 已知复数z满足方程(1+ai)z=bi,其中i为虚数单位,a,b∈R.若z·=1,则b2+a的最小值为 . 三、解答题12.计算:(2-3i)·++.13.[2024·新余一中高一月考] 已知关于x的方程x2-ax+ab=0,其中a,b为实数.(1)设x=1-i(i是虚数单位)是该方程的根,求a,b的值;(2)证明:当>,且a>0时,该方程无实数根.14.已知复数z1=(a+i)2(a∈R),z2=4-3i,其中i是虚数单位.(1)若z1=iz2,求实数a的值;(2)若是纯虚数,a是正实数,求+++…+. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 7.2.2 复数的乘、除运算.pptx 7.2.2 复数的乘、除运算 【正文】导学案.docx 7.2.2 复数的乘、除运算 【正文】练习册.docx 7.2.2 复数的乘、除运算 【答案】导学案.docx 7.2.2 复数的乘、除运算 【答案】练习册.docx