资源简介

1.1.1 集合及其表示方法
【学习目标】
1.了解集合的含义，体会元素与集合的关系，能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.(数学抽象)
2.了解集合中元素的确定性、互异性、无序性，掌握常用数集及其专用符号，并能够用其解决有关问题，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生对知识应用的意识.(逻辑推理)
3.掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法).(数学抽象)
【自主预习】
1.回忆一下初中实数的分类.
2.1是整数吗 是整数吗
3.π是实数吗 是无理数吗
4.在生活中，有许多事物给我们以集体的印象，比如，你的家庭，你所在的班级，山东省的所有城市，等等.你还能举出一些这样的例子吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)育才中学今年入学的爱好数学的学生可以组成一个集合. (　　)
(2)元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是相等的. (　　)
(3)集合{x|4(4)集合{x|1≤x<3}用区间表示为(1，3). (　　)
2.用描述法表示函数y=3x+1图象上的所有点，其中正确的是(　　).
A.{x|y=3x+1}
B.{y|y=3x+1}
C.{(x，y)|y=3x+1}
D.{y=3x+1}
3.(多选题)下列集合是空集的是(　　).
A.集合A中元素是x>8且x<5的实数
B.集合B中的元素是方程x2+1=0在R上的根
C.集合C中只有一个元素0
D.集合D中有0个元素
4.下列元素与集合的关系判断正确的是______.(填序号)
①0∈N；②π∈Q；③∈Q；④-1∈Z；⑤ R.
【合作探究】
探究1　集合的概念
　　某校通知：全体高一学生6点钟开始在班级进行开学教育，之后“偶数班”去一楼大厅领取数学教材.
问题1：这个通知的对象有哪些
问题2：这些对象能构成一个集合吗
问题3：初中我们接触了哪些集合
1.集合与元素的概念
(1)集合：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集).集合通常用英文大写字母A，B，C，…表示.
(2)元素：组成集合的每个对象叫作这个集合的元素.集合的元素通常用英文小写字母a，b，c，…表示.
(3)空集：一般地，我们把不含有任何元素的集合称为空集，记作 .
(4)集合相等：给定两个集合A和B，如果组成它们的______，就称这两个集合______，记作______.
(5)有限集与无限集：含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集，空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集.
2.集合中元素的三要素
确定性：集合的元素必须是确定的.
互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的.
无序性：集合中的元素可以任意排列.
例1　2025年9月，我们踏入心仪的高中校园，找到了自己的班级，则下列对象能组成一个集合的是哪些
(1)你所在班级中的全体同学；
(2)班级中比较高的同学；
(3)班级中身高超过178 cm的同学；
(4)班级中比较胖的同学；
(5)班级中体重超过75 kg的同学；
(6)学习成绩比较好的同学；
(7)总分前五名的同学.
【方法总结】判断每个元素是否具有确定性是判断其能否构成集合的关键，而判断一个元素是不是确定的，关键就是要找到一个明确的衡量标准，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.
(多选题)下列各组对象能组成集合的是(　　).
A.2022年北京冬奥会的5个冰上项目和10个雪上项目
B.高中数学的所有难题
C.被3除余2的所有整数
D.函数y=图象上所有的点
考察下列每组对象，能组成一个集合的是______.
①一中高一年级聪明的学生；②平面直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的正整数.
探究2　元素与集合的关系
　　把高一年级所有的同学组成的集合记为A， a是高一(7)班的同学，b是高二(7)班的同学.
问题1：请问a与A，b与A之间各自有什么关系
问题2：由2，3，4，5，|-3|构成的集合中有5个元素吗
问题3：问题2中|-3|在集合M中吗 -3在集合M中吗
1.元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a______集合A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a______集合A，记作______.
2.常用的数集及其记法
常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 ______ ______ ______ ______ ______
例2　(1)下列五个关系中，正确的个数为(　　).
①∈R；② Q；③π∈Q；④|-3| N；⑤-∈Z.
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)若集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为______.
【方法总结】判断元素与集合关系的两种方法：(1)直接法，若集合中的元素是直接给出的，则判断该元素在已知集合中是否出现即可；(2)推理法，对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.
已知集合A={a+1，a2-1}，若0∈A，则实数a的值为______.
探究3　集合的表示方法
　　开学第一天学习了集合，老师布置了一道作业：将所有满足不等式3x-1<2x+9的正整数用集合表示.结果王浩宇、李琦、张瑜、谢芳四位同学的答案如下：
姓名 答案
王浩宇 {1，2，3，4，5，6，7，8，9}
李琦 {x|x≤9，x∈N*}
张瑜 {x≤9，x∈N*}
谢芳 {x∈N*|x≤9}
问题1：王浩宇的答案是否正确 他用了什么方法表示
问题2：小组讨论李琦、张瑜、谢芳三位同学的答案，有几个是正确的
问题3：任何一个集合是否既能用列举法表示也能用描述法表示 若不能，举例说明.
1.集合常用的表示法
(1)______：把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内.特点是______.
(2)______：一般地，若属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质，此时，集合A可以用它的______表示为______，特点是______.
2.区间表示
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a{x|x≥a} [a，+∞)
{x|x>a} (a，+∞)
{x|x≤a} (-∞，a]
{x|x一、用列举法表示集合
例3　用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x2=2x的所有实数解组成的集合；
(3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合；
(4)由所有正整数构成的集合.
【方法总结】用列举法表示集合的步骤及注意点
(1)分清元素：用列举法表示集合，要分清是数集还是点集，或是其他元素.
(2)书写集合：列元素时要做到不重复、不遗漏.
提醒：二元方程组的解集、函数的图象上的点形成的集合都是点的集合，一定要写成有序实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开.如{(2，3)，(5，-1)}.
二、用描述法表示集合
例4　用描述法表示下列集合：
(1)函数y=-x图象上的点组成的集合；
(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合；
(3)不等式x-2<3的解组成的集合.
【方法总结】用描述法表示集合的两个步骤
三、区间及其表示
例5　用区间表示下列集合：
(1){x|x≥-1}；
(2)R；
(3){x|2≤x≤4}.
【方法总结】用区间表示数集的原则和注意事项
(1)原则：①数集是连续的；②左小右大；③区间的开闭不能弄错.
(2)注意事项：①区间符号里面的两个数字(或字母)之间用“，”隔开；②当用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别；③以“±∞”作为“端点”时，对应部分只能用开区间.
集合{x|x2-4x+3=0}用列举法表示为(　　).
A.{1，3}
B.{(1，3)}
C.{x2-4x+3=0}
D.{x=1，x=3}
二次函数y=x2-1的图象上纵坐标为3的点的集合为______.
用区间表示不等式2x-≤x的解集A.
【随堂检测】
1.(多选题)下列说法正确的是(　　).
A.N*中最小的数是1
B.若-a N*，则a∈N*
C.若a∈N*，b∈N*，则a+b的最小值是2
D.方程x2+4=4x的实数解构成的集合中含有2个元素
2.若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC一定不是(　　).
A.锐角三角形
B.等腰三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形
3.若[a+1，2a-3)为一确定区间，则实数a的取值范围是______.
4.用适当的方法表示下列集合：
(1)绝对值不大于3的偶数的集合；
(2)被3除余1的正整数的集合；
(3)到两坐标轴距离相等的点的集合.
参考答案
1.1.1 集合及其表示方法
自主预习·悟新知
预学忆思
1.分为有理数和无理数，或正数、负数和零.
2.1是整数；不是整数.
3.π是实数；是无理数.
4.能.冬奥会的参赛项目，东昌湖中的鱼，济南动物园中的老虎，构成英文单词“word”的字母，等等.
自学检测
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.C　【解析】易知该集合是点集，故可表示为{(x，y)|y=3x+1}.故选C.
3.ABD　【解析】集合C中有1个元素，其他集合中没有元素.故选ABD.
4.①④　【解析】因为N表示自然数集，Q表示有理数集，Z表示整数集，R表示实数集，所以0∈N，π Q， Q，-1∈Z，∈R.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：高一全体学生；“偶数班”.
问题2：能.
问题3：(1)数集：自然数的集合，有理数的集合……
(2)点集：圆(同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合)，线段的垂直平分线(到一条线段的两个端点的距离相等的点的集合)……
新知生成
1.(4)元素完全相同　相等　A=B
新知运用
例1　【解析】(1)因为班级中的全体同学是确定的，所以可以组成一个集合.
(2)因为“比较高”无法衡量，所以对象不确定，所以不能组成一个集合.
(3)因为“身高超过178 cm”是确定的，所以可以组成一个集合.
(4)因为“比较胖”无法衡量，所以对象不确定，所以不能组成一个集合.
(5)因为“体重超过75 kg”是确定的，所以可以组成一个集合.
(6)因为“学习成绩比较好”无法衡量，所以对象不确定，所以不能组成一个集合.
(7)因为“总分前五名”是确定的，所以可以组成一个集合.
巩固训练1　ACD　【解析】选项A，C，D中的元素符合集合中元素的确定性；而选项B中，“难题”没有明确的标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合.
巩固训练2　②③　【解析】①“一中高一年级聪明的学生”的标准不确定，不能构成集合；②“平面直角坐标系中横、纵坐标相等的点”的标准确定，能构成集合；③“不小于3的正整数”的标准确定，能构成集合.
探究2　情境设置
问题1：a∈A，b A.
问题2：由2，3，4，5，|-3|构成的集合表示为M={2，3，4，5}，只有4个元素.
问题3：因为|-3|=3，所以|-3|在集合M中；因为集合M中没有-3，所以-3不在集合M中.
新知生成
1.属于　不属于　a A
2.N　N*或N+　Z　Q　R
新知运用
例2　(1)C　(2)0，1，2　【解析】(1)由于∈R，是无理数，-∈Z，故①②⑤正确，因为π是无理数，|-3|=3是自然数，所以③④错误.故选C.
(2)由题意可得x为自然数，所以可以为2，3，6，对应的x的值为0，1，2，因此A中的元素为0，1，2.
巩固训练　1　【解析】∵0∈A，∴0=a+1或0=a2-1.
当0=a+1时，a=-1，此时a2-1=0，A中元素重复，不符合题意.
当a2-1=0时，a=1或a=-1(舍去)，∴a=1，此时A={2，0}，符合题意.
探究3　情境设置
问题1：正确，他是先解不等式，再找出正整数解，最后用列举法表示.
问题2：李琦和谢芳的答案是正确的，用描述法要注意括号内用一竖杠分开，竖杠左边的是元素，竖杠右边的是元素满足的条件.
问题3：不一定，一般有有限个元素的集合或有无限个元素且元素之间有明显规律的集合可用列举法表示，而有无限个元素且元素间无规律可循的集合不能用列举法表示，如不等式3x-1≤2x+8的解组成的集合只能用描述法表示为{x|x≤9}.
新知生成
1.(1)列举法　适用于元素的个数较少的集合　(2)描述法　特征性质p(x)　{x|p(x)}　适用于表示元素具有明显共同特征的集合
新知运用
例3　【解析】(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}.
(2)方程x2=2x的解是x=0或x=2，所以方程x2=2x的所有实数解组成的集合为{0，2}.
(3)将x=0代入y=2x+1，得y=1，即交点是(0，1)，故直线y=2x+1与y轴的交点组成的集合是{(0，1)}.
(4)正整数有1，2，3，…，所求集合为{1，2，3，…}.
例4　【解析】(1){(x，y)|y=-x}.
(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合，则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合用描述法表示为{x∈R||x|>3}.
(3)不等式x-2<3的解是x<5，则不等式x-2<3的解组成的集合用描述法表示为{x|x<5}.
例5　【解析】(1){x|x≥-1}用区间表示为[-1，+∞).
(2)R用区间表示为(-∞，+∞).
(3){x|2≤x≤4}用区间表示为[2，4].
巩固训练1　A　【解析】解方程x2-4x+3=0，得x=1或x=3，集合用列举法表示为{1，3}.
巩固训练2　{(-2，3)，(2，3)}　【解析】令y=3，得x2-1=3，解得x=-2或x=2，所以在y=x2-1的图象上纵坐标为3的点的集合为{(-2，3)，(2，3)}.
巩固训练3　【解析】由2x-≤x，解得x≤，
所以A=-∞，.
随堂检测·精评价
1.AC　【解析】N*是正整数集，最小的正整数是1，故A正确；当a=0时，-a N*，且a N*，故B错误；若a∈N*，则a的最小值是1，又b∈N*，所以b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a+b取得最小值，最小值为2，故C正确；由集合的元素的互异性知D错误.故选AC.
2.B　【解析】根据集合中元素的互异性，可知三角形的三边长互不相等，故选B.
3.(4，+∞)　【解析】∵[a+1，2a-3)为一确定区间，∴2a-3>a+1，解得a>4，故实数a的取值范围为(4，+∞).
4.【解析】(1)用列举法表示为{-2，0，2}.
(2)用描述法表示为{m|m=3n+1，n∈N}.
(3)用描述法表示为{(x，y)|x±y=0}.

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