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1.1.2 集合的基本关系
【学习目标】
1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.(数学抽象)
2.能判断给定集合间的关系，提高学生利用类比发现新结论的能力.(逻辑推理)
3.会由集合间的关系求相关参数的取值范围，并在具体情境中了解空集的含义.(数学运算、数学抽象)
4.掌握并能使用维恩图表达集合间的关系.(直观想象)
【自主预习】
1.集合中元素的三个特性是什么
2.常见的数集有哪些
3.集合的表示方法有哪些
4.A={x|y=x2+1}表示使函数y=x2+1有意义的自变量x的取值范围，且x的取值范围是R，因此A=R，对吗
5.B={y|y=x2+1}表示使函数y=x2+1有意义的函数值y的取值范围，而y的取值范围是y=x2+1≥1，因此B={y|y≥1}，对吗
6.集合B={y|y=x2+1}中的元素是否都属于集合A={x|y=x2+1} 集合A和集合B是什么关系
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空集没有子集. (　　)
(2)任何集合至少有两个子集. (　　)
(3)空集是任何一个集合的真子集. (　　)
(4)若集合A是集合B的子集，集合B是集合C的子集，则集合A是集合C的子集. (　　)
2.已知集合M={1}，N={1，2，3}，能够准确表示集合M与N之间关系的是(　　).
A.MB.M∈N
C.N M
D.M N
3.(人教B版必修第一册习题1.1.2练习A第1题改编)选用适当的符号填空：若集合A={x|2x+3<3x}，B={x|x>2}，则4______A，{5}______B，-1______A，A______B.
4.设集合A={x，y}，B={0，x2}，若A=B，求实数x，y的值.
【合作探究】
探究1　集合与集合间关系的判定
　　小明同学与小李同学在讨论集合A={x|x是正方形}，B={x|x是菱形}，C={x|x是平行四边形}之间的关系.
小明说：“所有的正方形都是菱形，所以集合A属于集合B；所有的菱形都是平行四边形，所以集合B属于集合C.”
小李说：“集合A，B，C的关系只能用图形表示.”
问题1：小明说的正确吗
问题2：小李说的正确吗
1.子集
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素______集合B中的元素，那么称集合A为集合B的______，记作A B(或B A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”).
注：(1)任意集合A都是它自身的子集，即A A；
(2)空集是任意一个集合A的子集，即 A.
特别提醒：
(1)子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系).
(2)并不是任意两个集合之间都具有包含关系.例如A={1，2}，B={1，3}，因为2∈A，但2 B，所以A不是B的子集；同理，因为3∈B，但3 A，所以B也不是A的子集.
2.维恩图
如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可以作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图称为维恩图.如A B可用维恩图表示为
3.集合相等
一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任意一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B.
也就是说，若A B，且B A，则A=B.反之，若A=B，则A B且B A.
4.真子集
一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作A B(或B A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)
例1　(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={1，2}，C={x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：A______B，A______C，{2}______C，2______C.
(2)已知M={y|y=x2-2x-1，x∈R}，N=[-2，4]，则集合M与N之间的关系是______.
【方法总结】在处理集合间的关系时，要注意以下三点：
(1)A B且B≠ 隐含着A=B和A B两种关系；
(2)注意空集的特殊性，在解题时，若未指明集合非空，则要考虑集合为空集的可能性；
(3)要注意数形结合思想与分类讨论思想在集合问题中的应用.
能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}之间的关系的维恩图是(　　).
A　　　　B　　　　C　　　　D
设x，y∈R，A={(x，y)|y=x}，B=(x，y)，则集合A，B之间的关系是______.
探究2　有限集合的子集、真子集的确定
　　我们将高一(1)班的甲、乙、丙三位同学组成的三人学习小组记为集合A={甲，乙，丙}，数学老师将从该小组内抽取n位同学，进行面批作业.设抽取的同学组成的集合为B.
问题1：列出集合B中只有1位同学的集合；集合B中没有同学能否构成集合
问题2：列出集合B中有2位同学的集合.
问题3：问题1和2中的集合B与集合A是什么关系 集合A的子集有多少
1.写集合子集的一般方法：先写空集，然后按照集合中元素个数按从少到多的顺序写出来，一直到集合本身.写集合真子集时除集合本身外其余的子集都是它的真子集.
　　2.假设集合A中含有n个元素，则有：①A的子集的个数为2n；②A的真子集的个数为2n-1；③A的非空真子集的个数为2n-2.
例2　(1)已知集合M={x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则整数m=(　　).
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)满足{1，2} M {1，2，3，4，5}的集合M有______个.
【方法总结】写有限集合的所有子集时，要注意以下四点：
(1)掌握给定集合子集个数的规律.
(2)写子集时要按照一定的顺序，一般可按照集合中元素的个数来分类写出，以防重复或遗漏.
(3)注意两个比较特殊的集合：空集和集合本身.
(4)若集合A含n个元素，则它的子集的个数为2n；真子集的个数为2n-1；非空真子集的个数为2n-2.
已知集合M=，则M的非空子集的个数是(　　).
A.15
B.16
C.7
D.8
已知集合A={(x，y)|x+y=2，x∈N，y∈N}，试写出A的所有子集.
探究3　由集合间的关系求参数的取值范围
　　对于集合A={x|ax=1(a≥0)}，B={x|x≤1}.
问题1：集合A中有几个元素
问题2：当实数a取哪些值时，可以使得A {1}
问题3：当A B时，怎样求实数a的取值范围
1.已知集合的包含关系求相关参数的取值范围时，常采用数形结合与分类讨论的思想，借助数轴解答.
2.注意点：不能忽视集合为 的情形.当集合中含有参数时，一般需要分类讨论.
例3　已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若B A，求实数m的取值范围.
【变式设问】在本例条件下，若B A，求实数m的取值范围.
【方法总结】求解集合中的参数问题时，应先分析、简化每个集合，然后利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来.要特别注意端点值的检验及空集的特殊性，当遇到“B A”时，若B为含字母参数的集合，则一定要分“B= ”和“B≠ ”两种情形进行讨论.
已知集合A={x|-1已知A={x|x2-2x-3=0}，B={x|(a+1)x-3=0}，若B A，求实数a的值.
【随堂检测】
1.下列关系式不正确的是(　　).
A.{1} {1，2}
B.{0} {1，2}
C.{2} {1，2}
D.1∈{1，2}
2.给出下列四个结论：
① ={0}；
②空集没有子集；
③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；
④空集是任何一个集合的子集.
其中正确的有(　　).
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
3.定义集合P-Q={x|x=p-q，p∈P，q∈Q}，若集合P={4，5，6}，Q={1，2，3}，则集合P-Q的所有真子集的个数为(　　).
A.32
B.31
C.16
D.15
4.已知集合A={a，a-1}，B={2，y}，C={x|1(1)若A=B，求y的值；
(2)若A C，求实数a的取值范围.
参考答案
1.1.2 集合的基本关系
自主预习·悟新知
预学忆思
1. 确定性，无序性，互异性.
2. 正整数集，自然数集，整数集，有理数集，正实数集，实数集.
3. 列举法，描述法.
4.对.
5.对.
6.是，集合B是集合A的子集.
自学检测
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.D　【解析】∵集合M中的元素都在集合N中，但是M≠N，∴M N.故选D.
3.∈　 　 　 　【解析】由题意得A={x|x>3}，4在集合A中，元素与集合的关系要用∈符号，所以4∈A.又5在集合B中，所以{5}是集合B的真子集，所以{5} A.同理可得-1 A，A B.
4.【解析】因为A=B，所以x=0或y=0.
①当x=0时，x2=0，则B={0，0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
②当y=0时，x=x2，解得x=0或x=1，由①知x=0不满足条件，故x=1，y=0.
综上，x=1，y=0.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：不正确，这是两个集合之间的关系，应该是集合A包含于集合B，集合B包含于集合C.
问题2：不正确，可以用封闭图形来表示，比如：
也可以用符号表示，如A B C.
新知生成
1.都是　子集
新知运用
例1　(1)=　 　 　∈　(2)N M　【解析】(1)由题意得A={1，2}，B={1，2}，C={0，1，2，3，4，5，6，7}，∴A=B，A C，{2} C，2∈C.
(2)∵y=(x-1)2-2≥-2，∴M=[-2，+∞)，∴N M.
巩固训练1　B　【解析】由x2-x=0，解得x=1或x=0，故N={0，1}，易得N M，其对应的维恩图如选项B所示.
巩固训练2　B A　【解析】因为B=={(x，y)|y=x，且x≠0}，所以B A.
探究2　情境设置
问题1：{甲}，{乙}，{丙}；构成空集.
问题2：{甲，乙}，{甲，丙}，{乙，丙}.
问题3：问题1和2中的集合B均为A的子集，集合A也是自身的子集，所以集合A的子集有8个.
新知运用
例2　(1)B　(2)7　【解析】(1)根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M={x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于或等于1而小于或等于m的全部整数，所以m=2.
(2)由{1，2} M {1，2，3，4，5}可以确定集合M中必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，因此依据集合M中的元素个数分类如下：
含有三个元素的集合有{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}.
含有四个元素的集合有{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}.
含有五个元素的集合有{1，2，3，4，5}.
故满足题意的集合M共有7个.
巩固训练1　C　【解析】(法一)由题意知M={1，2，3}，所以M的非空子集为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共7个.
(法二)23-1=7个.故选C.
巩固训练2　【解析】因为A={(x，y)|x+y=2，x∈N，y∈N}，所以A={(0，2)，(1，1)，(2，0)}，
所以集合A的所有子集为 ，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.
探究3　情境设置
问题1：当a=0时，A中没有元素；当a≠0时，A中有1个元素.
问题2：当a=0或a=1时，A {1}.
问题3：当a=0时，A= ，满足A B；
当a>0时，A=，∴≤1，解得a≥1.
综上所述，实数a的取值范围为{0}∪[1，+∞).
新知运用
例3　【解析】当B≠ 时，如图所示，
∴或
解这两个不等式组，得2≤m≤3；
当B= 时，由m+1>2m-1，得m<2.
综上所述，实数m的取值范围是(-∞，3].
【变式设问】　【解析】当B= 时，m+1>2m-1，即m<2；
当B≠ 时，解得2≤m≤3.
综上可知，m的取值范围为(-∞，3].
巩固训练1　(-∞，1]　【解析】因为B A，
所以当B= 时，-m≥m，解得m≤0；
当B≠ 时，解得0综上所述，实数m的取值范围为(-∞，1].
巩固训练2　【解析】由题意知A={-1，3}.
当a=-1时，B= ，满足B A；
当a≠-1时，B=，若B A，则=-1或=3，解得a=-4或a=0.
综上所述，a=0或a=-1或a=-4.
随堂检测·精评价
1.B　【解析】∵0 {1，2}，∴{0} {1，2}不正确；根据子集的概念可知A，C正确；D显然正确.
2.B　【解析】对于①，符号 表示没有元素的集合，而{0}表示含有一个元素的集合，故①不正确；对于②，空集是其本身的子集，故②不正确；对于③，空集只有一个子集，即本身，故③不正确；只有④是正确的.
3.B　【解析】由题中所给定义，可知P-Q={1，2，3，4，5}，∴P-Q的所有真子集的个数为25-1=31.故选B.
4.【解析】(1)若a=2，则A={1，2}，所以y=a-1=1.
若a-1=2，即a=3，则A={2，3}，所以y=a=3.
综上，y的值为1或3.
(2)因为C={x|2

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