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1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
【学习目标】
1.理解全称量词命题和存在量词命题与其否定之间的关系.(数学抽象)
2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.(逻辑推理)
3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.(逻辑推理)
【自主预习】
1.命题“所有的自然数都是整数”是什么类型的命题 是真命题还是假命题
2.命题“存在自然数不是整数”是什么类型的命题 是真命题还是假命题
3.上述两个命题之间存在什么关系 真假性又存在什么关系
4.你还能给出类似的例子吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果p是真命题，那么 p是假命题. (　　)
(2)如果 p是真命题，那么p是假命题. (　　)
(3)命题“ x∈R，x3<0”的否定是“ x∈R，x3≥0”. (　　)
(4)命题“ x∈R，|x|+x=0”的否定是“ x R，|x|+x≠0”. (　　)
2.命题“ n∈Z，n∈Q”的否定为(　　).
A. n∈Z，n Q
B. n∈Q，n∈Z
C. n∈Z，n∈Q
D. n∈Z，n Q
3.若“ x∈(3，+∞)，x>a”的否定是假命题，则实数a的取值范围是______.
4.(人教B版必修第一册1.2.2练习A第2题改编)已知两个命题：(1)若x>0，则2x+1>5；(2)若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等.
下列说法正确的是______.
①命题(1)的否定为“存在x>0，2x+1≤5”；
②命题(2)是存在量词命题；
③命题(2)的否定是“若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线不相等”；
④命题(1)和(2)的否定都是真命题.
【合作探究】
探究1　全称量词命题的否定
　　德国诗人歌德在公园里散步，与一位批评家在一条仅能让一人通过的小路上相遇，批评家说：“我从来不给智力障碍者让路.”歌德笑着退到路边并说：“我恰恰相反.”
问题1：从命题的角度，批评家说的话是全称量词命题还是存在量词命题
问题2：从逻辑的角度分析歌德回答的含义.
1.命题的否定：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为______.即原命题为p，则该命题的否定为______.
2.全称量词命题的否定
全称量词命题p： x∈M，p(x)的否定为 p：______.
全称量词命题的否定是______.
3.常用全称量词的否定形式
词语 每一个 所有的 一个也没有 任意
词语的否定 ______ ______ ______ ______
例1　写出下列全称量词命题的否定.
(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；
(2)p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3；
(3)p：数列{1，2，3，4，5}中的每一项都是偶数；
(4)p： x∈Z，x2+3≠0.
【方法总结】
(1)一般地，写全称量词命题的否定时，先找到全称量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，同时否定结论.
(2)省略了量词的全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题.
写出下列全称量词命题的否定.
(1)等圆的周长相等，面积相等；
(2)不论m取何实数，方程x2+x+m=0必有实数根；
(3)菱形的对角线互相垂直.
探究2　存在量词命题的否定
　　“八月桂花遍地开”是描写桂花开放的歌词.杭州满陇桂雨景区有七千多株桂花，2024年秋天某个星期，同学甲说：“杭州满陇桂雨景区有的桂花树开花了.”同学乙说：“你说错了.”
问题1：同学甲的话的意思是全部桂花树开花了吗
问题2：同学乙的话的意思是什么
1.存在量词命题的否定
存在量词命题p： x∈M，p(x)的否定为 p：______.
存在量词命题的否定是______.
2.常用存在量词的否定形式
词语 词语的否定
存在一个 ______
有的 ______
必有一个 ______
至少有n个 ______
至多有1个 ______
存在 ______
例2　写出下列命题的否定，并判断其真假.
(1)存在一个平行四边形，它的对角线互相垂直；
(2)存在一个三角形，它的内角和大于180°；
(3)有的四边形没有外接圆；
(4)某些梯形的对角线互相平分.
【方法总结】一般地，写存在量词命题的否定时，先找到存在量词及相应结论，然后把命题中的存在量词改成全称量词，同时否定结论.
写出下列存在量词命题的否定.
(1)有一个奇数不能被3整除；
(2)有些三角形的三个内角为60°；
(3) n∈N，n2>2n.
探究3　应用含量词的命题的否定求参数的取值范围
　　某校开展小组合作学习活动，高二某班某组的王磊同学给组内张聪同学出题如下：若命题“ x∈R，x2+2x+m≤0”是假命题，求实数m的取值范围.张聪略加思索，也给王磊出了一道题：若命题“ x∈R，x2+2x+m>0”是真命题，求实数m的取值范围.
问题1：根据 p的定义，命题p及其否定 p的真假有什么关系
问题2：你认为两位同学出的题中的m的取值范围一致吗
全称量词命题、存在量词命题及其否定的真假情况如下：
p p
真 ______
假 ______
例3　已知命题p： x∈R，x2-2x+m≤0是假命题，求实数m的取值范围.
【方法总结】在含有量词的命题中求参数的思路
(1)此类题目常以一元二次方程或一元二次不等式等为载体，一般在题目中会出现“恒成立”等词语，解决此类问题，可用判别式法求参数的取值范围，也可以利用分离参数法求得参数的取值范围.
(2)求参数的取值范围时，从真命题的角度比较好列关系式，所以如果已知条件是一个存在量词命题，且是假命题，可以写出该命题的否定，利用命题的否定是真命题求得参数的取值范围.
已知命题“存在x∈R，ax2-2x-3>0”是假命题，求实数a的取值范围.
【随堂检测】
1.全称量词命题“ x∈R，x2+5x=4”的否定是(　　).
A. x∈R，x2+5x=4
B. x∈R，x2+5x≠4
C. x∈R，x2+5x≠4
D.以上都不正确
2.命题p： x∈R，x2+2x+5<0是______(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是______(填“真”或“假”)命题，它的否定为 p：______.
3.已知命题“ x∈{x|11”是假命题，则实数a的取值范围是______.
4.已知命题“关于x的一元二次方程x2+2x+a=0无实数解”是假命题，求实数a的取值范围.
参考答案
1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
自主预习·悟新知
预学忆思
1.全称量词命题，是真命题.
2.存在量词命题，是假命题.
3.这两个命题存在互相否定的关系，若其中一个为真(假)，则另一个必为假(真).
4.能.例如，全称量词命题“ x∈R，x2≥0”为真命题，存在量词命题“ x∈R，x2<0”为假命题.
自学检测
1.(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2.D　【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题，则该命题的否定为“ n∈Z，n Q”.故选D.
3.(-∞，3]　【解析】由题意知， x∈(3，+∞)，x>a，则a≤3，所以实数a的取值范围是(-∞，3].
4.①　【解析】因为命题(1)是全称量词命题，所以它的否定为存在x>0，2x+1≤5，①正确；
命题(2)是全称量词命题，②不正确；
命题(2)的否定是存在四边形是等腰梯形，这个四边形的对角线不相等，③不正确；
命题(1)的否定是真命题，命题(2)的否定是假命题，所以④不正确.
故填①.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：是全称量词命题.
问题2：歌德表达的意思是我会给智力障碍者让路.
新知生成
1.原命题的否定　 p
2. x∈M， p(x)　存在量词命题
3.存在一个　有的　至少有一个　存在
新知运用
例1　【解析】(1) p：存在一个能被3整除的整数不是奇数；
(2) p： x∈Z，x2的个位数字等于3；
(3) p：数列{1，2，3，4，5}中至少有一项不是偶数；
(4) p： x∈Z，x2+3=0.
巩固训练　【解析】(1)存在两个全等的圆，但这两个圆的周长不相等或面积不相等.
(2)存在实数m，使得方程x2+x+m=0没有实数根.
(3)存在一个菱形，它的对角线不互相垂直.
探究2　情境设置
问题1：意思是杭州满陇桂雨景区部分桂花树开花了，不是全部桂花树开花.
问题2：在花园里，所有的桂花都没有开花.这是一个全称量词命题.
新知生成
1. x∈M， p(x)　全称量词命题
2.每一个　所有的　一个也没有　至多有n-1个　至少有2个　任意
新知运用
例2　【解析】(1)对于任意的平行四边形，它的对角线都不互相垂直.它是假命题.
(2)对于任意的三角形，它的内角和小于或等于180°.它是真命题.
(3)所有的四边形都有外接圆.它是假命题.
(4)任意一个梯形的对角线不互相平分.它是真命题.
巩固训练　【解析】(1)每一个奇数都能被3整除.
(2)任意一个三角形的三个内角不为60°.
(3) n∈N，n2≤2n.
探究3　情境设置
问题1：命题p与 p真假性相反.
问题2：因为命题“ x∈R，x2+2x+m≤0”的否定是“ x∈R，x2+2x+m>0”，所以命题“ x∈R，x2+2x+m≤0”是假命题，则其否定“ x∈R，x2+2x+m>0”为真命题，所以两位同学出的题中的m的取值范围是一致的.
新知生成
假　真
新知运用
例3　【解析】(法一) p： x∈R，x2-2x+m>0是真命题，即m>-x2+2x=-(x-1)2+1，x∈R恒成立，设函数y=-(x-1)2+1，由二次函数的性质知，
当x=1时，ymax=1，∴m>ymax=1，即实数m的取值范围是(1，+∞).
(法二) p： x∈R，x2-2x+m>0是真命题，
设函数y=x2-2x+m，由二次函数的图象和性质知，
只需方程x2-2x+m=0的根的判别式Δ<0，即4-4m<0，解得m>1.
故实数m的取值范围是(1，+∞).
巩固训练　【解析】命题“存在x∈R，ax2-2x-3>0”的否定为“对于任意x∈R，ax2-2x-3≤0”，可知该命题的否定是真命题.事实上，当a=0时，对任意的x∈R，不等式-2x-3≤0不恒成立；当a≠0时，借助二次函数的图象，数形结合，很容易知道不等式ax2-2x-3≤0恒成立的等价条件是a<0且判别式Δ=4+12a≤0，即a≤-.
综上可知，实数a的取值范围是-∞，-.
随堂检测·精评价
1.C　【解析】∵全称量词命题的否定为存在量词命题，∴原命题的否定是“ x∈R，x2+5x≠4”.
2.存在量词命题　假　 x∈R，x2+2x+5≥0
3.(-∞，1)　【解析】由题意知，命题“ x∈{x|10”的否定“ x∈{x|14.【解析】∵命题“关于x的一元二次方程x2+2x+a=0无解”是假命题，
∴“关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有解”是真命题，即Δ≥0，∴4-4a≥0，解得a≤1，故实数a的取值范围是(-∞，1].

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