资源简介

1.2.3 课时2 充要条件
【学习目标】
1.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义.(数学抽象)
2.会判断和证明充要条件，会求某些简单问题的充要条件.(逻辑推理)
3.理解数学定义与充要条件的关系.(数学抽象)
【自主预习】
1.在初中我们学过“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”，则“两直线平行”和“同位角相等”互为什么条件
2.我们知道“a=b=1”能够推出“a+b=2”，那么“a+b=2”是否也能推出“a=b=1” 为什么
3.通过阅读教材内容，我们可以知道“a=b=1”是“a+b=2”的什么条件 “a+b=2”又是“a=b=1”的什么条件
4.你还能找出生活中或我们初中学过的充分不必要条件或必要不充分条件的例子吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若p是q的充要条件，则q也是p的充要条件. (　　)
(2)若p是q的充分不必要条件，则q也是p的充分不必要条件. (　　)
(3)若p是q的必要不充分条件，则q是p的充分不必要条件. (　　)
(4)若p是q的充分不必要条件，则 q也是 p的充分不必要条件. (　　)
2.唐代诗人杜牧的七绝唐诗《偶题》传诵至今，“道在人间或可传，小还轻变已多年.今来海上升高望，不到蓬莱不是仙”，由此推断，后一句中“是仙”是“到蓬莱”的(　　).
A.必要条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知“x>a”是“24.已知集合A为数集，则“A∩{0，1}={0}”是“A={0}”的______条件.
【合作探究】
探究1　充要条件的判断
　　老张邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五因有事不能到场，老张说：“该来的没有来.”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了.老张愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了.”李四听了大怒，拂袖而去.
问题1：张三为什么走了
问题2：李四为什么走了
问题3：若p是q的充要条件，则p和q相互等价，这种说法对吗
问题4：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里
　　充要条件
(1)如果“若p，则q”和“若q，则p”均是真命题，即既有______，又有______，那么记作______.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为______.
(2)当p是q的充要条件时，q也是p的______条件.
(3)p是q的充要条件也常常说成“p成立______q成立”或“p与q______”.
　　特别提醒：从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
(1)若p q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件.
(2)若p q，则称p是q的充要条件.
(3)若p q，且q / p，则称p是q的充分不必要条件.
(4)若p / q，且q p，则称p是q的必要不充分条件.
(5)若p / q，且q / p，则称p是q的既不充分也不必要条件.
例1　下列各题中，p是q的什么条件 (在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)
(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC.
(2)p：m<-2或m>6，q：方程mx2+2x+1=0有两个不同的实根.
(3)已知A U，B U，p：A∩B=A，q：UB UA.
(4)已知x，y∈R，p：(x-1)2+(y-2)2=0，q：(x-1)(y-2)=0.
【方法总结】充分条件、必要条件、充要条件的判断方法
(1)定义法：
①分清命题的条件和结论；
②找推式，判断“p q”及“q p”的真假；
③根据推式及条件得出结论.
(2)集合法：写出集合A={x|p(x)}及B={x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断.
(3)特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题.
已知p：1+a<0，q：a<-1，则p是q的(　　).
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.以上说法均不正确
已知m，n∈R，则“-1=0”是“m-n=0”成立的(　　).
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
探究2　利用充要条件确定参数的取值范围
　　已知条件p：4x+m<0，条件q：x>2或x<-1.
问题1：是否存在实数m，使得p是q的充分条件 如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由.
问题2：是否存在实数m，使得p是q的必要条件 如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由.
问题3：设p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，则满足A B时，m的取值范围与问题1中m的取值范围是否相同 是否存在实数m，使得B A
1.设p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现：
A=B p是q的充要条件；
A B p是q的充分不必要条件；
A B p是q的必要不充分条件；
A B，B A p是q的既不充分也不必要条件.
2.已知命题间的关系，求参数的取值范围，应用转化的思想把命题间的关系正确地转化为集合间的关系，建立关于参数的不等式(组)求解.
例2　已知条件p：1≤x≤a(a≥1)，条件q：1≤x≤2，当a为何值时，
(1)p是q的充分不必要条件
(2)p是q的必要不充分条件
(3)p是q的充要条件
【方法总结】利用条件的充要性求解参数问题，关键是观察条件属性，找出适当的解题思路，如数集类问题，一般是将命题之间的关系转化为集合间的包含关系，借助数轴列出不等式(组)，从而求解.
设集合A={x|2≤x≤6}，非空集合B={x|2m≤x≤m+3}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是______.
探究3　充要条件的证明
　　已知关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m≥2.
问题1：由m≥2得到方程x2+mx+1=0有两个负实根，这个过程是证明“充分性”还是“必要性”
问题2：由方程x2+mx+1=0有两个负实根，得到m≥2，这个过程是证明“充分性”还是“必要性”
问题3：互为充要条件中条件和结论是相对的，在充要条件问题的证明中，条件是确定的吗
　　充要条件的证明一般分为两个步骤，即分别证明“充分性”和“必要性”这两个方面.解题时要避免将充分性当作必要性来证明，这就需要分清条件与结论，若“条件” “结论”，则是证明充分性，若“结论” “条件”，则是证明必要性.
例3　证明：一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正实数根和一个负实数根的充要条件是ac<0.
【方法总结】有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件” “结论”是证明命题的充分性，由“结论” “条件”是证明命题的必要性.证明要分两个环节：一是证充分性；二是证必要性.
已知ab≠0，求证：a+b=1的充要条件是(a+b-1)(a2+b2-ab)=0.
【随堂检测】
1.已知a，b∈R，则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的(　　).
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.设p：≤x≤1，q：a≤x≤a+1.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　).
A.0，
B.0，
C.0，
D.0，
3.设集合A={x|-14.已知四个电路图，如图所示.条件A：开关S1闭合.条件B：灯泡L亮.能得出A是B的充要条件的图为______.
参考答案
1.2.3 课时2 充要条件
自主预习·悟新知
预学忆思
1.充分必要条件(简称为充要条件).
2.不能.因为当a+b=2时，a，b的值有无数组.例如：a=0，b=2；a=-1，b=3；a=2 024，b=-2 022等.
3.充分不必要条件，必要不充分条件.
4.能.例如：①“若两个角是对顶角，则它们相等”，“两个角是对顶角”是“它们相等”的充分不必要条件；
②“若小李是北京人，则他是中国人”，“小李是中国人”是“小李是北京人”的必要不充分条件.
自学检测
1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2.B　【解析】由“是仙”可以推出“到蓬莱”，而“到蓬莱”不一定推出“是仙”，所以“是仙”是“到蓬莱”的充分不必要条件.故选B.
3.(-∞，2]　【解析】因为“x>a”是“24.必要不充分　【解析】A∩{0，1}={0} / A={0}；反之，A={0} A∩{0，1}={0}.故“A∩{0，1}={0}”是“A={0}”的必要不充分条件.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：“该来的没有来”的等价命题是“来了的都不该来”，张三觉得自己是不该来的.
问题2：“不该走的又走了”的等价命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该走的.
问题3：正确.若p是q的充要条件，则p q，即p等价于q.
问题4：“p是q的充要条件”说明p是条件，q是结论；“p的充要条件是q”说明q是条件，p是结论.
新知生成
(1)p q　q p　p q　充要条件　(2)充要　(3)当且仅当　等价
新知运用
例1　【解析】(1)在△ABC中，显然有∠A>∠B BC>AC，∴p是q的充要条件.
(2)方程mx2+2x+1=0有两个不同的实根 Δ=4-4m>0且m≠0 m<1且m≠0，
∴p是q的既不充分也不必要条件.
(3)A∩B=A A B UB UA，∴p是q的充要条件.
(4)∵p对应的集合为A={(1，2)}，q对应的集合为B={(x，y)|x=1或y=2}，∴A B，∴p是q的充分不必要条件.
巩固训练1　C　【解析】∵1+a<0 a<-1，
∴p是q的充要条件.
巩固训练2　A　【解析】由-1=0，得由m-n=0，得m=n.因为“-1=0” “m-n=0”，且“m-n=0” / “-1=0”，所以“-1=0”是“m-n=0”成立的充分不必要条件.
探究2　情境设置
问题1：存在.由4x+m<0得x<-.由题意知，当x<-时，x>2或x<-1成立，则-≤-1，解得m≥4.故存在实数m，使得“4x+m<0”是“x>2或x<-1”的充分条件，此时m的取值范围为[4，+∞).
问题2：不存在，理由如下：若p是q的必要条件，则q是p的充分条件，即q p，而q：x>2或x<-1，p：x<-；∵{x|x>2或x<-1} xx<-，∴不存在符合条件的实数m.
问题3：相同；不存在.
新知运用
例2　【解析】设集合A={x|1≤x≤a(a≥1)}，B={x|1≤x≤2}.
(1)因为p是q的充分不必要条件，所以A B，故1≤a<2.
(2)因为p是q的必要不充分条件，所以B A，故a>2.
(3)因为p是q的充要条件，所以A=B，故a=2.
巩固训练　{m|1≤m≤3}　【解析】由题意知B A，且B≠ ，则或解得1≤m≤3.
故实数m的取值范围是{m|1≤m≤3}.
探究3　情境设置
问题1：充分性；“m≥2”是条件，“方程x2+mx+1=0有两个负实根”是结论.
问题2：必要性；“方程x2+mx+1=0有两个负实根”是条件，“m≥2”是结论.
问题3：条件是确定的.
新知运用
例3　【解析】充分性：∵ac<0，∴Δ=b2-4ac>0，<0.
∴方程ax2+bx+c=0有两个实数根.
设方程ax2+bx+c=0的两个根分别为x1，x2，
则x1·x2=<0，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正实数根和一个负实数根.
必要性：∵一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正实数根和一个负实数根，∴Δ=b2-4ac>0，x1·x2=<0，
∴ac<0.
故一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正实数根和一个负实数根的充要条件是ac<0.
巩固训练　【解析】充分性：(a+b-1)(a2+b2-ab)=(a+b-1)a-2+b2=0.
∵ab≠0，∴a-2+b2>0，∴a+b=1.
必要性：∵a+b=1，∴(a+b-1)(a2+b2-ab)=0.
∴a+b=1的充要条件是(a+b-1)(a2+b2-ab)=0.
随堂检测·精评价
1.C　【解析】“a>0且b>0”可以推出“a+b>0且ab>0”，反之也是成立的.故“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的充要条件.
2.B　【解析】∵p是q的充分不必要条件，
∴或解得0≤a≤.
3.(2，+∞)　【解析】因为A={x|-13，解得m>2.
4.乙　【解析】对于图甲，开关S1闭合，灯泡L亮，反过来灯泡L亮，也可能是开关S2闭合，∴A是B的充分不必要条件.
对于图乙，只有一个开关，灯泡L如果要亮，开关S1必须闭合，∴A是B的充要条件.
对于图丙，∵灯泡L亮必须S1和S2同时闭合，∴A是B的必要不充分条件.
对于图丁，∵灯泡L亮跟开关S1没有关系，∴A是B的既不充分也不必要条件.1.2.3 课时1 充分条件、必要条件
【学习目标】
1.通过具体的实例理解充分条件、必要条件的概念.(数学抽象)
2.会判断充分条件、必要条件.(逻辑推理)
3.理解判定定理与充分条件的关系；理解性质定理与必要条件的关系.(数学抽象)
4.能够从集合的角度去理解充分条件、必要条件.(数学抽象)
【自主预习】
1.我们知道1+1=2，那么“a=b=1”是“a+b=2”的什么条件
2.“没有共产党就没有新中国”，则有共产党是有新中国的什么条件
3.若命题“若p，则q”为真命题，则p是q的什么条件
4.若命题“若p，则q”为假命题，则p是q的什么条件
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果q是p的必要条件，那么q是唯一的. (　　)
(2)q是p的必要条件的含义是：如果q不成立，那么p一定不成立. (　　)
(3)“xy>0”是“x，y都大于0”的充分条件. (　　)
(4)若p是q的充分条件，则q是p的必要条件. (　　)
2.(多选题)下列条件是x2>4的充分条件的是(　　).
A.x>-2
B.x<-2
C.x<-3
D.x>4
3.使|x|=x成立的一个必要条件是(　　).
A.x<0
B.x≥0或x≤-1
C.x>0
D.x≤-1
4.若p是q的充分条件，p是r的必要条件，则r是q的______条件.(填“充分”或“必要”)
【合作探究】
探究1　充分条件的判断
　　某年秋季开学后，高一的新生小何逐渐找到了多种可供选择的从学校回到家的交通方式，其中有骑自行车回家，坐公交车回家，步行回家，坐出租车回家.
问题1：小何骑自行车回家与小何回到家有什么逻辑关系
问题2：上述四个条件(交通方式)满足几个，可以达到回家这个结果
　　充分条件
命题“若p，则q”为真命题，记作p q，则称p是q的______条件；
命题“若p，则q”为假命题，记作p / q，则称p不是q的______条件.
条件p成立，就一定能得出结论q成立.但条件p不成立时，结论q未必不成立.
例1　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件
(1)若a∈Q，则a∈R；
(2)若a=b(b≠0)，则=1；
(3)若x，y∈R，|x|=|y|，则x=y；
(4)若(a-2)(a-3)=0，则a=3；
(5)在△ABC中，若A>B，则BC>AC；
(6)若四边形ABCD是正方形，则四边形ABCD是菱形.
【方法总结】充分条件的判断方法
(1)定义法：由充分条件的概念进行判断，即判断由已知和结论构成的命题的真假.
(2)推出法：此法主要适用于抽象命题的判定，其表现形式为利用推出符号表示其关系.
设q：2x>1，则q成立的充分条件为(　　).
A.x>2
B.x>0
C.x>-1
D.x<-1
设集合M={x|0探究2　必要条件的判断
　　经常逛商场的钱阿姨常说“便宜没好货”.
问题1：“好货”是“不便宜”的什么条件
问题2：“不便宜”是“好货”的什么条件
　　必要条件
命题“若p，则q”为真命题，记作p q，则称q是p的______条件；
命题“若p，则q”为假命题，记作p / q，则称q不是p的______条件.
q是p的必要条件的理解要点：
(1)有了条件q，结论p未必会成立，但是没有条件q，结论p一定不成立；
(2)若p是q的充分条件，则q一定是p的必要条件.
真命题的条件是结论的充分条件；真命题的结论是条件的必要条件.假命题的条件不是结论的充分条件，但是有可能是必要条件.
例2　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件
(1)若一个四边形是等腰梯形，则这个四边形的两条对角线相等；
(2)若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形；
(3)若=，则x=y；
(4)若关于x的方程ax+b=0(a，b∈R)有唯一解，则a>0.
【方法总结】必要条件的判断方法
(1)定义法：由必要条件的概念进行判断，即判断由已知和结论构成的命题的真假.
(2)推出法：此法主要适用于抽象命题的判定，其表现形式为利用推出符号表示其关系.
设集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，则“A∪B=R”是“a=1”的______条件.(填“充分”或“必要”)
王昌龄的《从军行》中有两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的______条件.
探究3　充分条件、必要条件的应用
　　已知p：{x|1-x<0}，q：{x|x>a}.
问题1：若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是什么
问题2：若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是什么
充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围的问题.
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，再利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解.
例3　已知p：实数x满足3a【方法总结】充分条件、必要条件的应用
(1)已知条件是结论的充分条件，即由条件推出结论，由此建立逻辑关系解决问题.
(2)已知条件是结论的必要条件，即由结论推出条件，由此建立逻辑关系解决问题.
从集合的角度来看，满足条件的对象所构成的集合与满足结论的对象所构成的集合之间是包含关系.
若不等式-a若“x<-1或x>1”是“x【随堂检测】
1.设x∈R，则x>2的一个必要条件是(　　).
A.x>1
B.x<1
C.x>3
D.x<3
2.如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么(　　).
A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C.丙是甲的充分条件，也是甲的必要条件
D.丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
3.已知p：a和b都是奇数，q：a+b是偶数，下列结论正确的是(　　).
A.p是q的充分条件
B.p是q的必要条件
C.p既是q的充分条件，也是q的必要条件
D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
4.设集合A={x|-1≤x≤2}，非空集合B={x|2m参考答案
1.2.3 课时1 充分条件、必要条件
自主预习·悟新知
预学忆思
1.充分条件.
2. 必要条件.
3. 充分条件.
4.不充分条件.
自学检测
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.BCD　【解析】当x=0时，x>-2，但x2<4，故A错误，B，C，D都正确.
3.B　【解析】因为|x|=x x≥0 x≥0或x≤-1，所以使|x|=x成立的一个必要条件是x≥0或x≤-1.
4.充分　【解析】依题意，p q，r p，所以r q.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：小何骑自行车回家能保证小何回到家.
问题2：要达到回家这个结果，我们只要选择其中一个条件就足够了，也就是说，满足这其中的任何一个条件，回家这个结果就能达到，那么我们可以把其中的任何一个条件都叫作达到回家这个结果的充分条件.
新知生成
充分　充分
新知运用
例1　【解析】(1)因为Q R，所以p q，所以p是q的充分条件.
(2)因为a=b，b≠0，所以=1.因此p q，所以p是q的充分条件.
(3)若x=1，y=-1，则|x|=|y|，但x≠y，所以p / q，所以p不是q的充分条件.
(4)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3，不一定有a=3，因此p / q，所以p不是q的充分条件.
(5)由三角形中大角对大边可知，若A>B，则BC>AC，因此p q，所以p是q的充分条件.
(6)由菱形和正方形的定义可知，所有的正方形都是菱形，所以p q，所以p是q的充分条件.
巩固训练1　A　【解析】因为q：x>，所以x>2一定可以推出x>.
巩固训练2　充分　【解析】由题意得M N，所以“a∈M” “a∈N”，所以“a∈M”是“a∈N”的充分条件.
探究2　情境设置
问题1：“好货”是“不便宜”的充分条件.
问题2：便宜没好货，等价于好货不便宜.“不便宜”是“好货”的必要条件.
新知生成
必要　必要
新知运用
例2　【解析】(1)等腰梯形的两条对角线相等，因此p q，所以q是p的必要条件.
(2)直角三角形不一定是等腰三角形，因此p / q，所以q不是p的必要条件.
(3)命题“若=，则x=y”是真命题，因此p q，所以q是p的必要条件.
(4)命题“若关于x的方程ax+b=0(a，b∈R)有唯一解，则a>0”为假命题，因此p / q，所以q不是p的必要条件.
巩固训练1　必要　【解析】因为集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，所以当A∪B=R时，a≤1.因为“a≤1” / “a=1”，但“a=1” “a≤1”，所以“A∪B=R”是“a=1”的必要条件.
巩固训练2　必要　【解析】“不破楼兰终不还”可理解为“若返回家乡，则攻破楼兰”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.
探究3　情境设置
问题1：p对应的集合是q对应的集合的子集，所以a≤1.
问题2：q对应的集合是p对应的集合的子集，所以a≥1.
新知运用
例3　-，0　【解析】由题意，得p对应的集合为A={x|3aq对应的集合为B={x|-2≤x≤3}.
因为p是q的充分条件，所以p q，所以A B，所以解得-≤a<0，
所以实数a的取值范围是-，0.
巩固训练1　[2，+∞)　【解析】由题意得{x|-2巩固训练2　-1　【解析】因为“x<-1或x>1”是“x随堂检测·精评价
1.A　【解析】由x>2只能推出x>1，故选A.
2.A　【解析】因为甲是乙的必要条件，所以乙 甲.
因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙 乙，但乙 / 丙，如图.
综上可知，有丙 甲，但甲 / 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.
3.A　【解析】两个奇数的和是偶数，但和为偶数的两个数有可能是两个偶数，也有可能是两个奇数，所以“a和b都是奇数” “a+b是偶数”，“a+b是偶数” / “a和b都是奇数”，所以“a和b都是奇数”是“a+b是偶数”的充分条件.
4.-，　【解析】因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以B A，
又B≠ ，所以-1≤2m<1，解得-≤m<，
故实数m的取值范围是-，.

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